2. Основні властивості числових нерівностей

Зміст

Сформулюйте й доведіть властивості числових нерівностей та наслідки з них.

До основних властивостей числових нерівностей належать такі твердження:

1. Властивість 1. Якщо $a > b$, то $b < a$; якщо $a < b$, то $b > a$.
   Доведення: Оскільки $a > b$, то різниця $a - b > 0$. Тоді $-(a - b) < 0$, але $-(a - b) = b - a$, тому $b - a < 0$. Отже, $b < a$.
2. Властивість 2. Якщо $a > b$ і $b > c$, то $a > c$.
   Доведення: За умовою $a - b > 0$ і $b - c > 0$. Сума двох додатних чисел $a - b$ та $b - c$ також є додатним числом: $(a - b) + (b - c) = a - c > 0$. Отже, $a > c$.
3. Властивість 3. Якщо $a > b$ і $p$ — будь-яке число, то $a + p > b + p$.
   Доведення: Розглянемо різницю $(a + p) - (b + p) = a + p - b - p = a - b$. Оскільки $a > b$, то $a - b > 0$. Отже, $a + p > b + p$.

Наслідок: Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

4. Властивість 4. Якщо $a > b$ і $p > 0$, то $ap > bp$; якщо $a > b$ і $p < 0$, то $ap < bp$.
   Доведення: Розглянемо різницю $ap - bp = p(a - b)$. Оскільки $a > b$, то $a - b > 0$. Якщо $p > 0$, то $p(a - b) > 0$, тому $ap > bp$. Якщо $p < 0$, то $p(a - b) < 0$, тому $ap < bp$.

Наслідок: Якщо $ab > 0$ (числа одного знака) і $a > b$, то $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$.

Наведіть приклади подвійних числових нерівностей.

Прикладами подвійних числових нерівностей є записи:

1. $2 < x < 5$ (читається: $x$ більше за 2, але менше від 5);
2. $-1 \leq y < 3$ ($y$ більше або дорівнює $-1$, але менше від 3);
3. $10 \leq a \leq 12$ ($a$ більше або дорівнює 10, але менше або дорівнює 12).

Сформулюйте властивості подвійних числових нерівностей.

Для подвійних числових нерівностей характерні такі властивості:

1. Якщо до всіх частин правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $a + p < b + p < c + p$.
2. Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме додатне число $p$, то одержимо правильну подвійну нерівність: $ap < bp < cp$.
3. Якщо всі частини правильної подвійної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число $q$, то одержимо правильну подвійну нерівність, змінивши знаки нерівності на протилежні: $cq < bq < aq$.
4. Якщо $a, b, c$ — додатні числа і $a < b < c$, то для чисел, обернених до них, справджується нерівність: $\dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.1. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо:

1. до обох частин нерівності $-2 < 5$ додамо $-5$:
   $-7 < 0$
2. від обох частин нерівності $7 > 3$ віднімемо $1$:
   $6 > 2$
3. обидві частини нерівності $-2 < 9$ помножимо на $3$:
   $-6 < 27$
4. обидві частини нерівності $-5 > -10$ помножимо на $-2$:
   $10 < 20$
5. обидві частини нерівності $8 > 4$ поділимо на $2$:
   $4 > 2$
6. обидві частини нерівності $3 < 18$ поділимо на $-3$:
   $-1 > -6$

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.2. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо: 1) до обох частин нерівності 7 > 5 додамо 8; 2) від обох частин нерівності 0 < 8 віднімемо 6; 3) обидві частини нерівності 12 > 4 помножимо на 3; на -1; 4) обидві частини нерівності 15 < 18 поділимо на 3; на -3.

