Повторюємо алгебру за 7 клас – цілі вирази (31-44)

Назад до змісту

31. Знайдіть значення виразу, використовуючи властивості степенів:

1. 3⁹ : 81 : 27

Виражу 81 і 27 через степені 3:
81 = 3⁴, 27 = 3³
3⁹ : 81 : 27 = 3⁹ : 3⁴ : 3³ = 3⁹⁻⁴⁻³ = 3² = 9

2. (1000 · 10⁷) / (10 · 100⁴)

Виражу все через степені 10:
1000 = 10³, 100⁴ = (10²)⁴ = 10⁸
(1000 · 10⁷) / (10 · 100⁴) = (10³ · 10⁷) / (10¹ · 10⁸) = 10³⁺⁷⁻¹⁻⁸ = 10¹ = 10

3. $0,25^7 · 47^7$

У цьому виразі основи степенів різні, але показники однакові. Тому ми можемо скористатися властивістю множення степенів з однаковими показниками: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,25^7 \cdot 4^7 = (0,25 \cdot 4)^7 = 1^7 = 1$

4. 16⁴ / 8⁵

Виражу все через степені 2:
16 = 2⁴, 8 = 2³
16⁴ / 8⁵ = (2⁴)⁴ / (2³)⁵ = 2¹⁶ / 2¹⁵ = 2¹⁶⁻¹⁵ = 2¹ = 2

32. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1. (x² – 3x)(x + 1) – x²(x – 2)

Розкрию перші дужки за формулою множення двочленів:
(x² – 3x)(x + 1) = x³ + x² – 3x² – 3x = x³ – 2x² – 3x

Розкрию другі дужки:
x²(x – 2) = x³ – 2x²

(x² – 3x)(x + 1) – x²(x – 2) = x³ – 2x² – 3x – (x³ – 2x²) = x³ – 2x² – 3x – x³ + 2x² = -3x

Відповідь: -3x

2. (2a – 3)² – (4a – 1)(a + 3)

Розкрию перші дужки за формулою квадрата різниці:
(2a – 3)² = (2a)² – 2·2a·3 + 3² = 4a² – 12a + 9

Розкрию другі дужки за формулою множення двочленів:
(4a – 1)(a + 3) = 4a² + 12a – a – 3 = 4a² + 11a – 3

(2a – 3)² – (4a – 1)(a + 3) = 4a² – 12a + 9 – (4a² + 11a – 3) = 4a² – 12a + 9 – 4a² – 11a + 3 = -23a + 12

Відповідь: -23a + 12

33. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1. m²(m + 3) – (m² + 4m)(m – 1)

Розкрию перші дужки:
m²(m + 3) = m³ + 3m²

Розкрию другі дужки:
(m² + 4m)(m – 1) = m³ – m² + 4m² – 4m = m³ + 3m² – 4m

m²(m + 3) – (m² + 4m)(m – 1) = m³ + 3m² – (m³ + 3m² – 4m) = m³ + 3m² – m³ – 3m² + 4m = 4m

Відповідь: 4m

2. (9x – 1)(x + 3) – (3x – 2)²

Розкрию перші дужки за формулою множення двочленів:
(9x – 1)(x + 3) = 9x² + 27x – x – 3 = 9x² + 26x – 3

Розкрию другі дужки за формулою квадрата різниці:
(3x – 2)² = (3x)² – 2·3x·2 + 2² = 9x² – 12x + 4

(9x – 1)(x + 3) – (3x – 2)² = 9x² + 26x – 3 – (9x² – 12x + 4) = 9x² + 26x – 3 – 9x² + 12x – 4 = 38x – 7

Відповідь: 38x – 7

34. Спростіть вираз (9x – 1)(4x + 2) – (6x – 7)(6x + 7) та знайдіть його значення, якщо x = -3

Розкрию перші дужки за формулою множення двочленів:
(9x – 1)(4x + 2) = 36x² + 18x – 4x – 2 = 36x² + 14x – 2

Розкрию другі дужки за формулою різниці квадратів:
(6x – 7)(6x + 7) = (6x)² – 7² = 36x² – 49

(9x – 1)(4x + 2) – (6x – 7)(6x + 7) = 36x² + 14x – 2 – (36x² – 49) = 36x² + 14x – 2 – 36x² + 49 = 14x + 47

Підставлю x = -3:
14·(-3) + 47 = -42 + 47 = 5

Відтак, дізнаємося, скільки разів чоловіча збірна України із шахів ставала призером командного чемпіонату світу: 5 разів.

