§7. Тотожні перетворення раціональних виразів

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

7.1. Виконайте дії:

$\dfrac{12a+b}{3a}-\dfrac{7b^2}{a^2}\cdot\dfrac{a}{21b} = \dfrac{12a+b}{3a}-\dfrac{7ab^2}{21a^2b} = \dfrac{12a+b}{3a}-\dfrac{b}{3a} = \dfrac{12a+b-b}{3a} = \dfrac{12a}{3a} = 4$
$\dfrac{m^2-n^2}{x^2-9}\cdot\dfrac{x-3}{m-n}-\dfrac{m}{x+3} = \dfrac{(m-n)(m+n)}{(x-3)(x+3)}\cdot\dfrac{x-3}{m-n}-\dfrac{m}{x+3} = \dfrac{m+n}{x+3}-\dfrac{m}{x+3} = \dfrac{m+n-m}{x+3} = \dfrac{n}{x+3}$
$\dfrac{a-b}{2a+b}+\dfrac{1}{a-b}:\dfrac{2a+b}{a^2-b^2} = \dfrac{a-b}{2a+b}+\dfrac{1}{a-b}\cdot\dfrac{(a-b)(a+b)}{2a+b} = \dfrac{a-b}{2a+b}+\dfrac{a+b}{2a+b} = \dfrac{a-b+a+b}{2a+b} = \dfrac{2a}{2a+b}$
$x-\dfrac{x^2-xy}{x+y}\cdot\dfrac{x}{x-y} = x-\dfrac{x(x-y)}{x+y}\cdot\dfrac{x}{x-y} = x-\dfrac{x^2}{x+y} = \dfrac{x(x+y)-x^2}{x+y} = \dfrac{x^2+xy-x^2}{x+y} = \dfrac{xy}{x+y}$

7.2. Виконайте дії:

$\dfrac{10x+y}{5x}-\dfrac{3y^2}{x^2}\cdot\dfrac{x}{15y} = \dfrac{10x+y}{5x}-\dfrac{3xy^2}{15x^2y} = \dfrac{10x+y}{5x}-\dfrac{y}{5x} = \dfrac{10x+y-y}{5x} = \dfrac{10x}{5x} = 2$
$\dfrac{a^2-4}{9-b^2}:\dfrac{a-2}{3+b}-\dfrac{2}{3-b} = \dfrac{(a-2)(a+2)}{(3-b)(3+b)}\cdot\dfrac{3+b}{a-2}-\dfrac{2}{3-b} = \dfrac{a+2}{3-b}-\dfrac{2}{3-b} = \dfrac{a+2-2}{3-b} = \dfrac{a}{3-b}$
$\dfrac{x+y}{3x-y}+\dfrac{1}{x+y}\cdot\dfrac{x^2-y^2}{3x-y} = \dfrac{x+y}{3x-y}+\dfrac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(3x-y)} = \dfrac{x+y}{3x-y}+\dfrac{x-y}{3x-y} = \dfrac{x+y+x-y}{3x-y} = \dfrac{2x}{3x-y}$
$m+\dfrac{m^2+mn}{n-m}\cdot\dfrac{m}{m+n} = m+\dfrac{m(m+n)}{n-m}\cdot\dfrac{m}{m+n} = m+\dfrac{m^2}{n-m} = \dfrac{m(n-m)+m^2}{n-m} = \dfrac{mn-m^2+m^2}{n-m} = \dfrac{mn}{n-m}$

7.3. Паралімпієць-візочник, українець Олег Іваненко, проплив 62 км Ла-Маншем.

Спростимо вираз:

$\dfrac{2b}{m}+\dfrac{a^2-b^2}{5m^2}\cdot\dfrac{10m}{a+b} = \dfrac{2b}{m}+\dfrac{(a-b)(a+b)}{5m^2}\cdot\dfrac{10m}{a+b} = \dfrac{2b}{m}+\dfrac{10m(a-b)}{5m^2} = \dfrac{2b}{m}+\dfrac{2(a-b)}{m} = \dfrac{2b+2a-2b}{m} = \dfrac{2a}{m}$

Підставимо значення $a=4,5$ і $m=0,5$ :

$\dfrac{2 \cdot 4,5}{0,5} = \dfrac{9}{0,5} = 18$

Відповідь: спортсмен проплив протоку за 18 годин.

7.4. Спростіть вираз:

$(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}+2)\cdot\dfrac{1}{x+7} = \dfrac{x^2+49+14x}{7x}\cdot\dfrac{1}{x+7} = \dfrac{(x+7)^2}{7x}\cdot\dfrac{1}{x+7} = \dfrac{x+7}{7x}$
$(1+\dfrac{m}{3n}):(1-\dfrac{m}{3n}) = \dfrac{3n+m}{3n}:\dfrac{3n-m}{3n} = \dfrac{3n+m}{3n}\cdot\dfrac{3n}{3n-m} = \dfrac{3n+m}{3n-m}$
$(\dfrac{a}{a+2}-3a)\cdot\dfrac{a+2}{a} = \dfrac{a-3a(a+2)}{a+2}\cdot\dfrac{a+2}{a} = \dfrac{a-3a^2-6a}{a} = \dfrac{-3a^2-5a}{a} = \dfrac{-a(3a+5)}{a} = -3a-5$
$(2+\dfrac{x}{x+1}):\dfrac{9x+6}{5x^2+5x} = \dfrac{2(x+1)+x}{x+1}:\dfrac{3(3x+2)}{5x(x+1)} = \dfrac{3x+2}{x+1}\cdot\dfrac{5x(x+1)}{3(3x+2)} = \dfrac{5x}{3}$

