Перейти до основного вмісту
Алгебра• 17 хв читання

§3. Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками (3.1-3.28)

Назад до змісту Розв’яжіть задачі та виконайте вправи 3.1. Виконайте дію (усно) Щоб додати або відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити той самий. a/5 + b/5 = a+b/5 x/9 – y/9 = x-y/9 2/a + 3/a = 2+3/a = 5/a 7/b – 5/b = 7-5/b = […]

Д
До уроку
Опубліковано: (Оновлено: )

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

3.1. Виконайте дію (усно)

Щоб додати або відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити той самий.

  1. a5+b5=a+b5\dfrac{a}{5} + \dfrac{b}{5} = \dfrac{a+b}{5}
  2. x9−y9=x−y9\dfrac{x}{9} - \dfrac{y}{9} = \dfrac{x-y}{9}
  3. 2a+3a=2+3a=5a\dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{a} = \dfrac{2+3}{a} = \dfrac{5}{a}
  4. 7b−5b=7−5b=2b\dfrac{7}{b} - \dfrac{5}{b} = \dfrac{7-5}{b} = \dfrac{2}{b}

3.2. Знайдіть суму або різницю

Правило таке ж, як у попередньому завданні. Додаємо або віднімаємо чисельники, а знаменник залишаємо без змін.

  1. 2x5+x5=2x+x5=3x5\dfrac{2x}{5} + \dfrac{x}{5} = \dfrac{2x+x}{5} = \dfrac{3x}{5}
  2. 7y3−2y3=7y−2y3=5y3\dfrac{7y}{3} - \dfrac{2y}{3} = \dfrac{7y-2y}{3} = \dfrac{5y}{3}
  3. a+bx−ax=a+b−ax=bx\dfrac{a+b}{x} - \dfrac{a}{x} = \dfrac{a+b-a}{x} = \dfrac{b}{x}
  4. 7x2y+5x2y=7x2+5x2y=12x2y\dfrac{7x^2}{y} + \dfrac{5x^2}{y} = \dfrac{7x^2+5x^2}{y} = \dfrac{12x^2}{y}

3.3. Виконайте дію

Продовжуємо використовувати правило додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

  1. 3m8+2m8=3m+2m8=5m8\dfrac{3m}{8} + \dfrac{2m}{8} = \dfrac{3m+2m}{8} = \dfrac{5m}{8}
  2. 9p17−p17=9p−p17=8p17\dfrac{9p}{17} - \dfrac{p}{17} = \dfrac{9p-p}{17} = \dfrac{8p}{17}
  3. x−ym+ym=x−y+ym=xm\dfrac{x-y}{m} + \dfrac{y}{m} = \dfrac{x-y+y}{m} = \dfrac{x}{m}
  4. 5c2n−2c2n=5c2−2c2n=3c2n\dfrac{5c^2}{n} - \dfrac{2c^2}{n} = \dfrac{5c^2-2c^2}{n} = \dfrac{3c^2}{n}

3.4. Подайте у вигляді дробу

Тут, окрім додавання та віднімання, потрібно ще й спростити отриманий дріб, скоротивши спільні множники в чисельнику та знаменнику.

  1. 7a4x−3a4x=7a−3a4x=4a4x=ax\dfrac{7a}{4x} - \dfrac{3a}{4x} = \dfrac{7a-3a}{4x} = \dfrac{4a}{4x} = \dfrac{a}{x}
  2. x+y8−x−3y8=x+y−(x−3y)8=x+y−x+3y8=4y8=y2\dfrac{x+y}{8} - \dfrac{x-3y}{8} = \dfrac{x+y-(x-3y)}{8} = \dfrac{x+y-x+3y}{8} = \dfrac{4y}{8} = \dfrac{y}{2}
  3. a+49+5−a9=a+4+5−a9=99=1\dfrac{a+4}{9} + \dfrac{5-a}{9} = \dfrac{a+4+5-a}{9} = \dfrac{9}{9} = 1
  4. x+3y10+4x+7y10=x+3y+4x+7y10=5x+10y10=5(x+2y)10=x+2y2\dfrac{x+3y}{10} + \dfrac{4x+7y}{10} = \dfrac{x+3y+4x+7y}{10} = \dfrac{5x+10y}{10} = \dfrac{5(x+2y)}{10} = \dfrac{x+2y}{2}
  5. 5m−28m−m−108m=5m−2−(m−10)8m=5m−2−m+108m=4m+88m=4(m+2)8m=m+22m\dfrac{5m-2}{8m} - \dfrac{m-10}{8m} = \dfrac{5m-2-(m-10)}{8m} = \dfrac{5m-2-m+10}{8m} = \dfrac{4m+8}{8m} = \dfrac{4(m+2)}{8m} = \dfrac{m+2}{2m}
  6. 7a+136a+17−a6a=7a+13+17−a6a=6a+306a=6(a+5)6a=a+5a\dfrac{7a+13}{6a} + \dfrac{17-a}{6a} = \dfrac{7a+13+17-a}{6a} = \dfrac{6a+30}{6a} = \dfrac{6(a+5)}{6a} = \dfrac{a+5}{a}

3.5. Спростіть вираз

Щоб виконати додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно виконати відповідну дію з їхніми чисельниками, а знаменник залишити без змін. Після цього, якщо можливо, слід спростити отриманий вираз.

