9. Учимося розв’язувати задачі

Зміст

1. Камінь масою 500 г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергії каменя на висоті 10 м.

Дано:

• $m = 0,5$ кг
• $v_0 = 20$ м/с
• $h = 10$ м

Знайти: $E_k = ?$, $E_p = ?$

Розв’язання:

Використаємо закон збереження механічної енергії: $E = E_k + E_p$.

Початкова кінетична енергія:

$E_{k0} = \dfrac{1}{2} m v_0^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 400 = 100$ Дж

Потенціальна енергія на висоті $h$:

$E_p = m g h = 0,5 \cdot 10 \cdot 10 = 50$ Дж

Кінетична енергія на висоті $h$:

$E_k = E_{k0} - E_p = 100 - 50 = 50$ Дж

Відповідь: $E_k = 50$ Дж, $E_p = 50$ Дж

2. Тіло, що перебувало в стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху тіла дорівнюватиме 10 м/с?

Дано:

• $h_0 = 20$ м
• $v_0 = 0$ м/с
• $v = 10$ м/с

Знайти: $h = ?$

Розв’язання:

Використаємо закон збереження механічної енергії: $E_{p0} = E_k + E_p$.

Початкова потенціальна енергія:

$E_{p0} = m g h_0$

Енергія на висоті $h$:

$\dfrac{1}{2} m v^2 + m g h = m g h_0$

Спрощуємо (масу скасовуємо):

$\dfrac{1}{2} v^2 + g h = g h_0$

$h = h_0 - \dfrac{v^2}{2 g} = 20 - \dfrac{100}{20} = 20 - 5 = 15$ м

Відповідь: 15 м

3. Пружинний пістолет заряджають кулькою масою 6 г і стріляють угору. На яку висоту підніметься кулька, якщо пружину жорсткістю 180 Н/м було стиснуто на 4 см?

Дано:

• $m = 0,006$ кг
• $k = 180$ Н/м
• $x = 0,04$ м
• $g \approx 10 м/с^2$

Знайти: $h = ?$

Розв’язання:

$E_{p, пружини} = E_{p, кульки}$

$\dfrac{k \cdot x^2}{2} = m \cdot g \cdot h$

$h = \dfrac{k \cdot x^2}{2 \cdot m \cdot g}$

$h = \dfrac{180 \cdot (0.04)^2}{2 \cdot 0.006 \cdot 10} = \dfrac{180 \cdot 0.0016}{0.12} = \dfrac{0.288}{0.12} = 2.4 м$

Відповідь: 2,4 м

4. М’яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 8 м/с. Визначте, на якій висоті швидкість руху м’яча зменшиться удвічі.

Дано:

• $v_0 = 8$ м/с
• $v = 4$ м/с
• $g \approx 10 м/с^2$

Знайти: $h = ?$

Розв’язання:

Використаємо формулу для швидкості:

$v^2 = v_0^2 - 2 g h$.

$16 = 64 - 20 h$

$20 h = 48$

$h = \dfrac{48}{20} = 2,4$ м

Відповідь: 2,4 м

5. Кульку кинули горизонтально з висоти 4 м зі швидкістю 8 м/с. Визначте швидкість руху кульки в момент падіння на поверхню землі.

Дано:

• $h = 4$ м
• $v_x = 8$ м/с
• $g \approx 10 м/с^2$

Знайти: $v = ?$

Розв’язання:

$E_{k0} + E_{p0} = E_k$

$\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} + m \cdot g \cdot h = \dfrac{m \cdot v^2}{2}$

$\dfrac{v_0^2}{2} + g \cdot h = \dfrac{v^2}{2}$

$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h$

$v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h}$

$v = \sqrt{8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 4} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12 м/с$

Відповідь: 12 м/с

6. Вантаж масою 40 кг скинули з літака. Після того як на висоті 400 м швидкість руху вантажу досягла 20 м/с, він почав рухатися рівномірно. Визначте: 1) повну механічну енергію вантажу: а) на висоті 400 м; б) в момент приземлення; 2) енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу.

Дано:

• $m = 40$ кг
• $h = 400$ м
• $v = 20$ м/с
• $g \approx 10 м/с^2$

Знайти: $E_{мех, 400} = ?$, $E_{мех, 0} = ?$, $\Delta E - ?$

Розв’язання:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h_1$

$E_1 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 40 \cdot 10 \cdot 400 = \dfrac{40 \cdot 400}{2} + 160000 = 8000 + 160000 = 168000 Дж = 168 кДж$

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h_2$

$E_2 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 0 = 8000 Дж = 8 кДж$

$\Delta E = E_1 - E_2$

$\Delta E = 168000 - 8000 = 160000 Дж = 160 кДж$

Відповідь: 1 а) 168 кДж; 1 б) 8 кДж; 2) 160 кДж

7. Складіть задачу, обернену до задачі, розв’язання якої подано на заставці до § 9, і розв’яжіть її.

Кулька масою $0{,}05$ кг вилітає з пружинного пістолета зі швидкістю $v = 2$ м/с. Жорсткість пружини $k = 125\\,\text{Н}/\text{м}$. На яку відстань $x_0$ потрібно стиснути пружину, щоб кулька отримала таку швидкість?

Дано:

• $m = 0{,}05$ кг
• $v = 2$ м/с
• $k = 125\\,\text{Н}/\text{м}$

Знайти: $x_0 = ?$

Розв’язання

За законом збереження енергії:

$E_{пруж} = E_{кін}$

Потенціальна енергія пружини:

$E_{пруж} = \dfrac{k x_0^2}{2}$

Кінетична енергія кульки:

$E_{кін} = \dfrac{m v^2}{2}$

Прирівнюємо:

$\dfrac{k x_0^2}{2} = \dfrac{m v^2}{2}$

$k x_0^2 = m v^2$

$x_0^2 = \dfrac{m v^2}{k}$

$x_0 = v \cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Підставимо числові значення:

$x_0 = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}05}{125}}$

$\dfrac{0{,}05}{125} = 0{,}0004$

$\sqrt{0{,}0004} = 0{,}02$

$x_0 = 2 \cdot 0{,}02 = 0{,}04\\,\text{м} = 4\\,\text{см}$

Відповідь: Щоб кулька масою $0{,}05$ кг вилетіла з пружинного пістолета зі швидкістю $2$ м/с, пружину потрібно стиснути на $4$ см.