7.5. Спростіть вираз:

$(\dfrac{m}{5}+\dfrac{5}{m}-2)\cdot\dfrac{1}{m-5} = \dfrac{m^2+25-10m}{5m}\cdot\dfrac{1}{m-5} = \dfrac{(m-5)^2}{5m}\cdot\dfrac{1}{m-5} = \dfrac{m-5}{5m}$
$(1-\dfrac{x}{y}):(1+\dfrac{x}{y}) = \dfrac{y-x}{y}:\dfrac{y+x}{y} = \dfrac{y-x}{y}\cdot\dfrac{y}{y+x} = \dfrac{y-x}{y+x}$
$(\dfrac{b}{b-3}-2b)\cdot\dfrac{b-3}{b} = \dfrac{b-2b(b-3)}{b-3}\cdot\dfrac{b-3}{b} = \dfrac{b-2b^2+6b}{b} = \dfrac{7b-2b^2}{b} = \dfrac{b(7-2b)}{b} = 7-2b$
$(3-\dfrac{m}{m+2}):\dfrac{4m+12}{m^2+2m} = \dfrac{3(m+2)-m}{m+2}:\dfrac{4(m+3)}{m(m+2)} = \dfrac{2m+6}{m+2}\cdot\dfrac{m(m+2)}{4(m+3)} = \dfrac{2(m+3)}{m+2}\cdot\dfrac{m(m+2)}{4(m+3)} = \dfrac{2m}{4} = \dfrac{m}{2}$

7.6. Доведіть тотожність:

$(1-\dfrac{2a}{b}+\dfrac{a^2}{b^2})\cdot\dfrac{b}{a-b} = \dfrac{b^2-2ab+a^2}{b^2}\cdot\dfrac{b}{a-b} = \dfrac{(a-b)^2}{b^2}\cdot\dfrac{b}{a-b} = \dfrac{a-b}{b}$
$(\dfrac{m}{n^2}-\dfrac{1}{m}):(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}) = \dfrac{m^2-n^2}{n^2m}:\dfrac{m-n}{nm} = \dfrac{(m-n)(m+n)}{n^2m}\cdot\dfrac{nm}{m-n} = \dfrac{m+n}{n}$

7.7. Доведіть тотожність:

$(1+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{x^2}{y^2})\cdot\dfrac{y}{x+y} = \dfrac{y^2+2xy+x^2}{y^2}\cdot\dfrac{y}{x+y} = \dfrac{(y+x)^2}{y^2}\cdot\dfrac{y}{x+y} = \dfrac{x+y}{y}$
$(\dfrac{2m}{n^2}-\dfrac{1}{2m}):(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2m}) = \dfrac{4m^2-n^2}{2mn^2}:\dfrac{2m+n}{2mn} = \dfrac{(2m-n)(2m+n)}{2mn^2}\cdot\dfrac{2mn}{2m+n} = \dfrac{2m-n}{n}$

7.8. Виконайте дії:

$(\dfrac{x-2}{x+2}-\dfrac{x+2}{x-2})\cdot\dfrac{x^2-4}{4x} = \dfrac{(x-2)^2-(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}\cdot\dfrac{x^2-4}{4x} = \dfrac{x^2-4x+4-(x^2+4x+4)}{x^2-4}\cdot\dfrac{x^2-4}{4x} = \dfrac{-8x}{4x} = -2$
$(\dfrac{a+3}{a-3}-\dfrac{a-3}{a+3}):\dfrac{24a}{a^2-6a+9} = \dfrac{(a+3)^2-(a-3)^2}{(a-3)(a+3)}:\dfrac{24a}{(a-3)^2} = \dfrac{a^2+6a+9-(a^2-6a+9)}{(a-3)(a+3)}\cdot\dfrac{(a-3)^2}{24a} = \dfrac{12a}{(a-3)(a+3)}\cdot\dfrac{(a-3)^2}{24a} = \dfrac{a-3}{2(a+3)}$

7.9. Виконайте дії:

$\dfrac{8m}{m^2-1}:(\dfrac{m+1}{m-1}-\dfrac{m-1}{m+1}) = \dfrac{8m}{(m-1)(m+1)}:\dfrac{(m+1)^2-(m-1)^2}{(m-1)(m+1)} = \dfrac{8m}{m^2-1}\cdot\dfrac{m^2-1}{m^2+2m+1-(m^2-2m+1)} = \dfrac{8m}{4m} = 2$
$(\dfrac{a-2}{a+2}+\dfrac{a+2}{a-2})\cdot\dfrac{a^2-4a+4}{2a^2+8} = \dfrac{(a-2)^2+(a+2)^2}{(a+2)(a-2)}\cdot\dfrac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \dfrac{a^2-4a+4+a^2+4a+4}{(a+2)(a-2)}\cdot\dfrac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \dfrac{2a^2+8}{(a+2)(a-2)}\cdot\dfrac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \dfrac{2(a^2+4)}{(a+2)(a-2)}\cdot\dfrac{(a-2)^2}{2(a^2+4)} = \dfrac{a-2}{a+2}$