1. Додавши 8 до обох частин нерівності $7 > 5$, отримаємо:
   $7 + 8 > 5 + 8$
   $15 > 13$
2. Віднявши 6 від обох частин нерівності $0 < 8$, отримаємо:
   $0 - 6 < 8 - 6$
   $-6 < 2$
3. Помноживши обидві частини нерівності $12 > 4$ на 3, отримаємо:
   $12 \cdot 3 > 4 \cdot 3$
   $36 > 12$
   Помноживши обидві частини нерівності $12 > 4$ на -1 та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
   $12 \cdot (-1) < 4 \cdot (-1)$
   $-12 < -4$
4. Поділивши обидві частини нерівності $15 < 18$ на 3, отримаємо:
   $15 : 3 < 18 : 3$
   $5 < 6$
   Поділивши обидві частини нерівності $15 < 18$ на -3 та змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо:
   $15 : (-3) > 18 : (-3)$
   $-5 > -6$

2.3. (Усно.) Порівняйте x і y, якщо: 1) x < 5, 5 < y; 2) x > 2, 2 > y.

1. Оскільки $x < 5$ та $5 < y$, то за властивістю транзитивності $x < y$.
2. Оскільки $x > 2$ та $2 > y$, то за властивістю транзитивності $x > y$.

2.4. Покажіть на координатній прямій розташування точок, що відповідають числам a, b, c, d, e, якщо: a > b, b > c, d < c, a < e.

На основі заданих нерівностей встановимо послідовність чисел у порядку зростання:
З $a > b$ та $b > c$ маємо $c < b < a$.
З $d < c$ маємо $d < c < b < a$.
З $a < e$ маємо $d < c < b < a < e$.

Інструкція щодо побудови: на координатній прямій точки необхідно позначити зліва направо у такому порядку: $d, c, b, a, e$.

2.5. Відомо, що m > n, p < n, t > m. Порівняйте: 1) p і m; 2) p і t; 3) n і t.

Запишемо всі відомі відношення в один ланцюжок нерівностей:
$p < n < m < t$

1. Порівняння $p$ і $m$:
   Оскільки $p < n$ і $n < m$, то $p < m$.
2. Порівняння $p$ і $t$:
   Оскільки $p < m$ і $m < t$, то $p < t$.
3. Порівняння $n$ і $t$:
   Оскільки $n < m$ і $m < t$, то $n < t$.

2.6. Порівняйте число а з нулем, якщо: 1) a > b, b ≥ 1; 2) a < b, b < -2.

1. Якщо $a > b$ та $b \geq 1$, то за властивістю транзитивності $a > 1$. Будь-яке число, що більше одиниці, є додатним.
   Відповідь: $a > 0$.
2. Якщо $a < b$ та $b < -2$, то за властивістю транзитивності $a < -2$. Будь-яке число, що менше ніж -2, є від’ємним.
   Відповідь: $a < 0$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.7. Порівняйте число x з нулем, якщо: 1) x < y, y ≤ -3; 2) x > y, y > 5.

1. Оскільки за умовою $x < y$ та $y \leq -3$, а $-3 < 0$, то $y < 0$. Відповідно, якщо $x$ менше за від’ємне число $y$, то $x < 0$.
2. Оскільки за умовою $x > y$ та $y > 5$, а $5 > 0$, то $y > 0$. Відповідно, якщо $x$ більше за додатне число $y$, то $x > 0$.

2.8. Відомо, що x > y. Яким знаком (> чи <) треба замінити «зірочку», щоб утворилася правильна нерівність: 1) x + 2 * y + 2; 2) x – 3 * y – 3; 3) 1,8x * 1,8y; 4) -x * -y; 5) -2,7x * -2,7y; 6) x/3 * y/3?

1. $x + 2$ > $y + 2$
2. $x - 3$ > $y - 3$
3. $1,8x$ > $1,8y$
4. $-x$ < $-y$
5. $-2,7x$ < $-2,7y$
6. $\dfrac{x}{3}$ > $\dfrac{y}{3}$

2.9. Дано: a < b. Порівняйте: 1) a – 7 і b – 7; 2) a + 3 і b + 3; 3) 1,9a і 1,9b; 4) -a і -b; 5) -0,8a і -0,8b; 6) a/5 і b/5.