  1. 5x2a+3x2a=5x+3x2a=8x2a=4xa\dfrac{5x}{2a} + \dfrac{3x}{2a} = \dfrac{5x+3x}{2a} = \dfrac{8x}{2a} = \dfrac{4x}{a}
  2. a+b12−a−5b12=a+b−(a−5b)12=a+b−a+5b12=6b12=b2\dfrac{a+b}{12} - \dfrac{a-5b}{12} = \dfrac{a+b-(a-5b)}{12} = \dfrac{a+b-a+5b}{12} = \dfrac{6b}{12} = \dfrac{b}{2}
  3. b−35+13−b5=b−3+13−b5=105=2\dfrac{b-3}{5} + \dfrac{13-b}{5} = \dfrac{b-3+13-b}{5} = \dfrac{10}{5} = 2
  4. a+2b8+3a+6b8=a+2b+3a+6b8=4a+8b8=4(a+2b)8=a+2b2\dfrac{a+2b}{8} + \dfrac{3a+6b}{8} = \dfrac{a+2b+3a+6b}{8} = \dfrac{4a+8b}{8} = \dfrac{4(a+2b)}{8} = \dfrac{a+2b}{2}
  5. 6m−310m−m−1310m=6m−3−(m−13)10m=6m−3−m+1310m=5m+1010m=5(m+2)10m=m+22m\dfrac{6m-3}{10m} - \dfrac{m-13}{10m} = \dfrac{6m-3-(m-13)}{10m} = \dfrac{6m-3-m+13}{10m} = \dfrac{5m+10}{10m} = \dfrac{5(m+2)}{10m} = \dfrac{m+2}{2m}
  6. 5x−34x+11−x4x=5x−3+11−x4x=4x+84x=4(x+2)4x=x+2x\dfrac{5x-3}{4x} + \dfrac{11-x}{4x} = \dfrac{5x-3+11-x}{4x} = \dfrac{4x+8}{4x} = \dfrac{4(x+2)}{4x} = \dfrac{x+2}{x}

3.6. Спростіть вираз

Застосовуємо те ж правило: виконуємо дії з чисельниками, залишаючи знаменник спільним. Особливу увагу приділяємо знакам при розкритті дужок після віднімання.

  1. 3x−7y4xy+15y−3x4xy=3x−7y+15y−3x4xy=8y4xy=2x\dfrac{3x-7y}{4xy} + \dfrac{15y-3x}{4xy} = \dfrac{3x-7y+15y-3x}{4xy} = \dfrac{8y}{4xy} = \dfrac{2}{x}
  2. 7a+p33p−7a−2p33p=7a+p3−(7a−2p3)3p=7a+p3−7a+2p33p=3p33p=p2\dfrac{7a+p^3}{3p} - \dfrac{7a-2p^3}{3p} = \dfrac{7a+p^3-(7a-2p^3)}{3p} = \dfrac{7a+p^3-7a+2p^3}{3p} = \dfrac{3p^3}{3p} = p^2
  3. 5a−b46b5−b4+5a6b5=5a−b4−(b4+5a)6b5=5a−b4−b4−5a6b5=−2b46b5=−13b\dfrac{5a-b^4}{6b^5} - \dfrac{b^4+5a}{6b^5} = \dfrac{5a-b^4-(b^4+5a)}{6b^5} = \dfrac{5a-b^4-b^4-5a}{6b^5} = \dfrac{-2b^4}{6b^5} = -\dfrac{1}{3b}
  4. 3a−48a+4a+58a−1−a8a=3a−4+4a+5−(1−a)8a=7a+1−1+a8a=8a8a=1\dfrac{3a-4}{8a} + \dfrac{4a+5}{8a} - \dfrac{1-a}{8a} = \dfrac{3a-4+4a+5-(1-a)}{8a} = \dfrac{7a+1-1+a}{8a} = \dfrac{8a}{8a} = 1

3.7. Подайте у вигляді дробу

Щоб виконати додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками, необхідно додати або відняти їхні чисельники, а знаменник залишити той самий. Дуже важливо правильно розкривати дужки, особливо при відніманні, змінюючи знаки на протилежні.

  1. 3a−bab−5b+3aab=3a−b−(5b+3a)ab=3a−b−5b−3aab=−6bab=−6a\dfrac{3a-b}{ab} - \dfrac{5b+3a}{ab} = \dfrac{3a-b-(5b+3a)}{ab} = \dfrac{3a-b-5b-3a}{ab} = \dfrac{-6b}{ab} = -\dfrac{6}{a}
  2. 9m+2k25k−9m−3k25k=9m+2k2−(9m−3k2)5k=9m+2k2−9m+3k25k=5k25k=k\dfrac{9m+2k^2}{5k} - \dfrac{9m-3k^2}{5k} = \dfrac{9m+2k^2-(9m-3k^2)}{5k} = \dfrac{9m+2k^2-9m+3k^2}{5k} = \dfrac{5k^2}{5k} = k
  3. 5b−m24m3−m2+5b4m3=5b−m2−(m2+5b)4m3=5b−m2−m2−5b4m3=−2m24m3=−12m\dfrac{5b-m^2}{4m^3} - \dfrac{m^2+5b}{4m^3} = \dfrac{5b-m^2-(m^2+5b)}{4m^3} = \dfrac{5b-m^2-m^2-5b}{4m^3} = \dfrac{-2m^2}{4m^3} = -\dfrac{1}{2m}
  4. 4a−36a+a+86a−5−a6a=4a−3+a+8−(5−a)6a=5a+5−5+a6a=6a6a=1\dfrac{4a-3}{6a} + \dfrac{a+8}{6a} - \dfrac{5-a}{6a} = \dfrac{4a-3+a+8-(5-a)}{6a} = \dfrac{5a+5-5+a}{6a} = \dfrac{6a}{6a} = 1

3.8. Обчисліть значення виразу

Спочатку спростимо вираз, а потім підставимо значення a.