7.10. Спростіть вираз:

$\dfrac{36}{a-3}:(\dfrac{a+3}{a-3}-\dfrac{a-3}{a+3}+\dfrac{36}{a^2-9}) = \dfrac{36}{a-3}:(\dfrac{(a+3)^2-(a-3)^2+36}{(a-3)(a+3)}) = \dfrac{36}{a-3}:\dfrac{a^2+6a+9-a^2+6a-9+36}{a^2-9} = \dfrac{36}{a-3}:\dfrac{12a+36}{a^2-9} = \dfrac{36}{a-3}\cdot\dfrac{(a-3)(a+3)}{12(a+3)} = \dfrac{36}{12} = 3$
$(\dfrac{2x+y}{x-2y}+\dfrac{2x-y}{x+2y})\cdot\dfrac{x^2-4y^2}{x^2+y^2} = \dfrac{(2x+y)(x+2y)+(2x-y)(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\dfrac{x^2-4y^2}{x^2+y^2} = \dfrac{2x^2+5xy+2y^2+2x^2-5xy+2y^2}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^2-4y^2}{x^2+y^2} = \dfrac{4x^2+4y^2}{x^2-4y^2}\cdot\dfrac{x^2-4y^2}{x^2+y^2} = \dfrac{4(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 4$

7.11. Спростіть вираз:

$\dfrac{16}{x+2}:(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{16}{x^2-4}-\dfrac{x-2}{x+2}) = \dfrac{16}{x+2}:\dfrac{(x+2)^2-16-(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{16}{x+2}:\dfrac{x^2+4x+4-16-x^2+4x-4}{x^2-4} = \dfrac{16}{x+2}:\dfrac{8x-16}{x^2-4} = \dfrac{16}{x+2}\cdot\dfrac{(x-2)(x+2)}{8(x-2)} = \dfrac{16}{8} = 2$
$(\dfrac{5a+1}{a-2}+\dfrac{5a-1}{a+2})\cdot\dfrac{a^2-4}{5a^2+2} = \dfrac{(5a+1)(a+2)+(5a-1)(a-2)}{(a-2)(a+2)}\cdot\dfrac{a^2-4}{5a^2+2} = \dfrac{5a^2+11a+2+5a^2-11a+2}{a^2-4}\cdot\dfrac{a^2-4}{5a^2+2} = \dfrac{10a^2+4}{a^2-4}\cdot\dfrac{a^2-4}{5a^2+2} = \dfrac{2(5a^2+2)}{5a^2+2} = 2$

7.12. Доведіть тотожність:

$(\dfrac{a}{a-5}-\dfrac{a}{a+5}-\dfrac{a^2+25}{25-a^2})\cdot\dfrac{a-5}{a^2+10a+25} = (\dfrac{a}{a-5}-\dfrac{a}{a+5}+\dfrac{a^2+25}{a^2-25})\cdot\dfrac{a-5}{(a+5)^2} = \dfrac{a(a+5)-a(a-5)+a^2+25}{(a-5)(a+5)}\cdot\dfrac{a-5}{(a+5)^2} = \dfrac{a^2+5a-a^2+5a+a^2+25}{a^2-25}\cdot\dfrac{a-5}{(a+5)^2} = \dfrac{a^2+10a+25}{a^2-25}\cdot\dfrac{a-5}{(a+5)^2} = \dfrac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)}\cdot\dfrac{a-5}{(a+5)^2} = \dfrac{1}{a+5}$

7.13. Доведіть тотожність:

$(\dfrac{b}{b+7}+\dfrac{b^2+49}{b^2-49}-\dfrac{b}{b-7}):\dfrac{b-7}{b^2+14b+49} = \dfrac{b(b-7)+b^2+49-b(b+7)}{(b-7)(b+7)}:\dfrac{b-7}{(b+7)^2} = \dfrac{b^2-7b+b^2+49-b^2-7b}{b^2-49}\cdot\dfrac{(b+7)^2}{b-7} = \dfrac{b^2-14b+49}{b^2-49}\cdot\dfrac{(b+7)^2}{b-7} = \dfrac{(b-7)^2}{(b-7)(b+7)}\cdot\dfrac{(b+7)^2}{b-7} = b+7$

7.14. Виконайте дії:

$(\dfrac{1}{1-a^2}-\dfrac{1}{a^2+2a+1}):\dfrac{2a}{a^2-1} = (\dfrac{1}{(1-a)(1+a)}-\dfrac{1}{(a+1)^2}):\dfrac{2a}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{a+1-(1-a)}{(1-a)(a+1)^2}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}{2a} = \dfrac{2a}{-(a-1)(a+1)^2}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}{2a} = -\dfrac{1}{a+1}$
$(\dfrac{x+1}{2x-2}-\dfrac{x+3}{2x+2}+\dfrac{6}{2x^2-2})\cdot\dfrac{4x^2-4}{5} = (\dfrac{x+1}{2(x-1)}-\dfrac{x+3}{2(x+1)}+\dfrac{6}{2(x-1)(x+1)})\cdot\dfrac{4(x-1)(x+1)}{5} = \dfrac{(x+1)^2-(x+3)(x-1)+6}{2(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{4(x^2-1)}{5} = \dfrac{x^2+2x+1-(x^2+2x-3)+6}{2(x^2-1)}\cdot\dfrac{4(x^2-1)}{5} = \dfrac{10}{2(x^2-1)}\cdot\dfrac{4(x^2-1)}{5} = \dfrac{40}{10} = 4$