1. $a - 7 < b - 7$, оскільки при відніманні від обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.
2. $a + 3 < b + 3$, оскільки при додаванні до обох частин правильної нерівності одного й того самого числа знак нерівності не змінюється.
3. $1,9a < 1,9b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.
4. $-a > -b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на $-1$ знак нерівності змінюється на протилежний.
5. $-0,8a > -0,8b$, оскільки при множенні обох частин нерівності на одне й те саме від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
6. $\dfrac{a}{5} < \dfrac{b}{5}$, оскільки при діленні обох частин нерівності на одне й те саме додатне число знак нерівності зберігається.

2.10. Відомо, що 1 < p < 2. Оцініть значення виразу: 1) p + 3; 2) p – 4; 3) 12p; 4) p/2; 5) -p; 6) -3p.

1. Додамо до всіх частин нерівності число 3:
   $1 + 3 < p + 3 < 2 + 3$
   $4 < p + 3 < 5$
2. Віднімемо від всіх частин нерівності число 4:
   $1 - 4 < p - 4 < 2 - 4$
   $-3 < p - 4 < -2$
3. Помножимо всі частини нерівності на 12:
   $1 \cdot 12 < 12p < 2 \cdot 12$
   $12 < 12p < 24$
4. Поділимо всі частини нерівності на 2:
   $\dfrac{1}{2} < \dfrac{p}{2} < \dfrac{2}{2}$
   $0,5 < \dfrac{p}{2} < 1$
5. Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-1 > -p > -2$
   $-2 < -p < -1$
6. Помножимо всі частини нерівності на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $1 \cdot (-3) > -3p > 2 \cdot (-3)$
   $-3 > -3p > -6$
   $-6 < -3p < -3$

2.11. Відомо, що 2 < m < 10. Оцініть значення виразу: 1) m + 1; 2) m – 2; 3) 3m; 4) m/5; 5) -m; 6) -7m.

1. Додамо до всіх частин нерівності число 1:
   $2 + 1 < m + 1 < 10 + 1$
   $3 < m + 1 < 11$
2. Віднімемо від всіх частин нерівності число 2:
   $2 - 2 < m - 2 < 10 - 2$
   $0 < m - 2 < 8$
3. Помножимо всі частини нерівності на 3:
   $2 \cdot 3 < 3m < 10 \cdot 3$
   $6 < 3m < 30$
4. Поділимо всі частини нерівності на 5:
   $\dfrac{2}{5} < \dfrac{m}{5} < \dfrac{10}{5}$
   $0,4 < \dfrac{m}{5} < 2$
5. Помножимо всі частини нерівності на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-2 > -m > -10$
   $-10 < -m < -2$
6. Помножимо всі частини нерівності на $-7$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $2 \cdot (-7) > -7m > 10 \cdot (-7)$
   $-14 > -7m > -70$
   $-70 < -7m < -14$

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.12. Порівняйте числа: 1) $\dfrac{1}{a}$ і $\dfrac{1}{b}$, якщо $a > 0$, $b > 0$ і $a < b$; 2) $\dfrac{1}{m}$ і $\dfrac{1}{n}$, якщо $m > n$, $m$ і $n$ — додатні числа.

1. Оскільки $a$ та $b$ є додатними числами і $a < b$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при діленні одиниці на ці числа знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.
2. Оскільки $m$ та $n$ є додатними числами і $m > n$, то за наслідком із властивостей числових нерівностей при переході до обернених чисел знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n}$.

2.13. Порівняйте числа: 1) $\dfrac{1}{x}$ і $\dfrac{1}{5}$, якщо $x > 5$; 2) $\dfrac{1}{b}$ і $\dfrac{1}{2}$, якщо $0 < b < 2$.

1. Оскільки $x > 5$ і обидва числа є додатними, то за властивістю числових нерівностей для обернених чисел $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$.
2. Оскільки $0 < b < 2$, обидва числа $b$ та $2$ є додатними, тому при переході до обернених величин знак нерівності змінюється на протилежний, отже $\dfrac{1}{b} > \dfrac{1}{2}$.

2.14. Порівняйте числа: 1) $\dfrac{1}{a}$ і $\dfrac{1}{9}$, якщо $0 < a < 9$; 2) $\dfrac{1}{c}$ і $\dfrac{1}{3}$, якщо $c > 3$.