7a−54a2+5+a4a2=7a−5+5+a4a2=8a4a2=2a\dfrac{7a-5}{4a^2} + \dfrac{5+a}{4a^2} = \dfrac{7a-5+5+a}{4a^2} = \dfrac{8a}{4a^2} = \dfrac{2}{a}

Тепер підставимо a=18a = \dfrac{1}{8}:

2a=218=2⋅8=16\dfrac{2}{a} = \dfrac{2}{\frac{1}{8}} = 2 \cdot 8 = 16

Відповідь: Оксана Баюл стала олімпійською чемпіонкою у 16 років.

3.9. Знайдіть значення виразу

Спочатку спростимо вираз, а потім підставимо значення b.

11b−76b2+7+b6b2=11b−7+7+b6b2=12b6b2=2b\dfrac{11b-7}{6b^2} + \dfrac{7+b}{6b^2} = \dfrac{11b-7+7+b}{6b^2} = \dfrac{12b}{6b^2} = \dfrac{2}{b}

Тепер підставимо b=113b = \dfrac{1}{13}:

2b=2113=2⋅13=26\dfrac{2}{b} = \dfrac{2}{\frac{1}{13}} = 2 \cdot 13 = 26

Відповідь: світовий рекорд Інеси Кравець протримався 26 років.

3.10. Виконайте дію

Щоб виконати дію з дробами, які мають однакові знаменники, потрібно виконати відповідну дію з чисельниками, а знаменник залишити без змін. Після цього чисельник і знаменник нового дробу потрібно, якщо можливо, скоротити. Часто для цього використовуються формули скороченого множення, наприклад, різниця квадратів a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b).

  1. x2x−5−25x−5=x2−25x−5=(x−5)(x+5)x−5=x+5\dfrac{x^2}{x-5} - \dfrac{25}{x-5} = \dfrac{x^2-25}{x-5} = \dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5} = x+5
  2. 36y+6−y2y+6=36−y2y+6=(6−y)(6+y)y+6=6−y\dfrac{36}{y+6} - \dfrac{y^2}{y+6} = \dfrac{36-y^2}{y+6} = \dfrac{(6-y)(6+y)}{y+6} = 6-y
  3. x−3x2−9+6x2−9=x−3+6x2−9=x+3(x−3)(x+3)=1x−3\dfrac{x-3}{x^2-9} + \dfrac{6}{x^2-9} = \dfrac{x-3+6}{x^2-9} = \dfrac{x+3}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{1}{x-3}
  4. 7a−1a2−b2−7b−1a2−b2=7a−1−(7b−1)a2−b2=7a−1−7b+1(a−b)(a+b)=7a−7b(a−b)(a+b)=7(a−b)(a−b)(a+b)=7a+b\dfrac{7a-1}{a^2-b^2} - \dfrac{7b-1}{a^2-b^2} = \dfrac{7a-1-(7b-1)}{a^2-b^2} = \dfrac{7a-1-7b+1}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{7a-7b}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{7(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{7}{a+b}
  5. 2x+y(x−y)2+x−4y(x−y)2=2x+y+x−4y(x−y)2=3x−3y(x−y)2=3(x−y)(x−y)2=3x−y\dfrac{2x+y}{(x-y)^2} + \dfrac{x-4y}{(x-y)^2} = \dfrac{2x+y+x-4y}{(x-y)^2} = \dfrac{3x-3y}{(x-y)^2} = \dfrac{3(x-y)}{(x-y)^2} = \dfrac{3}{x-y}
  6. 9m+5n(m+n)2−m−3n(m+n)2=9m+5n−(m−3n)(m+n)2=9m+5n−m+3n(m+n)2=8m+8n(m+n)2=8(m+n)(m+n)2=8m+n\dfrac{9m+5n}{(m+n)^2} - \dfrac{m-3n}{(m+n)^2} = \dfrac{9m+5n-(m-3n)}{(m+n)^2} = \dfrac{9m+5n-m+3n}{(m+n)^2} = \dfrac{8m+8n}{(m+n)^2} = \dfrac{8(m+n)}{(m+n)^2} = \dfrac{8}{m+n}

3.11. Спростіть вираз

Завдання аналогічне попередньому. Слід виконати дії з чисельниками, а потім скоротити отриманий дріб, розклавши чисельник та знаменник на множники.