7.15. Виконайте дії:

$(\dfrac{1}{4-a^2}-\dfrac{1}{a^2-4a+4})\cdot\dfrac{a^2-4}{2a} = (\dfrac{1}{(2-a)(2+a)}-\dfrac{1}{(a-2)^2})\cdot\dfrac{(a-2)(a+2)}{2a} = (\dfrac{-1}{(a-2)(a+2)}-\dfrac{1}{(a-2)^2})\cdot\dfrac{(a-2)(a+2)}{2a} = \dfrac{-(a-2)-(a+2)}{(a-2)^2(a+2)}\cdot\dfrac{(a-2)(a+2)}{2a} = \dfrac{-2a}{(a-2)^2(a+2)}\cdot\dfrac{(a-2)(a+2)}{2a} = \dfrac{-1}{a-2} = \dfrac{1}{2-a}$
$(\dfrac{a+1}{3a-3}-\dfrac{a+2}{3a+3}+\dfrac{21-a}{3a^2-3}):\dfrac{4}{a^2-1} = (\dfrac{a+1}{3(a-1)}-\dfrac{a+2}{3(a+1)}+\dfrac{21-a}{3(a-1)(a+1)}):\dfrac{4}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{(a+1)^2-(a+2)(a-1)+21-a}{3(a-1)(a+1)}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}{4} = \dfrac{a^2+2a+1-(a^2+a-2)+21-a}{12} = \dfrac{24}{12} = 2$

7.16. Доведіть тотожність:

$(2-\dfrac{2a^2-a}{a^2-a+1}):(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{a-1}{a^2-a+1}) = \dfrac{2(a^2-a+1)-(2a^2-a)}{a^2-a+1}:\dfrac{a^2-a+1-(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} = \dfrac{-a+2}{a^2-a+1}:\dfrac{-a+2}{a^3+1} = \dfrac{-a+2}{a^2-a+1}\cdot\dfrac{a^3+1}{-a+2} = \dfrac{(a+1)(a^2-a+1)}{a^2-a+1} = a+1$
$(\dfrac{m-2}{m^2-2m+4}-\dfrac{6m-13}{m^3+8})\cdot\dfrac{2m^3+16}{18-6m} = \dfrac{(m-2)(m+2)-(6m-13)}{(m+2)(m^2-2m+4)}\cdot\dfrac{2(m^3+8)}{6(3-m)} = \dfrac{m^2-4-6m+13}{m^3+8}\cdot\dfrac{2(m^3+8)}{-6(m-3)} = \dfrac{m^2-6m+9}{1}\cdot\dfrac{2}{-6(m-3)} = \dfrac{(m-3)^2}{-3(m-3)} = \dfrac{m-3}{-3} = \dfrac{3-m}{3}$

7.17. Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу не залежить від значення змінної:

$\dfrac{a+2}{16}\cdot(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{3a-8}{a^2-2a+4}-\dfrac{4a-28}{a^3+8}) = \dfrac{a+2}{16}\cdot\dfrac{a^2-2a+4+(3a-8)(a+2)-(4a-28)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \dfrac{a+2}{16}\cdot\dfrac{a^2-2a+4+3a^2-2a-16-4a+28}{a^3+8} = \dfrac{a+2}{16}\cdot\dfrac{4a^2-8a+16}{a^3+8} = \dfrac{a+2}{16}\cdot\dfrac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$
$(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{3}{a^3+1}+\dfrac{3}{a^2-a+1})(a-\dfrac{2a-1}{a+1}) = \dfrac{a^2-a+1-3+3(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}\cdot\dfrac{a(a+1)-(2a-1)}{a+1} = \dfrac{a^2+2a+1}{a^3+1}\cdot\dfrac{a^2-a+1}{a+1} = \dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)}\cdot\dfrac{a^2-a+1}{a+1} = 1$

7.18. Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу … від значення змінної не залежить.

$\dfrac{b-2}{15}\cdot(\dfrac{1}{b-2}+\dfrac{9b+6}{b^3-8}-\dfrac{1-2b}{b^2+2b+4}) = \dfrac{b-2}{15}\cdot\dfrac{b^2+2b+4+9b+6-(1-2b)(b-2)}{(b-2)(b^2+2b+4)} = \dfrac{b-2}{15}\cdot\dfrac{b^2+11b+10-(-2b^2+5b-2)}{b^3-8} = \dfrac{b-2}{15}\cdot\dfrac{3b^2+6b+12}{b^3-8} = \dfrac{b-2}{15}\cdot\dfrac{3(b^2+2b+4)}{(b-2)(b^2+2b+4)} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$

7.19. Подайте у вигляді раціонального дробу:

