4. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності

Зміст

Наведіть приклад нерівності з однією змінною.

Прикладом нерівності з однією змінною є вираз $2x + 1 > 11$.

Що називають розв’язком нерівності з однією змінною?

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її у правильну числову нерівність.

Що означає розв’язати нерівність?

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

4.1. (Усно.) Чи є розв’язком нерівності $x > 3$ число: 1) -2; 2) 5; 3) 2,7; 4) 0; 5) 3,01; 6) 17?

1. Число $-2$ не є розв’язком, оскільки нерівність $-2 > 3$ є хибною.
2. Число $5$ є розв’язком, оскільки нерівність $5 > 3$ є правильною.
3. Число $2,7$ не є розв’язком, оскільки нерівність $2,7 > 3$ є хибною.
4. Число $0$ не є розв’язком, оскільки нерівність $0 > 3$ є хибною.
5. Число $3,01$ є розв’язком, оскільки нерівність $3,01 > 3$ є правильною.
6. Число $17$ є розв’язком, оскільки нерівність $17 > 3$ є правильною.

4.2. Чи є розв’язком нерівності $x < 7$ число: 1) 8; 2) -2; 3) 0; 4) 4,7; 5) 8,1; 6) 13?

1. Число $8$ не є розв’язком, оскільки нерівність $8 < 7$ є хибною.
2. Число $-2$ є розв’язком, оскільки нерівність $-2 < 7$ є правильною.
3. Число $0$ є розв’язком, оскільки нерівність $0 < 7$ є правильною.
4. Число $4,7$ є розв’язком, оскільки нерівність $4,7 < 7$ є правильною.
5. Число $8,1$ не є розв’язком, оскільки нерівність $8,1 < 7$ є хибною.
6. Число $13$ не є розв’язком, оскільки нерівність $13 < 7$ є хибною.

4.3. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності $x \le -2$.

Будь-якими трьома розв’язками нерівності $x \le -2$ можуть бути числа $-2$, $-5$ та $-10$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

4.4. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності $x \geq 4$.

Розв’язками нерівності $x \geq 4$ є будь-які числа, що більші за 4 або дорівнюють йому, наприклад: 4, 10, 25.

4.5. Які із чисел є розв’язками нерівності $x^2 + 3x \leq 3 + x$: 1) 2; 2) 0; 3) -4; 4) 1; 5) 3; 6) -3?

Для перевірки підставимо кожне число у нерівність:

1. При $x = 2$:
   $2^2 + 3 \cdot 2 \leq 3 + 2$
   $10 \leq 5$ — хибно.
2. При $x = 0$:
   $0^2 + 3 \cdot 0 \leq 3 + 0$
   $0 \leq 3$ — істинно.
3. При $x = -4$:
   $(-4)^2 + 3 \cdot (-4) \leq 3 + (-4)$
   $16 - 12 \leq -1$
   $4 \leq -1$ — хибно.
4. При $x = 1$:
   $1^2 + 3 \cdot 1 \leq 3 + 1$
   $4 \leq 4$ — істинно.
5. При $x = 3$:
   $3^2 + 3 \cdot 3 \leq 3 + 3$
   $9 + 9 \leq 6$
   $18 \leq 6$ — хибно.
6. При $x = -3$:
   $(-3)^2 + 3 \cdot (-3) \leq 3 + (-3)$
   $9 - 9 \leq 0$
   $0 \leq 0$ — істинно.

Розв’язками нерівності є числа: 0; 1; -3.

4.6. Які із чисел є розв’язками нерівності $x^2 + 4x \geq 6 + 3x$: 1) 4; 2) 0; 3) -3; 4) 1; 5) 2; 6) -1?

Для перевірки підставимо кожне число у нерівність:

1. При $x = 4$:
   $4^2 + 4 \cdot 4 \geq 6 + 3 \cdot 4$
   $32 \geq 18$ — істинно.
2. При $x = 0$:
   $0^2 + 4 \cdot 0 \geq 6 + 3 \cdot 0$
   $0 \geq 6$ — хибно.
3. При $x = -3$:
   $(-3)^2 + 4 \cdot (-3) \geq 6 + 3 \cdot (-3)$
   $9 - 12 \geq 6 - 9$
   $-3 \geq -3$ — істинно.
4. При $x = 1$:
   $1^2 + 4 \cdot 1 \geq 6 + 3 \cdot 1$
   $5 \geq 9$ — хибно.
5. При $x = 2$:
   $2^2 + 4 \cdot 2 \geq 6 + 3 \cdot 2$
   $12 \geq 12$ — істинно.
6. При $x = -1$:
   $(-1)^2 + 4 \cdot (-1) \geq 6 + 3 \cdot (-1)$
   $1 - 4 \geq 6 - 3$
   $-3 \geq 3$ — хибно.

