§6. Тепловий баланс

Зміст

Між якими тілами встановлюється тепловий баланс у разі вимірювання температури повітря? Води? Людського тіла?

• Повітря: тепловий баланс виникає між термометром і повітрям
• Води: тепловий баланс встановлюється між термометром і водою
• Людського тіла: тепловий баланс виникає між медичним термометром і тілом людини

Чому в той час, коли ложечка нагрілася аж на 80 °C, чай остиг лише на 1,2 °C?

Це відбувається тому, що чай і ложечка мають дуже різні маси та питомі теплоємності. Кількість теплоти, яку віддав гарячий чай, дорівнює кількості теплоти, яку отримала холодна ложечка. Однак питома теплоємність води (чаю) значно більша за питому теплоємність срібла, а маса чаю в задачі більша за масу ложечки. Через це, щоб нагріти ложечку, потрібно набагато менше енергії, ніж для зміни температури такої ж маси чаю. Тому однакова кількість теплоти викликає значне нагрівання ложечки, але лише ледь помітне охолодження чаю.

1. У три однакові посудини з водою опустили мідне, алюмінієве та залізне тіла однакової маси, нагріті до 100 °С. У якій посудині вода нагріється до найвищої температури?

Вода нагріється до найвищої температури у посудині з алюмінієвим тілом, оскільки алюміній має найвищу питому теплоємність серед розглянутих металів. При охолодженні зі 100°C алюмінієве тіло віддасть найбільшу кількість теплоти, що призведе до найбільшого підвищення температури води.

2. Для того, щоб надати міцності сталевим виробам, їх «загартовують» — нагрівають до високої температури, а тоді різко охолоджують. Давній майстер, викувавши меч, нагрів його до 800 °С, а потім опустив у бочку, у котрій було 50 л води, температура якої 20 °С. Унаслідок цього температура води стала вищою на 2 °С. Визначте масу меча.

Дано:

• Початкова температура меча: $t_{\text{меча}} = 800 \text{ °С}$
• Об’єм води: $V_{\text{води}} = 50 \text{ л}$
• Початкова температура води: $t_{\text{води початкова}} = 20 \text{ °С}$
• Підвищення температури води: $\Delta t_{\text{води}} = 2 \text{ °С}$
• Питома теплоємність води: $c_{\text{води}} = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
• Питома теплоємність сталі: $c_{\text{сталі}} = 500 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
• Густина води: $\rho_{\text{води}} \approx 1 \dfrac{\text{кг}}{\text{л}}$

Знайти: $m_{\text{меча}} = ?$

Розв’язання:

Для розв’язання задачі використаємо рівняння теплового балансу, згідно з яким кількість теплоти, яку віддав гарячий меч, дорівнює кількості теплоти, яку отримала холодна вода.

Спочатку визначимо кінцеву температуру води та меча після встановлення теплової рівноваги:

$t_{\text{кінцева}} = t_{\text{води початкова}} + \Delta t_{\text{води}}\\\\ = 20 \text{ °С} + 2 \text{ °С} = 22 \text{ °С}$

Далі знайдемо масу води:

$m_{\text{води}} = V_{\text{води}} \cdot \rho_{\text{води}}\\\\ = 50 \text{ л} \cdot 1 \dfrac{\text{кг}}{\text{л}} = 50 \text{ кг}$

Рівняння теплового балансу має вигляд:

$Q_{\text{віддане}} = Q_{\text{отримане}}$

$c_{\text{сталі}} \cdot m_{\text{меча}} \cdot (t_{\text{меча}} - t_{\text{кінцева}}) \\\\ = c_{\text{води}} \cdot m_{\text{води}} \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_{\text{води початкова}})$

З цього рівняння виразимо невідому масу меча ($m_{\text{меча}}$):

$m_{\text{меча}} = \dfrac{c_{\text{води}} \cdot m_{\text{води}} \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_{\text{води початкова}})}{c_{\text{сталі}} \cdot (t_{\text{меча}} - t_{\text{кінцева}})}$

Підставимо числові значення, використовуючи оновлену питому теплоємність сталі:

$m_{\text{меча}} = \dfrac{4200 \cdot 50 \cdot (22 - 20)}{500 \cdot (800 - 22)}\\\\ = \dfrac{4200 \cdot 50 \cdot 2}{500 \cdot 778} = \dfrac{420000}{389000} \approx 1.08 \text{ кг}$

Відповідь: Маса меча становить приблизно 1,08 кг.

3. Для приготування чаю в порцелянову чашку масою 250 г влили 100 г окропу. Після встановлення теплової рівноваги температура чаю в чашці досягла 68 °С. Визначте питому теплоємність порцеляни, якщо чашка мала температуру 20 °С.

