7. Механічна енергія. Кінетична і потенціальна енергії

Зміст

Контрольні запитання

1. Що означає вираз: «Тіло (або система тіл) має енергію»?

Це означає, що енергія є мірою руху та взаємодії тіла і може проявлятися виконанням роботи.

2. Назвіть одиницю енергії в СІ.

Одиниця енергії в СІ — джоуль (Дж).

3. Наведіть приклади на підтвердження того, що під час виконання роботи енергія тіла змінюється.

Під час піднімання цеглин їхня механічна енергія зростає на величину виконаної проти сили тяжіння роботи; у боулінгу куля, збиваючи кеглі, виконує роботу й зменшує свою швидкість.

4. Дайте означення потенціальної енергії.

Потенціальна енергія — це енергія, зумовлена взаємодією тіл або частин тіла.

5. За якою формулою визначають потенціальну енергію: тіла, піднятого на висоту h? деформованої пружини?

Для піднятого тіла: $E_p = mgh$; для пружно деформованої пружини: $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$.

6. Чи залежить значення потенціальної енергії піднятого на висоту тіла від вибору початкового рівня відліку висоти?

Так, залежить від вибору нульового рівня.

7. Дайте означення кінетичної енергії тіла. Кінетична енергія — це енергія, зумовлена рухом тіла.

8. За якою формулою обчислюють кінетичну енергію тіла?

Кінетичну енергію обчислюють за формулою

$E_k = \dfrac{mv^2}{2}$.

9. Дайте означення повної механічної енергії тіла.

Повна механічна енергія — це сума кінетичної та потенціальної енергій:

$E = E_k + E_p$.

Вправа

1. Наведіть приклади тіл, які мають потенціальну енергію, і приклади тіл, які мають кінетичну енергію.

Потенціальна енергія: піднята книжка на високій полиці; підвішена або піднята цеглина; пружно деформована пружина чи натягнутий лук.

Кінетична енергія: куля для боулінгу, що котиться; літак, що летить; будь‑яке тіло, яке рухається.

2. Опишіть, як змінюється потенціальна енергія літака під час зльоту та посадки. Як змінюється його кінетична енергія?

Під час зльоту висота зростає, тому гравітаційна потенціальна енергія $E_p=mgh$ збільшується; під час посадки висота спадає, отже $E_p$ зменшується.

Кінетична енергія $E_k=\dfrac12 mv^2$ зростає під час розгону на злітній смузі, а під час заходу на посадку й гальмування зменшується.

3. Обчисліть потенціальну енергію портфеля, який лежить на парті, відносно підлоги. Маса портфеля — 3 кг, висота парти — 80 см.

Дано:

• $m = 3\\ \text{кг}$
• $h = 80\\ \text{см} = 0{.}8\\ \text{м}$
• $g = 10\\ \text{м/с}^2$

Знайти: $E_{p} = ?$

Розв’язок: Потенціальна енергія в однорідному полі тяжіння:

$E_{p} = m \cdot g \cdot h$

Підстановка чисел:

$E_{p} = 3 \cdot 10 \cdot 0{.}8 = 24\\ \text{Дж}$

Відповідь: $E_{p} = 24\\ \text{Дж}$.

4. Визначте кінетичну енергію велосипедиста масою 50 кг, який рухається зі швидкістю 10 м/с.

Дано:

• $m = 50\\ \text{кг}$
• $v = 10\\ \text{м/с}$

Знайти: $E_{k} = ?$

Розв’язок: Формула кінетичної енергії:

$E_{k} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

Обчислення:

$E_{k} = \dfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot (10)^{2} = 25 \cdot 100 = 2500\\ \text{Дж}$

Відповідь: $E_{k} = 2500\\ \text{Дж} = 2,5\\ \text{кДж}$.

5. Цеглина масою 5 кг має потенціальну енергію 20 Дж. На якій висоті над підлогою розташована цеглина, якщо за нульовий рівень узято поверхню підлоги? 6. Тіло рухається зі швидкістю 7,2 км/год. Визначте масу цього тіла, якщо його кінетична енергія становить 5 Дж.