$(\dfrac{m}{n}-\dfrac{n}{m})^2 = (\dfrac{m^2-n^2}{nm})^2 = \dfrac{(m^2-n^2)^2}{n^2m^2}$
$(\dfrac{a^2}{b}-1)^2+(\dfrac{a^2}{b}+1)^2 = (\dfrac{a^2-b}{b})^2+(\dfrac{a^2+b}{b})^2 = \dfrac{(a^2-b)^2+(a^2+b)^2}{b^2} = \dfrac{a^4-2a^2b+b^2+a^4+2a^2b+b^2}{b^2} = \dfrac{2a^4+2b^2}{b^2}$
$(\dfrac{x}{y^2}-\dfrac{y}{x^2})^2+(\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2})^2 = \dfrac{(x^3-y^3)^2+(x^3+y^3)^2}{x^4y^4} = \dfrac{x^6-2x^3y^3+y^6+x^6+2x^3y^3+y^6}{x^4y^4} = \dfrac{2x^6+2y^6}{x^4y^4}$
$(\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a-b}{b})^2-(\dfrac{a+b}{a}-\dfrac{a-b}{b})^2 = 4\cdot\dfrac{a+b}{a}\cdot\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{4(a^2-b^2)}{ab}$

7.20. Перетворіть вираз на дріб:

$(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2 = (\dfrac{x^2+y^2}{xy})^2 = \dfrac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2}$
$(\dfrac{m}{n^2}+1)^2-(\dfrac{m}{n^2}-1)^2 = 4\cdot\dfrac{m}{n^2} = \dfrac{4m}{n^2}$

7.21. Спростіть вираз:

$\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}} = \dfrac{\dfrac{x-1}{x}}{\dfrac{x+1}{x}} = \dfrac{x-1}{x+1}$
$\dfrac{\dfrac{7x-a}{a}+1}{\dfrac{7x+a}{a}-1} = \dfrac{\dfrac{7x-a+a}{a}}{\dfrac{7x+a-a}{a}} = \dfrac{\dfrac{7x}{a}}{\dfrac{7x}{a}} = 1$
$\dfrac{\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2p}}{\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{2p^2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2p}}{\dfrac{1}{2p^2}} = p$
$\dfrac{c-\dfrac{6c-9}{c}}{\dfrac{3}{c}-1} = \dfrac{\dfrac{c^2-6c+9}{c}}{\dfrac{3-c}{c}} = \dfrac{(c-3)^2}{-(c-3)} = -(c-3) = 3-c$
$\dfrac{\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x-1}{x}} = \dfrac{\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x(x-1)}}{\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x(x+1)}} = \dfrac{\dfrac{1}{x(x-1)}}{\dfrac{1}{x(x+1)}} = \dfrac{x+1}{x-1}$
$\dfrac{\dfrac{1}{n-m}-\dfrac{1}{n+m}}{\dfrac{1}{n-m}+\dfrac{1}{n+m}} = \dfrac{\dfrac{n+m-(n-m)}{(n-m)(n+m)}}{\dfrac{n+m+n-m}{(n-m)(n+m)}} = \dfrac{2m}{2n} = \dfrac{m}{n}$

7.22. Спростіть вираз:

$\dfrac{1+\dfrac{4}{m}}{1-\dfrac{4}{m}} = \dfrac{\dfrac{m+4}{m}}{\dfrac{m-4}{m}} = \dfrac{m+4}{m-4}$
$\dfrac{\dfrac{3p+m}{m}-1}{\dfrac{3p-m}{m}+1} = \dfrac{\dfrac{3p+m-m}{m}}{\dfrac{3p-m+m}{m}} = \dfrac{\dfrac{3p}{m}}{\dfrac{3p}{m}} = 1$
$\dfrac{\dfrac{1}{4t}+\dfrac{1}{t}}{\dfrac{1}{4t^2}+\dfrac{1}{t^2}} = \dfrac{\dfrac{1+4}{4t}}{\dfrac{1+4}{4t^2}} = \dfrac{\dfrac{5}{4t}}{\dfrac{5}{4t^2}} = t$
$\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{x-\dfrac{2x-1}{x}} = \dfrac{\dfrac{x-1}{x}}{\dfrac{x^2-2x+1}{x}} = \dfrac{x-1}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{x-1}$
$\dfrac{\dfrac{m}{2-m}+\dfrac{2+m}{m}}{\dfrac{m}{2+m}+\dfrac{2-m}{m}} = \dfrac{\dfrac{m^2+4-m^2}{m(2-m)}}{\dfrac{m^2+4-m^2}{m(2+m)}} = \dfrac{\dfrac{4}{m(2-m)}}{\dfrac{4}{m(2+m)}} = \dfrac{2+m}{2-m}$
$\dfrac{\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}}{\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}} = \dfrac{\dfrac{x+2+x-2}{(x-2)(x+2)}}{\dfrac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}} = \dfrac{2x}{4} = \dfrac{x}{2}$

7.23. Доведіть, що для всіх допустимих значень змінних значення виразу не залежить від значення змінних:

$\dfrac{8}{4a-b}:(\dfrac{2a-0,5b}{4a^2+ab+0,25b^2}+\dfrac{24ab}{64a^3-b^3}+\dfrac{1}{2a-0,5b}) =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:(\dfrac{0,5(4a-b)}{0,25(16a^2+4ab+b^2)}+\dfrac{24ab}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)}+\dfrac{1}{0,5(4a-b)}) =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:(\dfrac{2(4a-b)}{16a^2+4ab+b^2}+\dfrac{24ab}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)}+\dfrac{2}{4a-b}) =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:\dfrac{2(4a-b)^2+24ab+2(16a^2+4ab+b^2)}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:\dfrac{2(16a^2-8ab+b^2)+24ab+32a^2+8ab+2b^2}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:\dfrac{32a^2-16ab+2b^2+24ab+32a^2+8ab+2b^2}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:\dfrac{64a^2+16ab+4b^2}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} = \dfrac{8}{4a-b}:\dfrac{4(16a^2+4ab+b^2)}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} =$

$= \dfrac{8}{4a-b}:\dfrac{4}{4a-b} = \dfrac{8}{4a-b}\cdot\dfrac{4a-b}{4} = 2$

Вираз дорівнює 2, отже, його значення не залежить від значень змінних.