  1. 497−m−m27−m=49−m27−m=(7−m)(7+m)7−m=7+m\dfrac{49}{7-m} - \dfrac{m^2}{7-m} = \dfrac{49-m^2}{7-m} = \dfrac{(7-m)(7+m)}{7-m} = 7+m
  2. x+7x2−1−6x2−1=x+7−6x2−1=x+1(x−1)(x+1)=1x−1\dfrac{x+7}{x^2-1} - \dfrac{6}{x^2-1} = \dfrac{x+7-6}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}
  3. 5x−2x2−y2−5y−2x2−y2=5x−2−(5y−2)x2−y2=5x−2−5y+2(x−y)(x+y)=5x−5y(x−y)(x+y)=5(x−y)(x−y)(x+y)=5x+y\dfrac{5x-2}{x^2-y^2} - \dfrac{5y-2}{x^2-y^2} = \dfrac{5x-2-(5y-2)}{x^2-y^2} = \dfrac{5x-2-5y+2}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{5x-5y}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{5(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{5}{x+y}
  4. 3a−4b(a−b)2+2a−b(a−b)2=3a−4b+2a−b(a−b)2=5a−5b(a−b)2=5(a−b)(a−b)2=5a−b\dfrac{3a-4b}{(a-b)^2} + \dfrac{2a-b}{(a-b)^2} = \dfrac{3a-4b+2a-b}{(a-b)^2} = \dfrac{5a-5b}{(a-b)^2} = \dfrac{5(a-b)}{(a-b)^2} = \dfrac{5}{a-b}

3.12. Спростіть вираз

Щоб додати або відняти дроби, знаменники яких є протилежними виразами (наприклад, x-1 та 1-x), потрібно в одному з дробів змінити знак знаменника на протилежний, одночасно змінивши знак перед цим дробом. Це дозволить звести дроби до спільного знаменника.

  1. ax−1+51−x=ax−1−5x−1=a−5x−1\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{5}{1-x} = \dfrac{a}{x-1} - \dfrac{5}{x-1} = \dfrac{a-5}{x-1}
  2. mc−3−p3−c=mc−3−p−(c−3)=mc−3+pc−3=m+pc−3\dfrac{m}{c-3} - \dfrac{p}{3-c} = \dfrac{m}{c-3} - \dfrac{p}{-(c-3)} = \dfrac{m}{c-3} + \dfrac{p}{c-3} = \dfrac{m+p}{c-3}
  3. 5xx−y+5yy−x=5xx−y−5yx−y=5x−5yx−y=5(x−y)x−y=5\dfrac{5x}{x-y} + \dfrac{5y}{y-x} = \dfrac{5x}{x-y} - \dfrac{5y}{x-y} = \dfrac{5x-5y}{x-y} = \dfrac{5(x-y)}{x-y} = 5
  4. 10p2p−m+5mm−2p=10p2p−m−5m2p−m=10p−5m2p−m=5(2p−m)2p−m=5\dfrac{10p}{2p-m} + \dfrac{5m}{m-2p} = \dfrac{10p}{2p-m} - \dfrac{5m}{2p-m} = \dfrac{10p-5m}{2p-m} = \dfrac{5(2p-m)}{2p-m} = 5

3.13. Виконайте дію

Застосовуємо той самий принцип, що й у попередньому завданні: змінюємо знак знаменника та знак перед дробом, щоб отримати однакові знаменники.

  1. ca−2+x2−a=ca−2−xa−2=c−xa−2\dfrac{c}{a-2} + \dfrac{x}{2-a} = \dfrac{c}{a-2} - \dfrac{x}{a-2} = \dfrac{c-x}{a-2}
  2. ax−y−8y−x=ax−y+8x−y=a+8x−y\dfrac{a}{x-y} - \dfrac{8}{y-x} = \dfrac{a}{x-y} + \dfrac{8}{x-y} = \dfrac{a+8}{x-y}
  3. 2mm−n+2nn−m=2mm−n−2nm−n=2m−2nm−n=2(m−n)m−n=2\dfrac{2m}{m-n} + \dfrac{2n}{n-m} = \dfrac{2m}{m-n} - \dfrac{2n}{m-n} = \dfrac{2m-2n}{m-n} = \dfrac{2(m-n)}{m-n} = 2
  4. 16x4x−y+4yy−4x=16x4x−y−4y4x−y=16x−4y4x−y=4(4x−y)4x−y=4\dfrac{16x}{4x-y} + \dfrac{4y}{y-4x} = \dfrac{16x}{4x-y} - \dfrac{4y}{4x-y} = \dfrac{16x-4y}{4x-y} = \dfrac{4(4x-y)}{4x-y} = 4

3.14. Виконайте дію

Спочатку виконуємо віднімання чисельників, оскільки знаменники вже однакові. Потім розкладаємо чисельник і знаменник на множники та скорочуємо дріб.

  1. m2−mm2+4m+4−4−mm2+4m+4=m2−m−(4−m)(m+2)2=m2−m−4+m(m+2)2=m2−4(m+2)2=(m−2)(m+2)(m+2)2=m−2m+2\dfrac{m^2-m}{m^2+4m+4} - \dfrac{4-m}{m^2+4m+4} = \dfrac{m^2-m-(4-m)}{(m+2)^2} = \dfrac{m^2-m-4+m}{(m+2)^2} = \dfrac{m^2-4}{(m+2)^2} = \dfrac{(m-2)(m+2)}{(m+2)^2} = \dfrac{m-2}{m+2}
  2. 9cc2−6c−18+6cc2−6c=9c−(18+6c)c(c−6)=9c−18−6cc(c−6)=3c−18c(c−6)=3(c−6)c(c−6)=3c\dfrac{9c}{c^2-6c} - \dfrac{18+6c}{c^2-6c} = \dfrac{9c-(18+6c)}{c(c-6)} = \dfrac{9c-18-6c}{c(c-6)} = \dfrac{3c-18}{c(c-6)} = \dfrac{3(c-6)}{c(c-6)} = \dfrac{3}{c}

3.15. Знайдіть різницю

Виконуємо віднімання дробів, спрощуємо чисельник, розкладаємо на множники і скорочуємо.