Розв’язками нерівності є числа: 4; -3; 2.

4.7. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності $\sqrt{x - 1} > 3$.

Розв’язання:

$\sqrt{x - 1} > 3$

$x - 1 > 3^2$

$x - 1 > 9$

$x > 10$

Будь-якими двома розв’язками нерівності є числа, що більші за 10, наприклад: 11, 26.

4.8. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності $\sqrt{x + 2} < 7$.

Розв’язання:

$0 \leq x + 2 < 7^2$

$0 \leq x + 2 < 49$

$-2 \leq x < 49 - 2$

$-2 \leq x < 47$

Будь-якими двома розв’язками нерівності є числа з проміжку $\[-2; 47)$, наприклад: 0, 7.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

4.9. Знайдіть усі натуральні розв’язки нерівності $15 \dfrac{1}{3} < x \le 19$.

Розв’язання:

Натуральними розв’язками нерівності є цілі додатні числа, що більші за $15 \dfrac{1}{3}$ і не перевищують $19$. Такими числами є $16, 17, 18, 19$.

Відповідь: 16; 17; 18; 19.

4.10. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності $\dfrac{20}{x} < -8$.

Розв’язання:

Оскільки чисельник дробу $20$ є додатним, то для того, щоб дріб був меншим за $-8$, знаменник $x$ має бути від’ємним. Помножимо обидві частини нерівності на $x$, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний:

$20 > -8x$

$x > -\dfrac{20}{8}$

$x > -2,5$

Враховуючи, що $x$ має бути від’ємним цілим числом і $x > -2,5$, отримуємо значення $-1$ та $-2$.

Відповідь: -1; -2.

4.11. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності $\dfrac{30}{x} < -7$.

Розв’язання:

Оскільки чисельник $30$ є додатним, знаменник $x$ повинен бути від’ємним. Помножимо обидві частини нерівності на $x$, змінюючи знак нерівності:

$30 > -7x$

$x > -\dfrac{30}{7}$

$x > -4 \dfrac{2}{7}$

Цілими від’ємними розв’язками, що більші за $-4 \dfrac{2}{7}$, є числа $-1, -2, -3, -4$.

Відповідь: -1; -2; -3; -4.

4.12. Розв’яжіть нерівність:

1. $x^2 > 0$
   Квадрат будь-якого числа завжди невід’ємний. Вираз $x^2$ дорівнює нулю тільки при $x = 0$. Отже, нерівність виконується для всіх дійсних чисел, крім нуля.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. $-x^2 < 0$
   Помножимо на $-1$, змінивши знак нерівності: $x^2 > 0$. Це виконується для всіх $x$, крім $x = 0$.
   Відповідь: $x \neq 0$.
3. $x^2 \ge 0$
   Квадрат будь-якого дійсного числа завжди більший за нуль або дорівнює йому.
   Відповідь: $x$ — будь-яке число.
4. $x^2 \le 0$
   Оскільки $x^2$ не може бути меншим за нуль, єдиним розв’язком є $x = 0$.
   Відповідь: 0.
5. $(x - 1)^2 > 0$
   Вираз у квадраті завжди додатний, крім випадку, коли основа дорівнює нулю: $x - 1 \neq 0$, тобто $x \neq 1$.
   Відповідь: $x \neq 1$.
6. $(x - 1)^2 \ge 0$
   Квадрат будь-якого виразу завжди невід’ємний.
   Відповідь: $x$ — будь-яке число.
7. $(x - 1)^2 < 0$
   Квадрат числа не може бути від’ємним.
   Відповідь: розв’язків немає.
8. $(x - 1)^2 \le 0$
   Нерівність виконується лише тоді, коли $(x - 1)^2 = 0$, тобто $x = 1$.
   Відповідь: 1.
9. $x^2 + 9 < 0$
   Оскільки $x^2 \ge 0$ для будь-якого $x$, то $x^2 + 9 \ge 9$. Додатне число не може бути меншим за нуль.
   Відповідь: розв’язків немає.