7.24. Знайдіть значення виразу:

$(\dfrac{1,5a-4}{0,5a^2-a+2}-\dfrac{2a-14}{0,5a^3+4}+\dfrac{1}{a+2}):\dfrac{4}{a+2} =$

$= (\dfrac{1,5a-4}{0,5(a^2-2a+4)}-\dfrac{2a-14}{0,5(a^3+8)}+\dfrac{1}{a+2}):\dfrac{4}{a+2} =$

$= (\dfrac{2(1,5a-4)}{a^2-2a+4}-\dfrac{2(2a-14)}{(a+2)(a^2-2a+4)}+\dfrac{1}{a+2}):\dfrac{4}{a+2} =$

$= \dfrac{(3a-8)(a+2)-(4a-28)+(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}\cdot\dfrac{a+2}{4} =$

$= \dfrac{3a^2+6a-8a-16-4a+28+a^2-2a+4}{a^2-2a+4}\cdot\dfrac{1}{4} =$

$= \dfrac{4a^2-8a+16}{a^2-2a+4}\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{4(a^2-2a+4)}{a^2-2a+4}\cdot\dfrac{1}{4} = 1$

Значення виразу дорівнює 1 при будь-якому значенні $a$ , в тому числі і при $a=197$ .

7.25. Відомо, що $x-\dfrac{1}{x}=7$ . Знайдіть значення виразу $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ .

$(x-\dfrac{1}{x})^2 = 7^2$

$x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} = 49$

$x^2-2+\dfrac{1}{x^2} = 49$

$x^2+\dfrac{1}{x^2} = 49+2 = 51$

7.26. Знайдіть значення виразу $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ , якщо $x+\dfrac{1}{x}=3$ .

$(x+\dfrac{1}{x})^2 = 3^2$

$x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} = 9$

$x^2+2+\dfrac{1}{x^2} = 9$

$x^2+\dfrac{1}{x^2} = 9-2 = 7$

7.27. Спростіть вираз:

$(\dfrac{8x^2+2x}{8x^3-1}-\dfrac{2x+1}{4x^2+2x+1})\cdot(1+\dfrac{2x+1}{2x}-\dfrac{4x^2+10x}{4x^2+2x})$$= (\dfrac{8x^2+2x}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}-\dfrac{2x+1}{4x^2+2x+1})\cdot(1+\dfrac{2x+1}{2x}-\dfrac{2x(2x+5)}{2x(2x+1)})$$= \dfrac{8x^2+2x-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}\cdot(1+\dfrac{2x+1}{2x}-\dfrac{2x+5}{2x+1})$

$= \dfrac{8x^2+2x-(4x^2-1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}\cdot\dfrac{2x(2x+1)+(2x+1)^2-2x(2x+5)}{2x(2x+1)}$

$= \dfrac{4x^2+2x+1}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}\cdot\dfrac{4x^2+2x+4x^2+4x+1-4x^2-10x}{2x(2x+1)}$

$= \dfrac{1}{2x-1}\cdot\dfrac{4x^2-4x+1}{2x(2x+1)}$

$= \dfrac{1}{2x-1}\cdot\dfrac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)}$

$= \dfrac{2x-1}{2x(2x+1)}$
$\dfrac{p^2-2p+1}{4}\cdot(\dfrac{2p}{p^3+1}:\dfrac{1-p}{p^2-p+1}+\dfrac{2}{p-1}):\dfrac{p-1}{p+1}$$= \dfrac{(p-1)^2}{4}\cdot(\dfrac{2p}{(p+1)(p^2-p+1)}\cdot\dfrac{p^2-p+1}{1-p}+\dfrac{2}{p-1}):\dfrac{p-1}{p+1}$$= \dfrac{(p-1)^2}{4}\cdot(\dfrac{-2p}{(p+1)(p-1)}+\dfrac{2(p+1)}{(p+1)(p-1)}):\dfrac{p-1}{p+1}$

$= \dfrac{(p-1)^2}{4}\cdot\dfrac{-2p+2p+2}{(p+1)(p-1)}:\dfrac{p-1}{p+1}$

$= \dfrac{(p-1)^2}{4}\cdot\dfrac{2}{(p-1)(p+1)}\cdot\dfrac{p+1}{p-1}$

$= \dfrac{(p-1)^2}{4}\cdot\dfrac{2(p+1)}{(p-1)^2(p+1)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

7.28. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної.

