17. Тепловий баланс

Зміст

Контрольні запитання

1. Сформулюйте закон збереження енергії, на підставі якого складають рівняння теплового балансу.

Закон збереження і перетворення енергії для процесу теплопередачі формулюється так: у системі тіл, яка не одержує і не віддає енергію, а зміна внутрішньої енергії тіл відбувається лише внаслідок теплообміну між тілами системи, скільки теплоти віддають одні тіла системи, стільки ж теплоти одержують інші.

$Q_1^+ + Q_2^+ + … + Q_n^+ = Q_1^- + Q_2^- + … + Q_k^-$

де $n$ — кількість тіл, що віддають енергію, а $k$ — кількість тіл, що одержують енергію.

2. Назвіть умови, які мають виконуватися для використання рівняння теплового балансу.

Для використання рівняння теплового балансу мають виконуватися дві умови: по-перше, система тіл не повинна одержувати чи віддавати енергію назовні (теплообмін із довкіллям має бути відсутнім). По-друге, процес теплообміну має призвести до стану теплової рівноваги, тобто температури всіх тіл системи стають однаковими.

Вправа

Виконуючи завдання, теплообміном із довкіллям знехтуйте.

1. У ванну налили 80 кг води за температури 10 °С. Скільки води за температури 100 °С потрібно додати у ванну, щоб температура води в ній стала 25 °С? Теплообміном між ванною та водою знехтуйте.

Дано:
$m_1 = 80 кг$
$t_1 = 10 °С$
$t_2 = 100 °С$
$t = 25 °С$
$c = 4200 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$

Знайти:
$m_2 = ?$

Розв’язання:
Складаємо рівняння теплового балансу. Кількість теплоти $Q_1$, яку отримала холодна вода, дорівнює кількості теплоти $Q_2$, яку віддала гаряча вода.
$Q_1 = Q_2$
$c \cdot m_1 \cdot (t-t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2-t)$
Питома теплоємність води $c$ скорочується:
$m_1 \cdot (t-t_1) = m_2 \cdot (t_2-t)$
Звідси виражаємо $m_2$ :
$m_2 = \dfrac{m_1 \cdot (t-t_1)}{t_2-t}$
Підставляємо числові значення:
$m_2 = \dfrac{80 \cdot (25-10)}{100-25} = \dfrac{80 \cdot 15}{75} = \dfrac{1200}{75} = 16 кг$

Відповідь: потрібно додати 16 кг води.

2. У каструлю налили 2 кг води за температури 40 °С, а потім додали 4 кг води за температури 85 °C. Визначте температуру суміші. Теплообміном між каструлею та водою знехтуйте.

Дано:
$m_1 = 2 кг$
$t_1 = 40 °С$
$m_2 = 4 кг$
$t_2 = 85 °С$
$c = 4200 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$

Знайти:
$t = ?$

Розв’язання:
Записуємо рівняння теплового балансу. Кількість теплоти, яку отримала холодніша вода, дорівнює кількості теплоти, яку віддала гарячіша вода.
$c \cdot m_1 \cdot (t-t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2-t)$
Скорочуємо питому теплоємність $c$:
$m_1 \cdot (t-t_1) = m_2 \cdot (t_2-t)$
$m_1 \cdot t-m_1 \cdot t_1 = m_2 \cdot t_2-m_2 \cdot t$
$m_1 \cdot t + m_2 \cdot t = m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$
$t \cdot (m_1 + m_2) = m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$
$t = \dfrac{m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2}{m_1 + m_2}$
Підставляємо значення:
$t = \dfrac{2 \cdot 40 + 4 \cdot 85}{2 + 4} = \dfrac{80 + 340}{6} = \dfrac{420}{6} = 70 °С$

Відповідь: температура суміші становить 70 °С.

3. У воду масою 250 г за температури 15 °С занурили нагрітий у печі сталевий брусок масою 200 г. Температура води збільшилася до 25 °С. Обчисліть температуру в печі.

Дано:
$m_в = 250 г = 0,25 кг$
$t_в = 15 °С$
$m_с = 200 г = 0,2 кг$
$t = 25 °С$
$c_в = 4200 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$
$c_с = 500 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$ (питома теплоємність сталі)

Знайти:
$t_с = ?$

Розв’язання:

Кількість теплоти $Q_в$, яку отримала вода, дорівнює кількості теплоти $Q_с$, яку віддав сталевий брусок.
$Q_в = Q_с$
$c_в \cdot m_в \cdot (t-t_в) = c_с \cdot m_с \cdot (t_с-t)$
Звідси знаходимо $t_с$:
$t_с-t = \dfrac{c_в \cdot m_в \cdot (t-t_в)}{c_с \cdot m_с}$
$t_с = t + \dfrac{c_в \cdot m_в \cdot (t-t_в)}{c_с \cdot m_с}$
Підставляємо значення:
$t_с = 25 + \dfrac{4200 \cdot 0,25 \cdot (25-15)}{500 \cdot 0,2} = 25 + \dfrac{1050 \cdot 10}{100} = 25 + \dfrac{10500}{100} = 25 + 115 = 130 °С$

Відповідь: температура в печі 130 °С.