Дано:

• Маса чашки: $m_{\text{ч}} = 250 \text{ г} = 0,25 \text{ кг}$
• Маса окропу: $m_{\text{о}} = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$
• Початкова температура чашки: $t_{\text{ч}} = 20 \text{ °С}$
• Початкова температура окропу: $t_{\text{о}} = 100 \text{ °С}$
• Кінцева температура системи: $t_{\text{кінцева}} = 68 \text{ °С}$
• Питома теплоємність води: $c_{\text{води}} = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$

Знайти: $c_{\text{п}} = ?$

Розв’язання:

Ця задача розв’язується за допомогою рівняння теплового балансу. В ізольованій системі кількість теплоти, яку віддало гаряче тіло (окріп), дорівнює кількості теплоти, яку отримало холодне тіло (чашка).

$Q_{\text{віддане}} = Q_{\text{отримане}}$

Кількість теплоти, яку віддав окріп при охолодженні від 100 °С до 68 °С:

$Q_{\text{віддане}} = c_{\text{води}} \cdot m_{\text{о}} \cdot (t_{\text{о}} - t_{\text{кінцева}})$

Кількість теплоти, яку отримала чашка при нагріванні від 20 °С до 68 °С:

$Q_{\text{отримане}} = c_{\text{п}} \cdot m_{\text{ч}} \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_{\text{ч}})$

Прирівняємо ці два вирази:

$c_{\text{води}} \cdot m_{\text{о}} \cdot (t_{\text{о}} - t_{\text{кінцева}}) = c_{\text{п}} \cdot m_{\text{ч}} \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_{\text{ч}})$

З цього рівняння виразимо невідому питому теплоємність порцеляни ($c_{\text{п}}$):

$c_{\text{п}} = \dfrac{c_{\text{води}} \cdot m_{\text{о}} \cdot (t_{\text{о}} - t_{\text{кінцева}})}{m_{\text{ч}} \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_{\text{ч}})}$

Підставимо числові значення у формулу:

$c_{\text{п}} = \dfrac{4200 \cdot 0,1 \cdot (100 - 68)}{0,25 \cdot (68 - 20)}$

$c_{\text{п}} = \dfrac{420 \cdot 32}{0,25 \cdot 48}\\\\ = \dfrac{13440}{12} = 1120 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$

Відповідь: Питома теплоємність порцеляни становить 1120 Дж/(кг·°С).

4. У ванну налили 30 л води, температура якої 20 °С, а потім ще долили 12 л води, температура якої 60 °С. Визначте температуру води, що встановилася. Втратами теплоти на нагрівання ванни та навколишнього середовища знехтуйте

Дано:

• Об’єм холодної води: $V_1 = 30 \text{ л}$
• Температура холодної води: $t_1 = 20 \text{ °С}$
• Об’єм гарячої води: $V_2 = 12 \text{ л}$
• Температура гарячої води: $t_2 = 60 \text{ °С}$
• Густина води: $\rho = 1 \dfrac{\text{кг}}{\text{л}}$
• Питома теплоємність води: $c = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$

Знайти: $t_{\text{кінцева}} = ?$

Розв’язання:

Ця задача вирішується за допомогою рівняння теплового балансу. Оскільки втратами тепла можна знехтувати, кількість теплоти, яку віддала гаряча вода ($Q_{\text{віддане}}$), дорівнює кількості теплоти, яку отримала холодна вода ($Q_{\text{отримане}}$).

$Q_{\text{віддане}} = Q_{\text{отримане}}$

Кількість теплоти, яку отримала холодна вода:

$Q_{\text{отримане}} = c \cdot m_1 \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_1)$

Кількість теплоти, яку віддала гаряча вода:

$Q_{\text{віддане}} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_{\text{кінцева}})$

Спочатку знайдемо маси обох порцій води:

$m_1 = V_1 \cdot \rho = 30 \text{ л} \cdot 1 \dfrac{\text{кг}}{\text{л}} = 30 \text{ кг}$

$m_2 = V_2 \cdot \rho = 12 \text{ л} \cdot 1 \dfrac{\text{кг}}{\text{л}} = 12 \text{ кг}$

Прирівняємо кількість отриманої та відданої теплоти:

$c \cdot m_1 \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_{\text{кінцева}})$

Оскільки питома теплоємність води $c$ однакова, її можна скоротити:

$m_1 \cdot (t_{\text{кінцева}} - t_1) = m_2 \cdot (t_2 - t_{\text{кінцева}})$

Розв’яжемо рівняння відносно кінцевої температури $t_{\text{кінцева}}$:

$m_1 \cdot t_{\text{кінцева}} - m_1 \cdot t_1 = m_2 \cdot t_2 - m_2 \cdot t_{\text{кінцева}}$

$m_1 \cdot t_{\text{кінцева}} + m_2 \cdot t_{\text{кінцева}} = m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$

$t_{\text{кінцева}} \cdot (m_1 + m_2) = m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$

$t_{\text{кінцева}} = \dfrac{m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2}{m_1 + m_2}$

Підставимо числові значення:

$t_{\text{кінцева}} = \dfrac{30 \cdot 20 + 12 \cdot 60}{30 + 12} \\\\= \dfrac{600 + 720}{42} = \dfrac{1320}{42} \approx 31,43 \text{ °С}$

Відповідь: Температура води, що встановилася, становить приблизно 31,43 °С.