$(\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{4x}{x^2-1})(\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{4x}{x^2-1})$

$= (\dfrac{2x(x-1)+2(x+1)+4x}{(x-1)(x+1)})(\dfrac{2x(x-1)+2(x+1)-4x}{(x-1)(x+1)})$

$= (\dfrac{2x^2-2x+2x+2+4x}{x^2-1})(\dfrac{2x^2-2x+2x+2-4x}{x^2-1})$

$= \dfrac{2x^2+4x+2}{x^2-1}\cdot\dfrac{2x^2-4x+2}{x^2-1}$

$= \dfrac{2(x^2+2x+1)}{x^2-1}\cdot\dfrac{2(x^2-2x+1)}{x^2-1}$

$= \dfrac{2(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{2(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$

$= \dfrac{2(x+1)}{x-1}\cdot\dfrac{2(x-1)}{x+1} = 4$

7.29. Доведіть, що значення виразу є додатним для всіх допустимих значень змінної.

$(\dfrac{m^2-3m}{m^3+3m^2+3m+1}+\dfrac{1}{m^2+2m+1})\cdot(\dfrac{3-m}{m^2-2m+1}-\dfrac{2}{1-m})$

Перетворимо перший множник:

$\dfrac{m^2-3m}{(m+1)^3}+\dfrac{1}{(m+1)^2} = \dfrac{m^2-3m+m+1}{(m+1)^3} = \dfrac{m^2-2m+1}{(m+1)^3} = \dfrac{(m-1)^2}{(m+1)^3}$

Перетворимо другий множник:

$\dfrac{3-m}{(m-1)^2}-\dfrac{2}{-(m-1)} = \dfrac{3-m}{(m-1)^2}+\dfrac{2}{m-1} = \dfrac{3-m+2(m-1)}{(m-1)^2} = \dfrac{3-m+2m-2}{(m-1)^2} = \dfrac{m+1}{(m-1)^2}$

Помножимо отримані вирази:

$\dfrac{(m-1)^2}{(m+1)^3}\cdot\dfrac{m+1}{(m-1)^2} = \dfrac{1}{(m+1)^2}$

Припустимі значення змінної: $m \neq -1$ і $m \neq 1$ .

Вираз $\dfrac{1}{(m+1)^2}$ є додатним для всіх допустимих значень $m$ , оскільки чисельник 1 є додатним, а знаменник $(m+1)^2$ завжди додатний, якщо $m \neq -1$ .

7.30. Подайте у вигляді раціонального дробу або цілого виразу:

$1-\dfrac{x}{1-\dfrac{x}{x+1}} = 1-\dfrac{x}{\dfrac{x+1-x}{x+1}} = 1-\dfrac{x}{\dfrac{1}{x+1}} = 1-x(x+1) = 1-x^2-x = -x^2-x+1$
$\dfrac{m}{m-\dfrac{1}{m-\dfrac{m}{1-m}}} = \dfrac{m}{m-\dfrac{1}{\dfrac{m(1-m)-m}{1-m}}} = \dfrac{m}{m-\dfrac{1-m}{-m^2}} = \dfrac{m}{m+\dfrac{1-m}{m^2}} = \dfrac{m}{\dfrac{m^3+1-m}{m^2}} = \dfrac{m^3}{m^3-m+1}$

7.31. Подайте у вигляді раціонального дробу або цілого виразу:

$1+\dfrac{2x}{1-\dfrac{x}{x+2}} = 1+\dfrac{2x}{\dfrac{x+2-x}{x+2}} = 1+\dfrac{2x}{\dfrac{2}{x+2}} = 1+x(x+2) = 1+x^2+2x = (x+1)^2$
$\dfrac{1}{n-\dfrac{1}{n+\dfrac{n}{n-1}}} = \dfrac{1}{n-\dfrac{1}{\dfrac{n(n-1)+n}{n-1}}} = \dfrac{1}{n-\dfrac{n-1}{n^2}} = \dfrac{1}{\dfrac{n^3-n+1}{n^2}} = \dfrac{n^2}{n^3-n+1}$

Вправи для повторення

7.32. Подайте вираз у вигляді степеня:

$x^7 \cdot x^3 : x^2 = x^{7+3-2} = x^8$
$(x^5 : x^2) : x = x^{5-2} : x = x^3 : x = x^{3-1} = x^2$
$(a^2)^3 \cdot a = a^{2 \cdot 3} \cdot a = a^6 \cdot a^1 = a^{6+1} = a^7$
$(x^3)^5 : x^4 = x^{3 \cdot 5} : x^4 = x^{15} : x^4 = x^{15-4} = x^{11}$

7.33. Доведіть, що число $8^9 - 4^{12}$ ділиться на 7.

$8^9 - 4^{12} = (2^3)^9 - (2^2)^{12} = 2^{27} - 2^{24} = 2^{24}(2^3-1) = 2^{24}(8-1) = 2^{24} \cdot 7$

7.34. Побудуйте графік функції:

$y = \begin{cases} 2x+4, & \text{якщо } x < 0 \\ 4-x, & \text{якщо } x \ge 0 \end{cases}$

Для побудови графіка потрібно:

на проміжку $(-\infty; 0)$ побудувати графік функції $y=2x+4$ . Це промінь, що виходить з точки $(0;4)$ (точка виколота) і проходить через точку $(-2;0)$ .
на проміжку $\[0; +\infty)$ побудувати графік функції $y=4-x$ . Це промінь, що виходить з точки $(0;4)$ і проходить через точку $(4;0)$ .