Дано:

• $m = 5\\ \text{кг}$
• $E_{p} = 20\\ \text{Дж}$
• $g = 10\\ \text{м/с}^2$

Знайти: $h = ?$

Розв’язок: Із $E_{p} = m \cdot g \cdot h$ випливає:

$h = \dfrac{E_{p}}{m \cdot g}$

Підстановка:

$h = \dfrac{20}{5 \cdot 10} = \dfrac{20}{50} = 0{.}40\\ \text{м}$

Відповідь: $h = 0{.}40\\ \text{м} = 40\\ \text{см}$.

6. Тіло рухається зі швидкістю 7,2 км/год. Визначте масу цього тіла, якщо його кінетична енергія становить 5 Дж.

Дано:

• $v = 7{.}2\\ \text{км/год}$
• $E_{k} = 5\\ \text{Дж}$

Знайти: $m = ?$

Розв’язок: Переведення швидкості:

$v = 7{.}2 \cdot \dfrac{1000}{3600} = 7{.}2 \cdot \dfrac{5}{18} = 2\\ \text{м/с}$

Із $E_{k} = \dfrac{1}{2} m v^{2}$ маємо:

$m = \dfrac{2 E_{k}}{v^{2}}$

Підстановка:

$m = \dfrac{2 \cdot 5}{(2)^{2}} = \dfrac{10}{4} = 2{.}5\\ \text{кг}$

Відповідь: $m = 2{.}5\\ \text{кг}$.

7. Баскетбольний м’яч масою 400 г кинули в бік кільця. Визначте повну механічну енергію м’яча на висоті 3 м, якщо на цій висоті він рухався зі швидкістю 10 м/с. За нульовий рівень візьміть рівень підлоги спортзалу.

Дано:

• $m = 400\\ \text{г} = 0{.}4\\ \text{кг}$
• $h = 3\\ \text{м}$
• $v = 10\\ \text{м/с}$
• $g = 10\\ \text{м/с}^2$

Знайти: $E = ?$ (де $E = E_{k} + E_{p}$)

Розв’язок:

$E = \dfrac{1}{2} m v^{2} + m \cdot g \cdot h$

Обчислення складових:

$E_{k} = \dfrac{1}{2} \cdot 0{.}4 \cdot (10)^{2} = 0{.}2 \cdot 100 = 20\\ \text{Дж}$

$E_{p} = 0{.}4 \cdot 10 \cdot 3 = 12\\ \text{Дж}$

Тоді повна енергія:

$E = 20 + 12 = 32\\ \text{Дж}$

Відповідь: $E = \mathbf{32\\ \text{Дж}}$

8. За графіком шляху тіла масою 16 кг (див. рисунок) визначте кінетичну енергію тіла.

Дано:

• $m = 16~\text{кг}$
• $l = 15~\text{см} = 0{.}15~\text{м}$
• $t = 6~\text{с}$

Знайти: $E_k = ?$

Розв’язання:

Визначаємо швидкість тіла:

Рух вважається рівномірним, тому швидкість є сталою:

$v = \dfrac{l}{t}$

Підставимо значення:

$v = \dfrac{0{.}15~\text{м}}{6~\text{с}} = 0{.}025~\text{м/с}$

Обчислюємо кінетичну енергію:

Застосуємо формулу кінетичної енергії:

$E_k = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Підставимо обчислені та відомі значення:

$E_k = \dfrac{1}{2} \cdot 16~\text{кг} \cdot (0{.}025~\text{м/с})^2 = 8 \cdot 0{.}000625 = 0{.}005~\text{Дж}$

Відповідь: Кінетична енергія тіла становить $E_k = 0{.}005~\text{Дж}$ (або 5 мДж).

9. Знайдіть (наприклад, в інтернеті) опис пристрою, дія якого ґрунтується на зміненні потенціальної енергії. Підготуйте повідомлення.

Пристрій: механічний (заводний) годинник із пружиною.

Під час заведення робиться робота над головною пружиною, і в ній накопичується пружна потенціальна енергія, яка потім повільно вивільняється та через систему коліс передає рух ходу годинника.

Енергія пружини є потенціальною (еластичною) і може бути описана формулою

$E_p=\tfrac12 kx^2$

де $k$ — жорсткість пружини, $x$ — її деформація.

У міру «розкручування» пружини потенціальна енергія перетворюється на кінетичну енергію обертання шестерень, а регулюючий механізм (анкер/баланс) дозує це вивільнення для рівномірного ходу.

Отже, принцип дії годинника прямо спирається на перетворення запасеної пружиною потенціальної енергії на механічну роботу руху механізму.