  1. a2+3aa2+6a+9−3a+9a2+6a+9=a2+3a−(3a+9)(a+3)2=a2+3a−3a−9(a+3)2=a2−9(a+3)2=(a−3)(a+3)(a+3)2=a−3a+3\dfrac{a^2+3a}{a^2+6a+9} - \dfrac{3a+9}{a^2+6a+9} = \dfrac{a^2+3a-(3a+9)}{(a+3)^2} = \dfrac{a^2+3a-3a-9}{(a+3)^2} = \dfrac{a^2-9}{(a+3)^2} = \dfrac{(a-3)(a+3)}{(a+3)^2} = \dfrac{a-3}{a+3}
  2. 3mm2−5m−m+10m2−5m=3m−(m+10)m(m−5)=3m−m−10m(m−5)=2m−10m(m−5)=2(m−5)m(m−5)=2m\dfrac{3m}{m^2-5m} - \dfrac{m+10}{m^2-5m} = \dfrac{3m-(m+10)}{m(m-5)} = \dfrac{3m-m-10}{m(m-5)} = \dfrac{2m-10}{m(m-5)} = \dfrac{2(m-5)}{m(m-5)} = \dfrac{2}{m}

3.16. Доведіть тотожність

Щоб довести тотожність, потрібно виконати перетворення однієї з її частин (зазвичай лівої) і звести її до вигляду іншої частини. Ми будемо зводити дроби до спільного знаменника, розкривати дужки за формулами скороченого множення (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 та спрощувати вираз.

  1. Перетворимо ліву частину:

(a−b)22ab−(a+b)22ab=(a−b)2−(a+b)22ab=(a2−2ab+b2)−(a2+2ab+b2)2ab=a2−2ab+b2−a2−2ab−b22ab=−4ab2ab=−2\dfrac{(a-b)^2}{2ab} - \dfrac{(a+b)^2}{2ab} = \dfrac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2ab} = \dfrac{(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)}{2ab} = \dfrac{a^2-2ab+b^2-a^2-2ab-b^2}{2ab} = \dfrac{-4ab}{2ab} = -2

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.

  1. Перетворимо ліву частину:

(a+b)2a2+b2+(a−b)2a2+b2=(a+b)2+(a−b)2a2+b2=(a2+2ab+b2)+(a2−2ab+b2)a2+b2=2a2+2b2a2+b2=2(a2+b2)a2+b2=2\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \dfrac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} = \dfrac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2+b^2} = \dfrac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} = \dfrac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.

3.17. Знайдіть значення виразу

Спочатку спростимо вираз, звівши дроби до спільного знаменника. Потім підставимо числові значення змінних.

  1. m22m−10+2510−2m=m22(m−5)−252(m−5)=m2−252(m−5)=(m−5)(m+5)2(m−5)=m+52\dfrac{m^2}{2m-10} + \dfrac{25}{10-2m} = \dfrac{m^2}{2(m-5)} - \dfrac{25}{2(m-5)} = \dfrac{m^2-25}{2(m-5)} = \dfrac{(m-5)(m+5)}{2(m-5)} = \dfrac{m+5}{2}

Якщо m=25m=25, то:

25+52=302=15\dfrac{25+5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15

  1. x2+9y2x−3y+6xy3y−x=x2+9y2x−3y−6xyx−3y=x2+9y2−6xyx−3y=(x−3y)2x−3y=x−3y\dfrac{x^2+9y^2}{x-3y} + \dfrac{6xy}{3y-x} = \dfrac{x^2+9y^2}{x-3y} - \dfrac{6xy}{x-3y} = \dfrac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y} = \dfrac{(x-3y)^2}{x-3y} = x-3y

Якщо x=2026,y=13x=2026, y=\dfrac{1}{3}, то:

2026−3⋅13=2026−1=20252026 - 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 2026-1 = 2025

3.18. Обчисліть

Спочатку спростимо алгебраїчний вираз, а потім підставимо в нього числові значення.

  1. x23x−18+3618−3x=x23(x−6)−363(x−6)=x2−363(x−6)=(x−6)(x+6)3(x−6)=x+63\dfrac{x^2}{3x-18} + \dfrac{36}{18-3x} = \dfrac{x^2}{3(x-6)} - \dfrac{36}{3(x-6)} = \dfrac{x^2-36}{3(x-6)} = \dfrac{(x-6)(x+6)}{3(x-6)} = \dfrac{x+6}{3}

Якщо x=−12x=-12, то:

−12+63=−63=−2\dfrac{-12+6}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2

  1. c2c−5k−25k2−10ck5k−c=c2c−5k+25k2−10ckc−5k=c2+25k2−10ckc−5k=(c−5k)2c−5k=c−5k\dfrac{c^2}{c-5k} - \dfrac{25k^2-10ck}{5k-c} = \dfrac{c^2}{c-5k} + \dfrac{25k^2-10ck}{c-5k} = \dfrac{c^2+25k^2-10ck}{c-5k} = \dfrac{(c-5k)^2}{c-5k} = c-5k

Якщо c=199,k=0,2c=199, k=0,2, то:

199−5⋅0,2=199−1=198199 - 5 \cdot 0,2 = 199-1 = 198

3.19. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу

Щоб подати дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник. Це можна зробити, розбивши чисельник на доданки, один з яких ділиться націло на знаменник, або виконавши ділення многочленів “у стовпчик”.