1. Оскільки $0 < a < 9$, числа $a$ та $9$ є додатними, отже за властивістю $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{9}$.
2. Оскільки $c > 3$ і числа є додатними, то для обернених значень справджується нерівність $\dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{3}$.

2.15. Оцініть значення виразу $\dfrac{1}{a}$, якщо $10 < a < 20$.

Всі частини подвійної нерівності $10 < a < 20$ є додатними числами. За властивістю числових нерівностей, якщо $a < b < c$, то для додатних чисел $\dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$.
$\dfrac{1}{20} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{10}$

Відповідь: $0,05 < \dfrac{1}{a} < 0,1$.

2.16. Оцініть значення виразу $\dfrac{1}{x}$, якщо $5 < x < 10$.

Оскільки всі частини нерівності $5 < x < 10$ є додатними, скористаємося властивістю: якщо $a < x < b$, то $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{a}$.
$\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$

Відповідь: $0,1 < \dfrac{1}{x} < 0,2$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.17. Порівняйте число а з нулем, якщо: 1) a + 2 > b + 2 і b ≥ 0,3; 2) a – 3 < p – 3 і p < -0,7; 3) 7a > 7x і x > 8; 4) -9a < -9b і b > 13.

$a + 2 > b + 2$
$a > b$
Оскільки $b \geq 0{,}3$, то $b > 0$. Якщо $a > b$ і $b > 0$, то $a > 0$.

Відповідь: $a > 0$.

$a - 3 < p - 3$
$a < p$
Оскільки $p < -0{,}7$, то $p < 0$. Якщо $a < p$ і $p < 0$, то $a < 0$.

Відповідь: $a < 0$.

$7a > 7x$
$a > x$
Оскільки $x > 8$, то $x > 0$. Якщо $a > x$ і $x > 0$, то $a > 0$.

Відповідь: $a > 0$.

Розв’язання:
$-9a < -9b \mid : (-9)$
$a > b$
Оскільки $b > 13$, то $b > 0$. Якщо $a > b$ і $b > 0$, то $a > 0$.

Відповідь: $a > 0$.

2.18. Порівняйте число x з нулем, якщо: 1) x – 5 < y – 5 і y < -1; 2) x + 7 > a + 7 і a ≥ 1; 3) 2x > 2p і p > 0,17; 4) -x > -t і t < -2,5.

$x - 5 < y - 5$
$x < y$
Оскільки $y < -1$, то $y < 0$. Якщо $x < y$ і $y < 0$, то $x < 0$.

Відповідь: $x < 0$.

$x + 7 > a + 7$
$x > a$
Оскільки $a \geq 1$, то $a > 0$. Якщо $x > a$ і $a > 0$, то $x > 0$.

Відповідь: $x > 0$.

$2x > 2p \mid : 2$
$x > p$
Оскільки $p > 0{,}17$, то $p > 0$. Якщо $x > p$ і $p > 0$, то $x > 0$.

Відповідь: $x > 0$.

$-x > -t \mid \cdot (-1)$
$x < t$
Оскільки $t < -2{,}5$, то $t < 0$. Якщо $x < t$ і $t < 0$, то $x < 0$.

Відповідь: $x < 0$.

2.19. Чи правильне твердження: 1) якщо a > 5, то 1/a < 1/5; 2) якщо a < 5, то 1/a > 1/5?

1. Твердження правильне, оскільки для будь-яких додатних чисел $a$ і $b$, якщо $a > b$, то $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$. За умовою $a > 5$, отже обидва числа додатні, тому нерівність $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{5}$ є правильною.
2. Твердження неправильне, оскільки воно не виконується для від’ємних значень $a$. Наприклад, якщо $a = -1$, то умова $-1 < 5$ виконується, проте $\dfrac{1}{-1} = -1$, а $-1$ не є більшим за $\dfrac{1}{5}$.

2.20. Відомо, що x > y. Порівняйте, якщо це можливо: 1) x + 2 і y; 2) y – 3 і x; 3) -x + 1 і -y + 1; 4) -x і -y + 8; 5) -(x + 1) і -y; 6) x – 1 і y + 2.