4.13. Розв’яжіть нерівність:

1. $(x + 2)^2 \ge 0$
   Квадрат будь-якого виразу завжди є невід’ємним за визначенням.
   Відповідь: $x$ — будь-яке число.
2. $(x + 2)^2 > 0$
   Нерівність виконується для всіх значень $x$, при яких вираз під квадратом не дорівнює нулю: $x + 2 \neq 0$, отже $x \neq -2$.
   Відповідь: $x \neq -2$.
3. $(x + 2)^2 < 0$
   Квадрат дійсного числа не може бути меншим за нуль.
   Відповідь: розв’язків немає.
4. $(x + 2)^2 \le 0$
   Нерівність має розв’язок тільки тоді, коли вираз дорівнює нулю: $x + 2 = 0$, звідки $x = -2$.
   Відповідь: -2.
5. $\dfrac{1}{x^2} + 13 < 0$
   Оскільки $x^2 > 0$ (знаменник не може бути 0), то дріб $\dfrac{1}{x^2}$ завжди додатний. Сума двох додатних чисел ($\dfrac{1}{x^2}$ та $13$) завжди більша за нуль.
   Відповідь: розв’язків немає.
6. $x^2 + 5 \ge 0$
   Оскільки $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 5$ завжди не менше ніж $5$. Умова виконується для будь-якого значення змінної.
   Відповідь: $x$ — будь-яке число.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

4.14. Розв’яжіть нерівність: 1) $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0,5$; 2) $\dfrac{x - 3}{x - 3} \leq 0,7$; 3) $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 \geq 0$; 4) $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 > 0$; 5) $\dfrac{(x + 3)^2}{x} > 0$; 6) $\dfrac{(x - 1)^2}{x} \leq 0$.

1. $\dfrac{x + 2}{x + 2} > 0,5$
   Вираз має зміст при $x + 2 \neq 0$, тобто $x \neq -2$.
   При $x \neq -2$ дріб дорівнює 1.
   Нерівність набуває вигляду $1 > 0,5$, що є правильною числовою нерівністю для будь-якого допустимого значення $x$.
   Відповідь: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
2. $\dfrac{x - 3}{x - 3} \leq 0,7$
   Вираз має зміст при $x - 3 \neq 0$, тобто $x \neq 3$.
   При $x \neq 3$ дріб дорівнює 1.
   Нерівність набуває вигляду $1 \leq 0,7$, що є хибним твердженням.
   Відповідь: розв’язків немає.
3. $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 \geq 0$
   Квадрат будь-якого виразу завжди є невід’ємним.
   Нерівність виконується для всіх значень $x$, при яких вираз має зміст.
   Знаменник не може дорівнювати нулю: $x \neq 0$.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
4. $\left(\dfrac{x + 1}{x}\right)^2 > 0$
   Квадрат виразу є додатним, якщо сам вираз не дорівнює нулю та має зміст.
   Умова існування виразу: $x \neq 0$.
   Умова нерівності нулю: $x + 1 \neq 0$, отже $x \neq -1$.
   Відповідь: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.
5. $\dfrac{(x + 3)^2}{x} > 0$
   Чисельник $(x + 3)^2 \geq 0$ для всіх $x$ і дорівнює нулю при $x = -3$.
   Для того щоб дріб був більшим за нуль, знаменник має бути додатним ($x > 0$), а чисельник не повинен дорівнювати нулю ($x \neq -3$).
   Оскільки число $-3$ не входить у проміжок $x > 0$, розв’язком є всі додатні числа.
   Відповідь: $x \in (0; +\infty)$.
6. $\dfrac{(x - 1)^2}{x} \leq 0$
   Чисельник $(x - 1)^2 \geq 0$ для всіх $x$ і дорівнює нулю при $x = 1$.
   Дріб дорівнює нулю, якщо $x = 1$.
   Дріб є меншим за нуль, якщо чисельник додатний, а знаменник від’ємний:
   $(x - 1)^2 > 0$ при $x \neq 1$ та $x < 0$.
   Об’єднуючи ці випадки, отримуємо $x < 0$ або $x = 1$.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup {1}$.

4.15. Розв’яжіть нерівність: 1) $\dfrac{x - 3}{x - 3} > -2$; 2) $\dfrac{x + 7}{x + 7} < -1$; 3) $\left(\dfrac{x - 1}{x}\right)^2 \geq 0$; 4) $\left(\dfrac{x - 1}{x}\right)^2 > 0$; 5) $\dfrac{(x - 3)^2}{x} > 0$; 6) $\dfrac{(x + 1)^2}{x} \leq 0$.