  1. m+3m=mm+3m=1+3m\dfrac{m+3}{m} = \dfrac{m}{m} + \dfrac{3}{m} = 1 + \dfrac{3}{m}
  2. a4+a3−5a2=a4a2+a3a2−5a2=a2+a−5a2\dfrac{a^4+a^3-5}{a^2} = \dfrac{a^4}{a^2} + \dfrac{a^3}{a^2} - \dfrac{5}{a^2} = a^2+a-\dfrac{5}{a^2}
  3. x2+5x−3x+5=x(x+5)−3x+5=x(x+5)x+5−3x+5=x−3x+5\dfrac{x^2+5x-3}{x+5} = \dfrac{x(x+5)-3}{x+5} = \dfrac{x(x+5)}{x+5} - \dfrac{3}{x+5} = x - \dfrac{3}{x+5}
  4. 4a−4b+7a−b=4(a−b)+7a−b=4(a−b)a−b+7a−b=4+7a−b\dfrac{4a-4b+7}{a-b} = \dfrac{4(a-b)+7}{a-b} = \dfrac{4(a-b)}{a-b} + \dfrac{7}{a-b} = 4 + \dfrac{7}{a-b}

3.20. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу

Використовуємо той самий метод, що і в попередньому завданні, щоб виділити цілу частину з дробу.

  1. a−7a=aa−7a=1−7a\dfrac{a-7}{a} = \dfrac{a}{a} - \dfrac{7}{a} = 1 - \dfrac{7}{a}
  2. m2−m3+7m2=m2m2−m3m2+7m2=1−m+7m2\dfrac{m^2-m^3+7}{m^2} = \dfrac{m^2}{m^2} - \dfrac{m^3}{m^2} + \dfrac{7}{m^2} = 1-m+\dfrac{7}{m^2}
  3. y2+y+2y+1=y(y+1)+2y+1=y(y+1)y+1+2y+1=y+2y+1\dfrac{y^2+y+2}{y+1} = \dfrac{y(y+1)+2}{y+1} = \dfrac{y(y+1)}{y+1} + \dfrac{2}{y+1} = y + \dfrac{2}{y+1}
  4. 5p−5q−1p−q=5(p−q)−1p−q=5(p−q)p−q−1p−q=5−1p−q\dfrac{5p-5q-1}{p-q} = \dfrac{5(p-q)-1}{p-q} = \dfrac{5(p-q)}{p-q} - \dfrac{1}{p-q} = 5 - \dfrac{1}{p-q}

3.21. Подайте вираз у вигляді дробу

Для виконання дій з дробами, знаменники яких є протилежними виразами, необхідно звести їх до спільного знаменника. Важливо пам’ятати, що (a−b)2=(b−a)2(a-b)^2 = (b-a)^2, оскільки квадрат будь-якого виразу є невід’ємним. Однак для непарних степенів, наприклад (a−b)3=−(b−a)3(a-b)^3 = -(b-a)^3, знак змінюється.

  1. 7−4m(2−m)2−9−5m(m−2)2=7−4m(m−2)2−9−5m(m−2)2=7−4m−(9−5m)(m−2)2=7−4m−9+5m(m−2)2=m−2(m−2)2=1m−2\dfrac{7-4m}{(2-m)^2} - \dfrac{9-5m}{(m-2)^2} = \dfrac{7-4m}{(m-2)^2} - \dfrac{9-5m}{(m-2)^2} = \dfrac{7-4m-(9-5m)}{(m-2)^2} = \dfrac{7-4m-9+5m}{(m-2)^2} = \dfrac{m-2}{(m-2)^2} = \dfrac{1}{m-2}
  2. 12a(2−a)3+3a2+12(a−2)3=12a−(a−2)3+3a2+12(a−2)3=−(12a)+3a2+12(a−2)3=3a2−12a+12(a−2)3=3(a2−4a+4)(a−2)3=3(a−2)2(a−2)3=3a−2\dfrac{12a}{(2-a)^3} + \dfrac{3a^2+12}{(a-2)^3} = \dfrac{12a}{-(a-2)^3} + \dfrac{3a^2+12}{(a-2)^3} = \dfrac{-(12a) + 3a^2+12}{(a-2)^3} = \dfrac{3a^2-12a+12}{(a-2)^3} = \dfrac{3(a^2-4a+4)}{(a-2)^3} = \dfrac{3(a-2)^2}{(a-2)^3} = \dfrac{3}{a-2}
  3. m2−6n(m−2)(n−3)−2(m−3n)(2−m)(3−n)=m2−6n(m−2)(n−3)−2(m−3n)(−(m−2))(−(n−3))=m2−6n−2(m−3n)(m−2)(n−3)=m2−6n−2m+6n(m−2)(n−3)=m2−2m(m−2)(n−3)=m(m−2)(m−2)(n−3)=mn−3\dfrac{m^2-6n}{(m-2)(n-3)} - \dfrac{2(m-3n)}{(2-m)(3-n)} = \dfrac{m^2-6n}{(m-2)(n-3)} - \dfrac{2(m-3n)}{(-(m-2))(-(n-3))} = \dfrac{m^2-6n - 2(m-3n)}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m^2-6n-2m+6n}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m^2-2m}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m(m-2)}{(m-2)(n-3)} = \dfrac{m}{n-3}

3.22. Спростіть вираз

Застосовуємо ті самі правила, що й у попередньому завданні, щоб звести дроби до спільного знаменника, а потім спростити отриманий вираз.