1. $x + 2 > y$. Оскільки $x > y$ і $x + 2 > x$, то за властивістю транзитивності $x + 2 > y$.
2. $y - 3 < x$. Оскільки $y < x$ і $y - 3 < y$, то за властивістю транзитивності $y - 3 < x$.
3. $-x + 1 < -y + 1$. Якщо $x > y$, то за властивістю множення на від’ємне число $-x < -y$. Додавши до обох частин $1$, отримуємо $-x + 1 < -y + 1$.
4. $-x < -y + 8$. Якщо $x > y$, то $-x < -y$. Оскільки $-y < -y + 8$ (бо $8 > 0$), то $-x < -y + 8$.
5. $-(x + 1) < -y$. Оскільки $-(x + 1) = -x - 1$, а $-x - 1 < -x$ і $-x < -y$, то $-(x + 1) < -y$.
6. Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $x=10, y=1$, то $9 > 3$; якщо $x=2, y=1$, то $1 < 3$; якщо $x=3, y=0$, то $2 = 2$.

2.21. Відомо, що a < b. Порівняйте, якщо це можливо: 1) a – 2 і b; 2) b + 3 і a; 3) -a + 2 і -b + 2; 4) -b – 7 і -a; 5) -a і -(b + 3); 6) a + 3 і b – 1.

1. $a - 2 < b$. Оскільки $a < b$ і $a - 2 < a$, то $a - 2 < b$.
2. $b + 3 > a$. Оскільки $b > a$ і $b + 3 > b$, то $b + 3 > a$.
3. $-a + 2 > -b + 2$. Якщо $a < b$, то $-a > -b$. Додавши до обох частин $2$, отримуємо $-a + 2 > -b + 2$.
4. $-b - 7 < -a$. Якщо $a < b$, то $-a > -b$. Оскільки $-b - 7 < -b$, то $-b - 7 < -a$.
5. $-a > -(b + 3)$. Оскільки $-(b + 3) = -b - 3$, а $-a > -b$ і $-b > -b - 3$, то $-a > -(b + 3)$.
6. Порівняти неможливо. Результат залежить від конкретних значень змінних: якщо $a=1, b=10$, то $4 < 9$; якщо $a=1, b=2$, то $4 > 1$; якщо $a=1, b=5$, то $4 = 4$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.22. Відомо, що $1,2 < x < 1,5$. Оцініть значення виразу: 1) $2x + 0,7$; 2) $5 - x$; 3) $x/3 - 1$; 4) $2 - 10x$.

1. Помножимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на 2:
   $1,2 \cdot 2 < 2x < 1,5 \cdot 2$
   $2,4 < 2x < 3,0$
   Додамо до всіх частин 0,7:
   $2,4 + 0,7 < 2x + 0,7 < 3,0 + 0,7$
   $3,1 < 2x + 0,7 < 3,7$
2. Помножимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на $-1$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-1,5 < -x < -1,2$
   Додамо до всіх частин 5:
   $5 - 1,5 < 5 - x < 5 - 1,2$
   $3,5 < 5 - x < 3,8$
3. Поділимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на 3:
   $\dfrac{1,2}{3} < \dfrac{x}{3} < \dfrac{1,5}{3}$
   $0,4 < \dfrac{x}{3} < 0,5$
   Віднімемо від усіх частин 1:
   $0,4 - 1 < \dfrac{x}{3} - 1 < 0,5 - 1$
   $-0,6 < \dfrac{x}{3} - 1 < -0,5$
4. Помножимо всі частини нерівності $1,2 < x < 1,5$ на $-10$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $1,5 \cdot (-10) < -10x < 1,2 \cdot (-10)$
   $-15 < -10x < -12$
   Додамо до всіх частин 2:
   $2 - 15 < 2 - 10x < 2 - 12$
   $-13 < 2 - 10x < -10$

2.23. Відомо, що $0,8 < a < 1,2$. Оцініть значення виразу: 1) $3a - 0,2$; 2) $4 - a$; 3) $a/2 + 3$; 4) $10 - 5a$.

1. Помножимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на 3:
   $2,4 < 3a < 3,6$
   Віднімемо 0,2:
   $2,4 - 0,2 < 3a - 0,2 < 3,6 - 0,2$
   $2,2 < 3a - 0,2 < 3,4$
2. Помножимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на $-1$:
   $-1,2 < -a < -0,8$
   Додамо 4:
   $4 - 1,2 < 4 - a < 4 - 0,8$
   $2,8 < 4 - a < 3,2$
3. Поділимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на 2:
   $0,4 < \dfrac{a}{2} < 0,6$
   Додамо 3:
   $0,4 + 3 < \dfrac{a}{2} + 3 < 0,6 + 3$
   $3,4 < \dfrac{a}{2} + 3 < 3,6$
4. Помножимо нерівність $0,8 < a < 1,2$ на $-5$:
   $1,2 \cdot (-5) < -5a < 0,8 \cdot (-5)$
   $-6 < -5a < -4$
   Додамо 10:
   $10 - 6 < 10 - 5a < 10 - 4$
   $4 < 10 - 5a < 6$

2.24. Оцініть значення виразу: 1) $20/a$, якщо $2 < a < 5$; 2) $1/(3a + 4)$, якщо $-1 < a < 4$.

1. Для оцінки $\dfrac{20}{a}$ використаємо властивість: якщо $2 < a < 5$, то $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$.
   Помножимо всі частини на 20:
   $20 \cdot \dfrac{1}{5} < \dfrac{20}{a} < 20 \cdot \dfrac{1}{2}$
   $4 < \dfrac{20}{a} < 10$
2. Оцінимо знаменник $3a + 4$:
   $-1 < a < 4 \quad | \cdot 3$
   $-3 < 3a < 12 \quad | + 4$
   $1 < 3a + 4 < 16$
   Оскільки обидві частини додатні, застосуємо властивість для обернених чисел:
   $\dfrac{1}{16} < \dfrac{1}{3a + 4} < \dfrac{1}{1}$
   $\dfrac{1}{16} < \dfrac{1}{3a + 4} < 1$

2.25. Оцініть значення виразу: 1) $100/x$, якщо $5 < x < 10$; 2) $1/(2x - 3)$, якщо $2 < x < 4$.

1. Якщо $5 < x < 10$, то для обернених величин:
   $\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$
   Помножимо на 100:
   $100 \cdot \dfrac{1}{10} < \dfrac{100}{x} < 100 \cdot \dfrac{1}{5}$
   $10 < \dfrac{100}{x} < 20$
2. Оцінимо вираз у знаменнику $2x - 3$:
   $2 < x < 4 \quad | \cdot 2$
   $4 < 2x < 8 \quad | - 3$
   $1 < 2x - 3 < 5$
   Знайдемо межі для оберненого виразу:
   $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{2x - 3} < \dfrac{1}{1}$
   $0,2 < \dfrac{1}{2x - 3} < 1$

2.26. Ділянка землі має форму рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює $P$ м. Оцініть сторону $a$ (у м), якщо $126 < P < 150$.

Дано:

• Трикутник рівносторонній
• $P = 3a$
• $126 < P < 150$

Знайти:

• $a - ?$

Розв’язання:

Оскільки трикутник рівносторонній, його сторона $a$ обчислюється за формулою:
$a = \dfrac{P}{3}$

За умовою:
$126 < P < 150$

Поділимо всі частини нерівності на 3:
$\dfrac{126}{3} < \dfrac{P}{3} < \dfrac{150}{3}$
$42 < a < 50$

Відповідь: $42 < a < 50$.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ ТА ВИКОНАЙТЕ ВПРАВИ

2.27. Маса чотирьох однакових мішків із цукром дорівнює m кг. Оцініть масу p (у кг) одного такого мішка, якщо 192 < m < 204.

Відомо:

• $192 < m < 204$
• $p = \dfrac{m}{4}$

Оцінити:

• $p - ?$

Розв’язання:

Оскільки маса чотирьох мішків становить $m$ кг, то маса одного мішка $p$ обчислюється шляхом ділення загальної маси на 4.