1. $\dfrac{x - 3}{x - 3} > -2$
   Область допустимих значень: $x \neq 3$.
   При $x \neq 3$ нерівність набуває вигляду $1 > -2$, що є правильним для всіх допустимих значень.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. $\dfrac{x + 7}{x + 7} < -1$
   Область допустимих значень: $x \neq -7$.
   При $x \neq -7$ нерівність набуває вигляду $1 < -1$, що є хибним.
   Відповідь: розв’язків немає.
3. $\left(\dfrac{x - 1}{x}\right)^2 \geq 0$
   Будь-який вираз у квадраті є невід’ємним на всій області свого визначення.
   Область визначення: $x \neq 0$.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
4. $\left(\dfrac{x - 1}{x}\right)^2 > 0$
   Квадрат виразу є строго більшим за нуль, якщо вираз має зміст і не дорівнює нулю.
   Вираз має зміст при $x \neq 0$.
   Вираз не дорівнює нулю при $x - 1 \neq 0$, тобто $x \neq 1$.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
5. $\dfrac{(x - 3)^2}{x} > 0$
   Чисельник $(x - 3)^2$ завжди невід’ємний і дорівнює нулю при $x = 3$.
   Дріб буде додатним, якщо знаменник $x > 0$ та чисельник $(x - 3)^2 \neq 0$.
   Отже, $x > 0$ та $x \neq 3$.
   Відповідь: $x \in (0; 3) \cup (3; +\infty)$.
6. $\dfrac{(x + 1)^2}{x} \leq 0$
   Чисельник $(x + 1)^2 \geq 0$ для всіх $x$.
   Дріб буде від’ємним, якщо знаменник $x < 0$ (при цьому чисельник у цій області буде додатним або нульовим).
   Дріб дорівнює нулю при $x = -1$. Оскільки $-1$ входить у проміжок $x < 0$, розв’язком є всі від’ємні числа.
   Відповідь: $x \in (-\infty; 0)$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

4.16. Спростіть вираз:

1. $(3 + \sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5}$

Розв’язання:

$(3 + \sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5} = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5} = 9 + 6\sqrt{5} + 5 - 6\sqrt{5} = 14$

Відповідь: 14.

2. $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 - 9$

Розв’язання:

$(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 - 9 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 9 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 - 9 = 9 - 2\sqrt{14} - 9 = -2\sqrt{14}$

Відповідь: $-2\sqrt{14}$.

4.18. Побудуйте графік рівняння $|x - y| = 3$.

[!NOTE]
Промпт для створення зображення:
A coordinate plane with two parallel lines representing the graph of |x – y| = 3. The lines are y = x – 3 and y = x + 3. All labels including axes X and Y and the equations of the lines must be in Ukrainian language: ‘вісь X’, ‘вісь Y’, ‘графік рівняння’.

ЖИТТЄВА МАТЕМАТИКА

4.19. Діагональ екрана телевізора дорівнює 48 дюймів. Запишіть довжину діагоналі екрана в сантиметрах, якщо в одному дюймі 2,54 см. Результат округліть до цілого числа сантиметрів.

Відомо:

• $d = 48 \text{ дюймів}$
• $1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$

Знайти:

• $d \text{ (см)} - ?$

Розв’язання:

$d = 48 \cdot 2,54 = 121,92 \text{ см}$

Округлимо до цілого числа: $121,92 \approx 122$.

Відповідь: 122 см.

ПІДГОТУЙТЕСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

4.20. Де на координатній прямій містяться числа, якщо вони:

1. Числа, більші за число 5, містяться праворуч від числа 5.
2. Числа, менші від числа 3, містяться ліворуч від числа 3.
3. Числа, більші за число 5, але менші від числа 9, містяться між числами 5 та 9.

4.23. Укажіть елементи множини:

1. Елементами множини $A = {4; 7; 10}$ є числа 4, 7 та 10.
2. Елементами множини $B = {\triangle; \square; !}$ є трикутник, квадрат та знак оклику.

4.25. Назвіть спільні елементи множин $A = {1; 3; 5; 7}$ і $B = {2; 3; 4; 5}$.

Спільними елементами множин $A$ і $B$ є числа 3 та 5.

ЦІКАВІ ЗАДАЧІ — ПОМІРКУЙ ОДНАЧЕ

4.26. Першу половину шляху пішохід рухався зі швидкістю, на 25 % більшою від запланованої. На скільки відсотків меншою від запланованої може бути тепер його швидкість на другій половині шляху, щоб прибути до пункту призначення вчасно?

Розв’язання:

Нехай $S$ — весь шлях, $v$ — запланована швидкість. Запланований час $t = \dfrac{S}{v}$.
Швидкість на першій половині шляху $v_1 = 1,25v$.
Час на першу половину шляху $t_1 = \dfrac{0,5S}{1,25v} = \dfrac{S}{2,5v} = 0,4\dfrac{S}{v} = 0,4t$.
Час, що залишився на другу половину шляху: $t_2 = t - 0,4t = 0,6t$.
Швидкість на другій половині шляху має бути:
$v_2 = \dfrac{0,5S}{t_2} = \dfrac{0,5S}{0,6 \cdot \dfrac{S}{v}} = \dfrac{0,5}{0,6}v = \dfrac{5}{6}v$.
Знайдемо різницю у відсотках:
$\Delta v = \dfrac{v - \dfrac{5}{6}v}{v} \cdot 100$.

Відповідь: на $16\dfrac{2}{3}$ (або приблизно 16,67%).