  1. 16−7a(3−a)2−13−6a(a−3)2=16−7a(a−3)2−13−6a(a−3)2=16−7a−(13−6a)(a−3)2=16−7a−13+6a(a−3)2=3−a(a−3)2=−(a−3)(a−3)2=−1a−3\dfrac{16-7a}{(3-a)^2} - \dfrac{13-6a}{(a-3)^2} = \dfrac{16-7a}{(a-3)^2} - \dfrac{13-6a}{(a-3)^2} = \dfrac{16-7a-(13-6a)}{(a-3)^2} = \dfrac{16-7a-13+6a}{(a-3)^2} = \dfrac{3-a}{(a-3)^2} = \dfrac{-(a-3)}{(a-3)^2} = -\dfrac{1}{a-3}
  2. 15(2m−3)(3−m)3+5m2(m−3)3=15(2m−3)−(m−3)3+5m2(m−3)3=−15(2m−3)+5m2(m−3)3=−30m+45+5m2(m−3)3=5(m2−6m+9)(m−3)3=5(m−3)2(m−3)3=5m−3\dfrac{15(2m-3)}{(3-m)^3} + \dfrac{5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{15(2m-3)}{-(m-3)^3} + \dfrac{5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{-15(2m-3)+5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{-30m+45+5m^2}{(m-3)^3} = \dfrac{5(m^2-6m+9)}{(m-3)^3} = \dfrac{5(m-3)^2}{(m-3)^3} = \dfrac{5}{m-3}
  3. p2−9q(p−3)(q−4)−3(p−3q)(3−p)(4−q)=p2−9q(p−3)(q−4)−3(p−3q)(−(p−3))(−(q−4))=p2−9q−3(p−3q)(p−3)(q−4)=p2−9q−3p+9q(p−3)(q−4)=p(p−3)(p−3)(q−4)=pq−4\dfrac{p^2-9q}{(p-3)(q-4)} - \dfrac{3(p-3q)}{(3-p)(4-q)} = \dfrac{p^2-9q}{(p-3)(q-4)} - \dfrac{3(p-3q)}{(-(p-3))(-(q-4))} = \dfrac{p^2-9q-3(p-3q)}{(p-3)(q-4)} = \dfrac{p^2-9q-3p+9q}{(p-3)(q-4)} = \dfrac{p(p-3)}{(p-3)(q-4)} = \dfrac{p}{q-4}

Вправи для повторення

3.23. Подайте вираз у вигляді многочлена

Щоб подати вираз у вигляді многочлена, потрібно розкрити дужки. Спочатку підносимо до квадрата вираз у дужках за формулою (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, а потім множимо отриманий многочлен на інший многочлен у дужках.

  1. (a−1)(a+3)2(a-1)(a+3)^2

(a+3)2=a2+6a+9(a+3)^2 = a^2+6a+9

(a−1)(a2+6a+9)=a(a2+6a+9)−1(a2+6a+9)=a3+6a2+9a−a2−6a−9=a3+5a2+3a−9(a-1)(a^2+6a+9) = a(a^2+6a+9)-1(a^2+6a+9) = a^3+6a^2+9a-a^2-6a-9 = a^3+5a^2+3a-9

  1. (x−4)2(x+2)(x-4)^2(x+2)

(x−4)2=x2−8x+16(x-4)^2 = x^2-8x+16

(x2−8x+16)(x+2)=x(x2−8x+16)+2(x2−8x+16)=x3−8x2+16x+2x2−16x+32=x3−6x2+32(x^2-8x+16)(x+2) = x(x^2-8x+16) + 2(x^2-8x+16) = x^3-8x^2+16x + 2x^2-16x+32 = x^3-6x^2+32

3.24. Скоротіть дріб

x2+y2−z2−2xyx2−y2+z2+2xz\dfrac{x^2+y^2-z^2-2xy}{x^2-y^2+z^2+2xz}

Щоб скоротити дріб, потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники та скоротити однакові множники. Для цього згрупуємо доданки та застосуємо формули скороченого множення:

  • квадрат різниці (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
  • квадрат суми (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
  • різниця квадратів a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b).

Спочатку розкладемо на множники чисельник:

x2+y2−z2−2xy=(x2−2xy+y2)−z2=(x−y)2−z2=(x−y−z)(x−y+z)x^2+y^2-z^2-2xy = (x^2-2xy+y^2)-z^2 = (x-y)^2-z^2 = (x-y-z)(x-y+z)

Тепер розкладемо на множники знаменник:

x2−y2+z2+2xz=(x2+2xz+z2)−y2=(x+z)2−y2=(x+z−y)(x+z+y)x^2-y^2+z^2+2xz = (x^2+2xz+z^2)-y^2 = (x+z)^2-y^2 = (x+z-y)(x+z+y)

Підставимо отримані вирази у дріб і скоротимо:

(x−y−z)(x−y+z)(x−y+z)(x+y+z)=x−y−zx+y+z\dfrac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x-y+z)(x+y+z)} = \dfrac{x-y-z}{x+y+z}

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

3.25. Обчисліть

Щоб додавати або віднімати дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку звести їх до спільного знаменника. Спільний знаменник — це найменше спільне кратне (НСК) знаменників цих дробів.