Відповідь: 14x + 47; при x = -3 значення виразу дорівнює 5.

35. Спростіть вираз (4a – 3)(4a + 3) – (8a – 7)(2a – 1) 

Спростіть вираз і знайдіть значення при $a=1\\ \dfrac{1}{11}$
$(4a-3)(4a+3)-(8a-7)(2a-1)$

$(4a-3)(4a+3)=16a^2-9$
$(8a-7)(2a-1)=16a^2-22a+7$
$(16a^2-9)-(16a^2-22a+7)=22a-16$

Підставляю $a=\dfrac{12}{11}$:

$22\cdot \dfrac{12}{11}-16=24-16=8$

36. Розкладіть многочлен на множники:

1) Розкладіть: $6a^3-2a^2-12a$

$6a^3-2a^2-12a=2a(3a^2-a-6)$

$3a^2-a-6=3a^2+5a-6a-6=a(3a+5)-2(3a+5)=(3a+5)(a-2)$

2) Розкладіть: $x^5-3x^3-2x^2+6$

$x^5-3x^3-2x^2+6=x^3(x^2-3)-2(x^2-3)$

$x^3(x^2-3)-2(x^2-3)=(x^2-3)(x^3-2)$

3) Розкладіть: $-4x^2+20x-25$

$-4x^2+20x-25=-(4x^2-20x+25)$

$4x^2-20x+25=(2x-5)^2$

4) Розкладіть: $0{,}36p^8-c^{10}x^{12}$

$0{,}36p^8=(0{,}6p^4)^2$, а $c^{10}x^{12}=(c^5x^6)^2$

$0{,}36p^8-c^{10}x^{12}=(0{,}6p^4)^2-(c^5x^6)^2=(0{,}6p^4-c^5x^6)(0{,}6p^4+c^5x^6)$

5) Розкладіть: $64m^3c^9+t^{30}$

$64m^3c^9=(4mc^3)^3$, $t^{30}=(t^{10})^3$

$64m^3c^9+t^{30}=(4mc^3)^3+(t^{10})^3=(4mc^3+t^{10})(16m^2c^6-4mc^3t^{10}+t^{20})$

6) Розкладіть: $c^2+2cd+d^2-25$

$c^2+2cd+d^2=(c+d)^2$

$(c+d)^2-25=(c+d-5)(c+d+5)$

37. Розкладіть многочлен на множники:

1) Розкладіть: $8p^4 - 4p^5 + 12p$

Спочатку знайдемо найбільший спільний дільник для всіх членів многочлена. Для коефіцієнтів 8, -4 та 12 це 4, а для змінних — $p$. Винесемо спільний множник $4p$ за дужки.

$8p^4-4p^5 + 12p = 4p(2p^3-p^4 + 3)$

2) Розкладіть: $a^5-2a^2-3a^3 + 6$

Застосуємо метод групування. Згрупуємо перший член з третім, а другий з четвертим. Потім винесемо спільний множник з кожної групи, а далі — спільний для обох груп двочлен.

$a^5-2a^2-3a^3 + 6 = (a^5-3a^3) + (-2a^2 + 6) = a^3(a^2-3)-2(a^2-3) = (a^2-3)(a^3-2)$

3) Розкладіть: $-9m^2 - 6m - 1$

Спочатку винесемо знак мінус за дужки, щоб отримати вираз з додатним першим коефіцієнтом. Вираз у дужках є формулою повного квадрата суми $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$-9m^2 - 6m - 1 = -(9m^2 + 6m + 1) = -((3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot 1 + 1^2) = -(3m + 1)^2$

4) Розкладіть: $0,49m^4 - t^{16}p^2$

Цей вираз є різницею квадратів, яку можна розкласти за формулою $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Потрібно представити кожен член у вигляді квадрата.