$192 < m < 204$

Поділимо всі частини нерівності на 4:

$\dfrac{192}{4} < \dfrac{m}{4} < \dfrac{204}{4}$

$48 < p < 51$

Відповідь: $48 < p < 51$.

2.28. Порівняйте x і y, якщо: 1) x + 2 > m > y + 3; 2) x – 2 < p < y – 3.

1. За умовою $x + 2 > y + 3$.
   Віднімемо від обох частин нерівності число 2:
   $x + 2 - 2 > y + 3 - 2$
   $x > y + 1$
   Оскільки $y + 1 > y$, то $x > y$.
2. За умовою $x - 2 < y - 3$.
   Додамо до обох частин нерівності число 2:
   $x - 2 + 2 < y - 3 + 2$
   $x < y - 1$
   Оскільки $y - 1 < y$, то $x < y$.

2.29. Порівняйте a і b, якщо: 1) a + 3 < c < b + 2; 2) a – 7 > d > b – 5.

1. За умовою $a + 3 < b + 2$.
   Віднімемо від обох частин нерівності число 3:
   $a + 3 - 3 < b + 2 - 3$
   $a < b - 1$
   Оскільки $b - 1 < b$, то $a < b$.
2. За умовою $a - 7 > b - 5$.
   Додамо до обох частин нерівності число 7:
   $a - 7 + 7 > b - 5 + 7$
   $a > b + 2$
   Оскільки $b + 2 > b$, то $a > b$.

2.30. Відомо, що 1 < a < 2. Оцініть значення виразу 12 / (7 – 3a).

Послідовно оцінимо складові виразу:

1. Помножимо нерівність на $-3$, змінюючи знаки нерівності на протилежні:
   $-3 \cdot 2 < -3 \cdot a < -3 \cdot 1$
   $-6 < -3a < -3$
2. Додамо до всіх частин число 7:
   $7 - 6 < 7 - 3a < 7 - 3$
   $1 < 7 - 3a < 4$
3. Застосуємо властивість для обернених чисел ($1 < a < b \Rightarrow \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}$):
   $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{7 - 3a} < \dfrac{1}{1}$
   $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{7 - 3a} < 1$
4. Помножимо всі частини на 12:
   $12 \cdot \dfrac{1}{4} < \dfrac{12}{7 - 3a} < 12 \cdot 1$
   $3 < \dfrac{12}{7 - 3a} < 12$

Відповідь: $3 < \dfrac{12}{7 - 3a} < 12$.

2.31. Відомо, що 2 < b < 5. Оцініть значення виразу 27 / (13 – 2b).

1. Помножимо нерівність на $-2$, змінюючи знаки:
   $-2 \cdot 5 < -2 \cdot b < -2 \cdot 2$
   $-10 < -2b < -4$
2. Додамо до всіх частин число 13:
   $13 - 10 < 13 - 2b < 13 - 4$
   $3 < 13 - 2b < 9$
3. Застосуємо властивість для обернених чисел:
   $\dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{13 - 2b} < \dfrac{1}{3}$
4. Помножимо всі частини на 27:
   $27 \cdot \dfrac{1}{9} < \dfrac{27}{13 - 2b} < 27 \cdot \dfrac{1}{3}$
   $3 < \dfrac{27}{13 - 2b} < 9$

Відповідь: $3 < \dfrac{27}{13 - 2b} < 9$.

2.32. Дано $-2 < x < 2$. Оцініть значення виразу $\dfrac{6}{x}$.

Оскільки дільник не може дорівнювати нулю, розглянемо два проміжки для змінної $x$.

