Повторюємо алгебру за 7 клас – лінійні рівняння з однією змінною (1-9)

Назад до змісту

1. (Усно.) Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з однією змінною:

Лінійне рівняння з однією змінною має вигляд $ax + b = 0$, де $a \neq 0$.

Перевіримо кожне рівняння:

1. $12x = 0$ — лінійне, бо має вигляд $12x - 0 = 0$
2. $4x + 2y = 9$ — не лінійне з однією змінною, бо має дві змінні $x$ і $y$
3. $7x = x^2$ — не лінійне, бо містить $x$ у степені 2
4. $0x = 12$ — не є лінійним рівнянням з однією змінною, бо коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю
5. $\dfrac{1}{x} - 7 = 0$ — не лінійне, бо містить $x$ у знаменнику
6. $0x = 0$ — не є лінійним рівнянням з однією змінною, бо коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю

Відповідь: Лінійним рівнянням з однією змінною є рівняння 1) $12x = 0$.

2. Яке із чисел є коренем рівняння $x^2 - x = 2x + 4$:

$x^2 - x = 2x + 4$
$x^2 - x - 2x - 4 = 0$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
$x - 4 = 0 \quad або \quad x + 1 = 0$
$x_1 = 4$
$x_2 = -1$

Відповідь: Коренями рівняння є числа 2) $-1$ та 5) $4$.

3. Яке із чисел є коренем рівняння $x^2 - 3x = x + 5$:

$x^2 - 3x = x + 5$
$x^2 - 3x - x - 5 = 0$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
$x - 5 = 0 \quad або \quad x + 1 = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -1$

Відповідь: Коренями рівняння є числа 3) $-1$ та 5) $5$.

4. Розв’яжіть рівняння:

1. $4x = -8$

Поділимо обидві частини рівняння на 4:

$x = -2$

2. $9x - 13 = 3x + 5$

Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину, а числа в праву:

$9x - 3x = 13 + 5$

$6x = 18$

Поділимо обидві частини на 6:

$x = 3$

3. $7 - (3x + 2) = 5$

Розкриємо дужки:

$7 - 3x - 2 = 5$
$5 - 3x = 5$
$-3x = 0$
$x = 0$

4. $-\dfrac{1}{8}x = -1\dfrac{1}{8}$

Спочатку перетворимо мішаний дріб $-1\dfrac{1}{8}$ у неправильний дріб:

$-1\dfrac{1}{8} = -\dfrac{8}{8} - \dfrac{1}{8} = -\dfrac{9}{8}$

Тепер наше рівняння має вигляд:
$-\dfrac{1}{8}x = -\dfrac{9}{8}$

Щоб знайти x, поділимо обидві частини рівняння на $-\dfrac{1}{8}$:
$x = -\dfrac{9}{8} \div \left(-\dfrac{1}{8}\right)$

При діленні на дріб множимо на обернений дріб:
$x = -\dfrac{9}{8} \cdot \left(-\dfrac{8}{1}\right) = -\dfrac{9}{8} \cdot \left(-8\right) = \dfrac{9 \cdot 8}{8} = 9$

5. $8 - 2x = -(4x + 3)$

Розкриємо дужки в правій частині:
$8 - 2x = -4x - 3$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$8 - 2x + 4x = -3$
$8 + 2x = -3$
$2x = -11$
$x = -\dfrac{11}{2}$

6. $3(x - 3) = 4x + 21$

Розкриємо дужки:
$3x - 9 = 4x + 21$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$3x - 4x = 21 + 9$
$-x = 30$
$x = -30$

5. Розв’яжіть рівняння:

1. $-5x = -20$

Поділимо обидві частини на -5:
$x = 4$

2. $7x - 11 = 2x + 1$

Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$7x - 2x = 11 + 1$
$5x = 12$
$x = \dfrac{12}{5}$

3. $9 - (5x + 1) = 10$

Розкриємо дужки:
$9 - 5x - 1 = 10$
$8 - 5x = 10$
$-5x = 2$
$x = -\dfrac{2}{5}$

4. $2x = -1\dfrac{1}{5}$

Запишемо дріб як неправильний:
$2x = -\dfrac{6}{5}$
Поділимо обидві частини на 2:
$x = -\dfrac{3}{5}$

5. $7 - 3x = -(2x - 7)$

Розкриємо дужки:
$7 - 3x = -2x + 7$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$7 - 3x + 2x = 7$
$7 - x = 7$
$-x = 0$
$x = 0$

6. $9(x - 1) = 8x + 13$

Розкриємо дужки:
$9x - 9 = 8x + 13$
Перенесемо всі члени з невідомою в ліву частину:
$9x - 8x = 13 + 9$
$x = 22$

6. Складіть лінійне рівняння, яке рівносильне рівнянню 9x + 36 = 0.

$9x + 36 = 0$
$9x = -36$
$x = \dfrac{-36}{9}$
$x = -4$

$18x + 72 = 0$
$18x = -72$
$x = \dfrac{-72}{18}$
$x = -4$

7. У вазі тістечок утричі більше, ніж на тарілці. Скільки тістечок у вазі, якщо їх там на 12 більше, ніж на тарілці?

Нехай на тарілці $x$ тістечок. Тоді у вазі  $3x$, і також у вазі на 12 тістечок більше:
$3x = x + 12$
Віднімаємо $x$ з обох частин:
$2x = 12$
Ділимо на 2:
$x = 6$
Тістечок у вазі: $3 \cdot 6 = 18$

8. За два тижні магазин електроніки продав 48 ноутбуків, причому першого тижня було продано на 6 ноутбуків більше, ніж другого. Скільки ноутбуків продали другого тижня?

Нехай другого тижня продали $x$ ноутбуків, тоді першого — $x+6$.
Разом:
$x + (x + 6) = 48$
$2x + 6 = 48$
$2x = 42$
$x = 21$

9. За 2 год велосипедистка долає ту саму відстань, що й пішохід за 5 год. Швидкість пішохода на 9 км/год менша від швидкості велосипедистки. Знайдіть швидкість кожного.

Нехай швидкість пішохода — $x$ км/год, велосипедистки — $x+9$ км/год.
Дистанції рівні:
$5x = 2(x + 9)$
Розкриваємо дужки:
$5x = 2x + 18$
$5x - 2x =  18$
$3x = 18$
$x = 6$
Велосипедистка: $6+9=15$ км/год.

Відповідь: Швидкість пішохода — $6$ км/год, велосипедистки — $15$ км/год.

10-17