4. Латунна посудина масою 200 г містить 400 г води за температури 20 °С. У воду опустили 800 г срібла за температури 69 °С. У результаті вода нагрілася до температури 25 °С. Визначте питому теплоємність срібла.

Дано:
$m_л = 200 г = 0,2 кг$
$m_в = 400 г = 0,4 кг$
$t_1 = 20 °С$
$m_{ср} = 800 г = 0,8 кг$
$t_{ср} = 69 °С$
$t_2 = 25 °С$
$c_в = 4200 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$
$c_л = 400 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$ (питома теплоємність латуні)

Знайти:
$c_{ср} = ?$

Розв’язання:

Кількість теплоти, яку віддало срібло ($Q_{віддано}$), дорівнює сумарній кількості теплоти, яку отримали вода та латунна посудина ($Q_{отримано}$).
$Q_{віддано} = Q_{отримано}$
$m_{ср} \cdot c_{ср} \cdot (t_{ср}-t_2) = m_в \cdot c_в \cdot (t_2-t_1) + m_л \cdot c_л \cdot (t_2-t_1)$
$m_{ср} \cdot c_{ср} \cdot (t_{ср}-t_2) = (m_в \cdot c_в + m_л \cdot c_л) \cdot (t_2-t_1)$
Виражаємо $c_{ср}$:
$c_{ср} = \dfrac{(m_в \cdot c_в + m_л \cdot c_л) \cdot (t_2-t_1)}{m_{ср} \cdot (t_{ср}-t_2)}$
Підставляємо значення:
$c_{ср} = \dfrac{(0,4 \cdot 4200 + 0,2 \cdot 400) \cdot (25-20)}{0,8 \cdot (69-25)} = \dfrac{(1680 + 80) \cdot 5}{0,8 \cdot 44} = \dfrac{1760 \cdot 5}{35,2} = \dfrac{8800}{35,2} = 250 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$

Відповідь: питома теплоємність срібла приблизно 250 Дж/(кг·°С).

5. Придумайте 1-2 задачі на складання рівняння теплового балансу та розв’яжіть їх. Умови задач, розв’язок і відповідні ілюстрації оформте на окремому аркуші.

Задача 5.1

У мідний калориметр масою 150 г, що містить 200 г води при 20 °С, опускають алюмінієвий циліндр масою 100 г, нагрітий до 95 °С. Якою буде кінцева температура води? (Питома теплоємність міді — 380 Дж/(кг·°С), алюмінію — 920 Дж/(кг·°С)).

Дано:
$m_м = 150 г = 0,15 кг$
$m_в = 200 г = 0,2 кг$
$t_1 = 20 °С$
$m_{ал} = 100 г = 0,1 кг$
$t_{ал} = 95 °С$
$c_м = 380 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$
$c_в = 4200 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$
$c_{ал} = 920 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$

Знайти:
$t_2 = ?$

Розв’язання:

Теплота, яку віддав алюмінієвий циліндр, дорівнює теплоті, яку отримали вода та мідний калориметр.
$m_{ал} \cdot c_{ал} \cdot (t_{ал}-t_2) = (m_в \cdot c_в + m_м \cdot c_м) \cdot (t_2-t_1)$
$0,1 \cdot 920 \cdot (95-t_2) = (0,2 \cdot 4200 + 0,15 \cdot 380) \cdot (t_2-20)$
$92 \cdot (95-t_2) = (840 + 57) \cdot (t_2-20)$
$8740-92 \cdot t_2 = 897 \cdot (t_2-20)$
$8740-92 \cdot t_2 = 897 \cdot t_2-17940$
$8740 + 17940 = 897 \cdot t_2 + 92 \cdot t_2$
$26680 = 989 \cdot t_2$
$t_2 = \dfrac{26680}{989} \approx 26,98 °С$

Відповідь: кінцева температура води буде приблизно 27 °С.

Задача 5.2

Щоб отримати 10 л води при температурі 36 °С, змішують гарячу воду (80 °С) та холодну (10 °С). Які об’єми гарячої та холодної води потрібно взяти? (Густина води 1 кг/л).

Дано:
$V = 10 л \implies m = 10 кг$
$t = 36 °С$
$t_г = 80 °С$
$t_х = 10 °С$
$c = 4200 \dfrac{Дж}{кг \cdot °С}$

Знайти:
$V_г = ?, V_х = ?$

Розв’язання:

Нехай $m_х$ — маса холодної води, тоді маса гарячої води $m_г = m-m_х = 10-m_х$.
За рівнянням теплового балансу:
$m_х \cdot c \cdot (t-t_х) = m_г \cdot c \cdot (t_г-t)$
$m_х \cdot (36-10) = (10-m_х) \cdot (80-36)$
$26 \cdot m_х = (10-m_х) \cdot 44$
$26 \cdot m_х = 440-44 \cdot m_х$
$70 \cdot m_х = 440$
$m_х = \dfrac{440}{70} \approx 6,29 кг$
Оскільки густина води 1 кг/л, то $V_х \approx 6,29 л$
Тоді маса гарячої води:
$m_г = 10-6,29 = 3,71 кг$
Відповідно, об’єм гарячої води $V_г \approx 3,71 л$

Відповідь: потрібно взяти приблизно 6,29 л холодної води та 3,71 л гарячої води.