$y = \begin{cases} 2x+5, & \text{якщо } x < -1 \\ 3, & \text{якщо } -1 \le x \le 4 \\ x-1, & \text{якщо } x > 4 \end{cases}$

Для побудови графіка потрібно:

на проміжку $(-\infty; -1)$ побудувати графік функції $y=2x+5$ . Це промінь, що виходить з точки $(-1;3)$ (точка виколота) і проходить через точку $(-2;1)$ .
на проміжку $\[-1; 4\]$ побудувати графік функції $y=3$ . Це відрізок, що з’єднує точки $(-1;3)$ та $(4;3)$ .
на проміжку $(4; +\infty)$ побудувати графік функції $y=x-1$ . Це промінь, що виходить з точки $(4;3)$ (точка виколота) і проходить через точку $(5;4)$ .

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

7.35. Для яких значень змінної має зміст вираз:

$\dfrac{x-1}{7}$ Вираз має зміст при будь-яких значеннях $x$ .
$\dfrac{7}{x-1}$$x-1 \neq 0$$x \neq 1$
$\dfrac{x+2}{x(x+3)}$$x(x+3) \neq 0$$x \neq 0$ та $x \neq -3$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-5}$$x \neq 0$ та $x-5 \neq 0$$x \neq 0$ та $x \neq 5$
$\dfrac{x^2}{x^2-9}$$x^2-9 \neq 0$$(x-3)(x+3) \neq 0$

$x \neq 3$ та $x \neq -3$
$\dfrac{x-5}{x^2-4x}$$x^2-4x \neq 0$$x(x-4) \neq 0$

$x \neq 0$ та $x \neq 4$

7.36. Для яких значень змінної дорівнює нулю значення дробу:

$\dfrac{(m-1)m}{m+2}=0$$(m-1)m=0$ та $m+2 \neq 0$$m=1$ або $m=0$ , та $m \neq -2$

Відповідь: $m=0$ або $m=1$ .
$\dfrac{x^2-2x}{8}=0$$x^2-2x=0$$x(x-2)=0$

$x=0$ або $x=2$

Відповідь: $x=0$ або $x=2$ .
$\dfrac{(m+2)m}{m^2-4}=0$$(m+2)m=0$ та $m^2-4 \neq 0$$m=-2$ або $m=0$ , та $(m-2)(m+2) \neq 0 \implies m \neq 2, m \neq -2$

Відповідь: $m=0$ .
$\dfrac{x}{x^2+x}=0$$x=0$ та $x^2+x \neq 0$$x=0$ та $x(x+1) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -1$

Оскільки $x=0$ не входить в область допустимих значень, дріб ніколи не дорівнює нулю.

Відповідь: таких значень немає.

7.37. Розв’яжіть рівняння:

$2(x-3) = 4(x+7)-11$$2x-6 = 4x+28-11$$2x-6 = 4x+17$

$2x-4x = 17+6$

$-2x = 23$

$x = -\dfrac{23}{2} = -11,5$
$5(x-2)-7(x+1) = 9(x-8)$$5x-10-7x-7 = 9x-72$$-2x-17 = 9x-72$

$-11x = -55$

$x = 5$

7.38. Розв’яжіть рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:

$\dfrac{2x-4}{7} = \dfrac{3x+1}{9}$$9(2x-4) = 7(3x+1)$$18x-36 = 21x+7$

$-3x = 43$

$x = -\dfrac{43}{3}$
$\dfrac{2x-11}{5} = \dfrac{3x+17}{10}$$10(2x-11) = 5(3x+17)$$2(2x-11) = 3x+17$

$4x-22 = 3x+17$

$x = 39$

Життєва математика

7.39. Заробітна плата водійки тролейбуса пропорційна кількості відпрацьованих годин. За місяць водійка відпрацювала 160 годин та отримала 21 600 грн. Скільки годин має відпрацювати водійка наступного місяця, щоб отримати 24 300 грн?

Знайдемо вартість однієї години роботи:

$21600 : 160 = 135$ (грн/год)

Знайдемо, скільки годин потрібно відпрацювати, щоб отримати 24 300 грн:

$24300 : 135 = 180$ (годин)

Або складемо пропорцію, де $x$ — кількість годин для отримання 24 300 грн:

$\dfrac{160}{21600} = \dfrac{x}{24300}$

$x = \dfrac{160 \cdot 24300}{21600} = \dfrac{160 \cdot 243}{216} = \dfrac{160 \cdot 9}{8} = 20 \cdot 9 = 180$ (годин)

Відповідь: 180 годин.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

7.40. (З книги «Універсальна арифметика» Ньютона.) Дехто забажав розділити певну суму коштів між жебраками порівну. Якби в нього було на 8 динарів більше, то він мав би дати кожному по 3 динари, але він роздав лише по 2 динари і ще 3 в нього залишилося. Скільки було жебраків?

Нехай $x$ — кількість жебраків, а $S$ — сума грошей, яка була в чоловіка.

$S+8 = 3x$

$S = 2x+3$

Прирівняємо вирази для $S$ :

$3x-8 = 2x+3$

$3x-2x = 8+3$

$x = 11$

Відповідь: було 11 жебраків.