$0,49m^4 - t^{16}p^2 = (0,7m^2)^2 - (t^8p)^2 = (0,7m^2 - t^8p)(0,7m^2 + t^8p)$

5) Розкладіть: $125a^6 - b^9$

Цей вираз є різницею кубів, яку розкладаємо за формулою $a^3-b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Представимо кожен член у вигляді куба.

$125a^6-b^9 = (5a^2)^3-(b^3)^3 = (5a^2-b^3)((5a^2)^2 + 5a^2b^3 + (b^3)^2) = (5a^2-b^3)(25a^4 + 5a^2b^3 + b^6)$

6) Розкладіть: $a^2 - 2ax + x^2 - 36$

Згрупуємо перші три члени, які утворюють повний квадрат різниці $(a-x)^2$.

Після цього застосуємо формулу різниці квадратів.

$a^2-2ax + x^2-36 = (a^2-2ax + x^2)-36 = (a-x)^2-6^2 = (a-x-6)(a-x + 6)$

38. Розв’яжіть рівняння:

1) 4x² − x = 0

$x(4x-1)=0 \Rightarrow x=0$ або $x=\frac14$

38.2) 25x² + 10x + 1 = 0

$(5x+1)^2=0 \Rightarrow x=-\dfrac15$

38.3) (x − 1)² − 4 = 0

$(x-1)^2=4 \Rightarrow x=1\pm2 \Rightarrow x=3$ або $x=-1$

39. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x² + x = 0

$x(2x+1)=0 \Rightarrow x=0$ або $x=-\dfrac12$

39.2) 36x² − 12x + 1 = 0

$(6x-1)^2=0 \Rightarrow x=\dfrac16$

39.3) (x + 2)² − 9 = 0

$(x+2)²-9=0$
$(x+2)²=9$
$x+2=3$ або $x+2=-3$
$x_1=3-2$ або $x_2=-3-2$
$x_1=1$ або $x_2=-5$

40. Доведіть, що якщо n – натуральне число, то значення виразу (2n – 3)(5n – 1) – 2n(5n – 12) + n є непарним числом.

$(2n-3)(5n-1)-2n(5n-12)+n=0n²-2n-15n+3-10n²+24n+n=8n+3$

Вираз $8n$ завжди парний для будь-якого натурального $n$, бо є добутком на парне число. Сума парного числа $8n$ і непарного числа 3 завжди є непарним числом.

41. Доведіть, що якщо m – натуральне число, то значення виразу (3m + 2)(4m – 1) – 2m(6m – 7) + m є парним числом.

$(3m+2)(4m-1)-2m(6m-7)+m=12m²-3m+8m-2-12m²+14m+m=20m-2=2(10m-1)$

Оскільки один із множників дорівнює 2, то вираз завжди є парним числом.

42. Виконайте множення (m² – 2m + 3)(m² + m – 5)

$(m²-2m+3)(m²+m-5)=m⁴+m³-5m²-2m³-2m²+10m+3m²+3m-15=m⁴-m³-4m²+13m-15$

43. Відомо, що $2xy² = 5$. Знайдіть значення виразу:

$xy²=\dfrac{5}{2}=2.5$
$3xy²=3 \cdot \dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{2}=7.5$
$-4x²y⁴=-4(xy²)²=-4 \cdot (\dfrac{5}{2})²=-4 \cdot \dfrac{25}{4}=-25$
$8x³y⁶=8(xy²)³=8 \cdot (\dfrac{5}{2})³=8 \cdot \dfrac{125}{8}=125$

44. Відомо, що $5ab² = 7$. Знайдіть значення виразу:

$ab²=\dfrac{7}{5}=1.4$
$4ab²=4 \cdot \dfrac{7}{5}=\dfrac{28}{5}=5.6$
$-25a²b⁴=-25(ab²)²=-25 \cdot (\dfrac{7}{5})²=-25 \cdot \dfrac{49}{25}=-49$
$125a³b⁶=125(ab²)³=125 \cdot (\dfrac{7}{5})³=125 \cdot \dfrac{343}{125}=343$

Назад до 18-30

Далі до 45-60