  1. 17+514\dfrac{1}{7} + \dfrac{5}{14}

Спільний знаменник для 7 і 14 — це 14. Домножимо перший дріб на 2:

1⋅27⋅2+514=214+514=2+514=714=12\dfrac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2+5}{14} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}

  1. 512−316\dfrac{5}{12} - \dfrac{3}{16}

НСК для 12 і 16 — це 48. Домножимо перший дріб на 4, а другий — на 3:

5⋅412⋅4−3⋅316⋅3=2048−948=20−948=1148\dfrac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} - \dfrac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \dfrac{20}{48} - \dfrac{9}{48} = \dfrac{20-9}{48} = \dfrac{11}{48}

  1. 18−316+724\dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{16} + \dfrac{7}{24}

НСК для 8, 16 і 24 — це 48. Домножимо перший дріб на 6, другий — на 3, а третій — на 2:

1⋅68⋅6−3⋅316⋅3+7⋅224⋅2=648−948+1448=6−9+1448=1148\dfrac{1 \cdot 6}{8 \cdot 6} - \dfrac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} + \dfrac{7 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \dfrac{6}{48} - \dfrac{9}{48} + \dfrac{14}{48} = \dfrac{6-9+14}{48} = \dfrac{11}{48}

3.26. Подайте одночлен 15a3b715a^3b^7 у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює:

Щоб знайти другий одночлен, потрібно вихідний одночлен 15a3b715a^3b^7 поділити на заданий одночлен. При діленні степенів з однаковою основою їх показники віднімаються.

  1. 15a3b7=(3ab5)⋅(x)15a^3b^7 = (3ab^5) \cdot (x)

x=15a3b73ab5=5a3−1b7−5=5a2b2x = \dfrac{15a^3b^7}{3ab^5} = 5a^{3-1}b^{7-5} = 5a^2b^2

  1. 15a3b7=(−5a2b7)⋅(x)15a^3b^7 = (-5a^2b^7) \cdot (x)

x=15a3b7−5a2b7=−3a3−2b7−7=−3a1b0=−3ax = \dfrac{15a^3b^7}{-5a^2b^7} = -3a^{3-2}b^{7-7} = -3a^1b^0 = -3a

  1. 15a3b7=(−b6)⋅(x)15a^3b^7 = (-b^6) \cdot (x)

x=15a3b7−b6=−15a3b7−6=−15a3bx = \dfrac{15a^3b^7}{-b^6} = -15a^3b^{7-6} = -15a^3b

  1. 15a3b7=(15ab)⋅(x)15a^3b^7 = (15ab) \cdot (x)

x=15a3b715ab=a3−1b7−1=a2b6x = \dfrac{15a^3b^7}{15ab} = a^{3-1}b^{7-1} = a^2b^6

Життєва математика

3.27. 1) На території шкільного подвір’я росте дерево білої акації (робінія звичайна). Через 5 год після поливу вода по її стовбуру піднялася на висоту 7 м 20 см. Обчисліть швидкість переміщення води в стовбурі білої акації.

Переводимо висоту у метри:

7,м20,см=7,2,м7,\text{м}\\ 20,\text{см} = 7{,}2,\text{м}

Знаходимо швидкість переміщення води (шлях поділити на час):

v=Stv = \dfrac{S}{t}

S=7,2,мS = 7{,}2,\text{м}

t=5,годt = 5,\text{год}

Виконуємо розрахунок:

v=7,25v = \dfrac{7{,}2}{5}

v=1,44,м/годv = 1{,}44,\text{м/год}

Відповідь: Швидкістьпереміщенняводи=7,25=1,44,м/годШвидкість переміщення води = \dfrac{7{,}2}{5} = 1{,}44,\text{м/год}

2) Практична діяльність. Користь білої акації (робінії звичайної) в житті людини та господарстві

  1. Медоносна рослина — акація дає багато нектару, з якого бджоли виробляють високоякісний, прозорий мед.
  2. Лікарські властивості — препарати з квітів акації використовують у народній медицині при кашлі, хворобах нирок, як заспокійливий засіб.
  3. Озеленення та декор — робінія гарно квітне і використовується для озеленення міст і парків.
  4. Деревина — акація має міцну деревину, яку застосовують для виробництва меблів, парканів, шпалер, в будівництві.
  5. Зміцнення ґрунтів — коренева система робінії закріплює ґрунти від ерозії, використовується для озеленення схилів та укріплення берегів.
  6. Кормова рослина — листя та молоді гілки використовуються як корм для худоби.

Цікаві задачі – поміркуй одначе

3.28. (Національна олімпіада Великої Британії, 1968 р.) Нехай a1,a2,…,a7a_1, a_2, …, a_7 – цілі числа, а b1,b2,…,b7b_1, b_2, …, b_7 – ті самі числа в іншому порядку. Доведіть, що число (a1−b1)(a2−b2)…(a7−b7)(a_1-b_1)(a_2-b_2)…(a_7-b_7) є парним.

За умовою задачі, набір чисел {b₁, b₂, …, b₇} є тим самим набором чисел, що і {a₁, a₂, …, a₇}, просто в іншому порядку. Тому суми елементів цих наборів рівні:

(a₁ + a₂ + … + a₇) = (b₁ + b₂ + … + b₇)

Отже, наша сума S дорівнює:

S = 0

Число 0 є парним.

Висновок: Припущення, що добуток є непарним, хибне. Отже, добуток (a₁ − b₁)(a₂ − b₂) … (a₇ − b₇) є парним числом, що й потрібно було довести.

Теги статті:

#Відповіді алгебра 8 клас Істер
Д

До уроку

Освітній портал «До уроку»

← Усі статті блогу↑ Вгору