§26. Залежність опору провідника від його довжини, площі поперечного перерізу та матеріалу. Питомий опір. Реостати

Зміст

1. Із двох провідників однакової площі поперечного перерізу, виготовлених з однакової речовини, перший удвічі коротший за другий. Який з провідників має більший електричний опір і в скільки разів?

Опір провідника прямо пропорційний його довжині. Це описується формулою:

$R = \rho \cdot \dfrac{l}{S}$

Оскільки площа перерізу $S$ та питомий опір речовини $\rho$ в обох провідників однакові, то опір залежить тільки від довжини $l$. Другий провідник у 2 рази довший за перший, тому його електричний опір буде у 2 рази більшим.

2. Металеву дротину розрізали навпіл по довжині й половинки сплели. Як змінився опір провідника?

Опір провідника залежить від його довжини та площі поперечного перерізу за формулою:

$R = \rho \cdot \dfrac{l}{S}$

При розрізанні дротини навпіл її довжина $l$ зменшилася у 2 рази, що призвело до зменшення опору вдвічі. Коли ці дві половинки сплели разом, площа поперечного перерізу $S$ збільшилася у 2 рази, що ще раз зменшило опір у 2 рази. Таким чином, загальний опір провідника зменшився у 4 рази.

Перевірте себе

1. Чи зміняться показники амперметра (мал. 26.4), якщо повзунок реостата переміщувати вправо? Якщо зміняться, то як?

Показники амперметра зміняться. Якщо переміщувати повзунок реостата вправо, то довжина провідника, по якому проходить струм, збільшиться. Оскільки опір прямо пропорційний довжині, то загальний опір кола зросте, а сила струму, згідно із законом Ома, зменшиться. Отже, показники амперметра зменшаться.

2. На скільки більший опір латунного провідника довжиною 1 м і площею поперечного перерізу 1 мм² від алюмінієвого таких самих розмірів?

Дано:

• $l = 1 \text{ м}$
• $S = 1 \text{ мм}^2$
• $\rho_1 = 0,07 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (питомий опір латуні)
• $\rho_2 = 0,028 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (питомий опір алюмінію)

Знайти:

$\Delta R - ?$

Розв’язання:

Формула для розрахунку опору провідника:

$R = \rho_{\text{п}} \cdot \dfrac{l}{S}$ 5

Опір латунного провідника:

$R_1 = 0,07 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \dfrac{1 \text{ м}}{1 \text{ мм}^2} = 0,07 \text{ Ом}$

Опір алюмінієвого провідника:

$R_2 = 0,028 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \dfrac{1 \text{ м}}{1 \text{ мм}^2} = 0,028 \text{ Ом}$

Різниця опорів:

$\Delta R = R_1-R_2 = 0,07 \text{ Ом}-0,028 \text{ Ом} = 0,042 \text{ Ом}$

Відповідь: $\Delta R = 0,042 \text{ Ом}$

3. Визначте питомий опір провідника довжиною 0,5 км, якщо його опір становить 22 Ом, а площа поперечного перерізу 10 мм².

Дано:

• $l = 0,5 \text{ км}$
• $R = 22 \text{ Ом}$
• $S = 10 \text{ мм}^2$

CI:

$l = 500 \text{ м}$

Знайти:

$\rho_{\text{п}} - ?$

Розв’язання:

З формули опору $R = \rho_{\text{п}} \cdot \dfrac{l}{S}$ виразимо питомий опір: 6

$\rho_{\text{п}} = \dfrac{R \cdot S}{l}$

Підставимо значення:

$\rho_{\text{п}} = \dfrac{22 \text{ Ом} \cdot 10 \text{ мм}^2}{500 \text{ м}} = 0,44 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Відповідь: $\rho_{\text{п}} = 0,44 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

4. Визначте площу поперечного перерізу нікелінового дроту довжиною 8 м, необхідного для виготовлення реостата опором 20 Ом.

Дано:

• $\rho_{\text{п}} = 0,42 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (питомий опір нікеліну)
• $l = 8 \text{ м}$
• $R = 20 \text{ Ом}$

Знайти:

$S - ?$

Розв’язання:

З формули опору $R = \rho_{\text{п}} \cdot \dfrac{l}{S}$ виразимо площу поперечного перерізу:

$S = \dfrac{\rho_{\text{п}} \cdot l}{R}$

Підставимо значення:

$S = \dfrac{0,42 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot 8 \text{ м}}{20 \text{ Ом}} = 0,168 \text{ мм}^2$

Відповідь: $S = 0,168 \text{ мм}^2$

5. Визначте напругу, яку треба прикласти до кінців сталевого дроту довжиною 8 м і площею поперечного перерізу 4,8 мм², щоб одержати в ньому струм 5 А.

Дано:

• $l = 8 \text{ м}$
• $S = 4,8 \text{ мм}^2$
• $I = 5 \text{ А}$
• $\rho_{\text{п}} = 0,10 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (питомий опір сталі)

Знайти:

$U - ?$

Розв’язання:

За законом Ома:

$U = I \cdot R$ 8888

Опір дроту визначимо за формулою:

$R = \rho_{\text{п}} \cdot \dfrac{l}{S}$ 9

Підставимо формулу опору в формулу напруги:

$U = I \cdot \rho_{\text{п}} \cdot \dfrac{l}{S}$

Обчислимо:

$U = 5 \text{ А} \cdot 0,10 \dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \dfrac{8 \text{ м}}{4,8 \text{ мм}^2} = 5 \cdot 0,10 \cdot 1,666… \approx 0,85 \text{ В}$

Відповідь: $U \approx 0,85 \text{ В}$