1. Якщо $0 < x < 2$, то за властивістю числових нерівностей для додатних чисел:
   $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число 6:
$6 \cdot \dfrac{1}{x} > 6 \cdot \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{6}{x} > 3$

2. Якщо $-2 < x < 0$, то за властивістю числових нерівностей для від’ємних чисел:
   $\dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$

Помножимо обидві частини нерівності на додатне число 6:
$6 \cdot \dfrac{1}{x} < 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$\dfrac{6}{x} < -3$

Відповідь: $\dfrac{6}{x} < -3$ або $\dfrac{6}{x} > 3$.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.33. Виконайте дії:

1. $\dfrac{x + 3y}{3x} - \dfrac{x + 2y}{2x}$

Для виконання віднімання зведемо дроби до спільного знаменника $6x$:
$\dfrac{2(x + 3y) - 3(x + 2y)}{6x} = \dfrac{2x + 6y - 3x - 6y}{6x} = \dfrac{-x}{6x} = -\dfrac{1}{6}$

2. $\dfrac{1}{m(m + n)} + \dfrac{1}{n(m + n)}$

Спільним знаменником для цих дробів є вираз $mn(m + n)$:
$\dfrac{n + m}{mn(m + n)} = \dfrac{m + n}{mn(m + n)} = \dfrac{1}{mn}$

3. $\dfrac{3p^2}{p - 2} - 3p$

Представимо ціле число у вигляді дробу та зведемо до спільного знаменника $p - 2$:
$\dfrac{3p^2 - 3p(p - 2)}{p - 2} = \dfrac{3p^2 - 3p^2 + 6p}{p - 2} = \dfrac{6p}{p - 2}$

4. $\dfrac{a}{a - 5} + \dfrac{5}{5 - a}$

Змінимо знак у знаменнику другого дробу, щоб отримати спільний знаменник $a - 5$:
$\dfrac{a}{a - 5} - \dfrac{5}{a - 5} = \dfrac{a - 5}{a - 5} = 1$

2.34. Розв’яжіть рівняння:

1. $\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 2}{1 - x} = \dfrac{x + 5}{x^2 - 1}$

Визначимо область допустимих значень (ОДЗ): $x \neq 1, x \neq -1$.
Перенесемо всі члени в одну сторону та зведемо до спільного знаменника $(x - 1)(x + 1)$:
$\dfrac{x + 3}{x + 1} + \dfrac{x + 2}{x - 1} - \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 1)} = 0$
$(x + 3)(x - 1) + (x + 2)(x + 1) - (x + 5) = 0$
$x^2 + 2x - 3 + x^2 + 3x + 2 - x - 5 = 0$
$2x^2 + 4x - 6 = 0$
Поділимо рівняння на 2:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
За теоремою Вієта коренями є $x_1 = -3$ та $x_2 = 1$.
Оскільки $x = 1$ не входить до ОДЗ, розв’язком є лише одне число.
Відповідь: -3.

2. $\dfrac{3}{x} - \dfrac{x}{2 - x} = \dfrac{x + 2}{x^2 - 2x}$

Визначимо ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 2$.
Зведемо дроби до спільного знаменника $x(x - 2)$, попередньо змінивши знак у другому дробі:
$\dfrac{3}{x} + \dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{x + 2}{x(x - 2)} = 0$
$3(x - 2) + x^2 - (x + 2) = 0$
$3x - 6 + x^2 - x - 2 = 0$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
За теоремою Вієта коренями є $x_1 = -4$ та $x_2 = 2$.
Оскільки $x = 2$ не входить до ОДЗ, розв’язком є лише одне число.
Відповідь: -4.

2.35. Доведіть, що значення виразу $8^{15} - 2^{40}$ кратне числу 31.

Перетворимо вираз, звівши степені до спільної основи 2:
$8^{15} - 2^{40} = (2^3)^{15} - 2^{40} = 2^{45} - 2^{40}$

Винесемо спільний множник $2^{40}$ за дужки:
$2^{40} \cdot (2^5 - 1) = 2^{40} \cdot (32 - 1) = 2^{40} \cdot 31$

Оскільки один із множників отриманого добутку дорівнює 31, то і весь вираз ділиться націло на 31. Твердження доведено.

2.36. Відомо, що $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $2x^2 - 3x - 10 = 0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу $x_1^2 + x_2^2$.

За теоремою Вієта для квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{2} = 1{,}5$
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-10}{2} = -5$