Назад до змісту
1. Укажіть вираз, що не є цілим раціональним виразом.
Вираз не є цілим раціональним, якщо він містить ділення на змінну. \text{Вираз не є цілим раціональним, якщо він містить ділення на змінну.} Вираз не є цілим раціональним , якщо він містить ділення на змінну .
Вираз В містить знаменник m − 3 , що є діленням на змінну. \text{Вираз В містить знаменник } m-3, \text{ що є діленням на змінну.} Вираз В містить знаменник m − 3 , що є діленням на змінну .
Відповідь: В. \text{Відповідь: В.} Відповідь : В .
2. Скоротіть дріб
5 a x 5 x y = 5 a x 5 x y = a y \dfrac{5ax}{5xy} = \dfrac{\cancel{5}a\cancel{x}}{\cancel{5}\cancel{x}y} = \dfrac{a}{y} 5 x y 5 a x = 5 x y 5 a x = y a
Відповідь: Б. \text{Відповідь: Б.} Відповідь : Б .
3. Виконайте дію
m 3 − 5 b = m ⋅ b 3 b − 5 ⋅ 3 3 b = m b − 15 3 b \dfrac{m}{3}-\dfrac{5}{b} = \dfrac{m \cdot b}{3b}-\dfrac{5 \cdot 3}{3b} = \dfrac{mb-15}{3b} 3 m − b 5 = 3 b m ⋅ b − 3 b 5 ⋅ 3 = 3 b mb − 15
Відповідь: Г. \text{Відповідь: Г.} Відповідь : Г .
4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі
a − 3 a + 2 \dfrac{a-3}{a+2} a + 2 a − 3
Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому: \text{Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, тому:} Знаменник дробу не може дорівнювати нулю , тому :
a + 2 ≠ 0 a+2 \ne 0 a + 2 = 0
a ≠ − 2 a \ne -2 a = − 2
Відповідь: В. a-будь-яке число, крім -2 \text{Відповідь: В. a-будь-яке число, крім -2} Відповідь : В . a- будь - яке число , крім -2
5. Скоротіть дріб
2 p + 4 p 2 − 4 = 2 ( p + 2 ) ( p − 2 ) ( p + 2 ) = 2 p − 2 \dfrac{2p+4}{p^2-4} = \dfrac{2(p+2)}{(p-2)(p+2)} = \dfrac{2}{p-2} p 2 − 4 2 p + 4 = ( p − 2 ) ( p + 2 ) 2 ( p + 2 ) = p − 2 2
Відповідь: А. \text{Відповідь: А.} Відповідь : А .
6. Виконайте дію
4 m m − a + 4 a a − m = 4 m m − a − 4 a m − a = 4 m − 4 a m − a = 4 ( m − a ) m − a = 4 \dfrac{4m}{m-a} + \dfrac{4a}{a-m} = \dfrac{4m}{m-a}-\dfrac{4a}{m-a} = \dfrac{4m-4a}{m-a} = \dfrac{4(m-a)}{m-a} = 4 m − a 4 m + a − m 4 a = m − a 4 m − m − a 4 a = m − a 4 m − 4 a = m − a 4 ( m − a ) = 4
Відповідь: Б. \text{Відповідь: Б.} Відповідь : Б .
7. Для яких значень x дріб ( 3 + x ) ( 1 − x ) 5 x − 5 \dfrac{(3+x)(1-x)}{5x-5} 5 x − 5 ( 3 + x ) ( 1 − x )
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні. \text{Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні.} Дріб дорівнює нулю , коли його чисельник дорівнює нулю , а знаменник - ні .
1) Знайдемо, коли чисельник дорівнює нулю: \text{1) Знайдемо, коли чисельник дорівнює нулю:} 1) Знайдемо , коли чисельник дорівнює нулю :
( 3 + x ) ( 1 − x ) = 0 (3+x)(1-x) = 0 ( 3 + x ) ( 1 − x ) = 0
3 + x = 0 або 1 − x = 0 3+x = 0 \quad \text{або} \quad 1-x = 0 3 + x = 0 або 1 − x = 0
x = − 3 або x = 1 x = -3 \quad \text{або} \quad x = 1 x = − 3 або x = 1
2) Знайдемо, коли знаменник не дорівнює нулю (ОДЗ): \text{2) Знайдемо, коли знаменник не дорівнює нулю (ОДЗ):} 2) Знайдемо , коли знаменник не дорівнює нулю ( ОДЗ ):
5 x − 5 ≠ 0 5x-5 \ne 0 5 x − 5 = 0
5 x ≠ 5 5x \ne 5 5 x = 5
x ≠ 1 x \ne 1 x = 1
3) Зі знайдених значень x , що перетворюють чисельник в нуль, виключаємо те, яке не входить в ОДЗ. \text{3) Зі знайдених значень } x, \text{ що перетворюють чисельник в нуль, виключаємо те, яке не входить в ОДЗ.} 3) Зі знайдених значень x , що перетворюють чисельник в нуль , виключаємо те , яке не входить в ОДЗ .
Отже, єдиним значенням є x = − 3. \text{Отже, єдиним значенням є } x = -3. Отже , єдиним значенням є x = − 3.
Відповідь: Б. \text{Відповідь: Б.} Відповідь : Б .
8. Спростіть вираз
2 m m − 3 + m m + 3 + 2 m 2 9 − m 2 = 2 m m − 3 + m m + 3 − 2 m 2 m 2 − 9 \dfrac{2m}{m-3} + \dfrac{m}{m+3} + \dfrac{2m^2}{9-m^2} = \dfrac{2m}{m-3} + \dfrac{m}{m+3}-\dfrac{2m^2}{m^2-9} m − 3 2 m + m + 3 m + 9 − m 2 2 m 2 = m − 3 2 m + m + 3 m − m 2 − 9 2 m 2
= 2 m ( m + 3 ) + m ( m − 3 ) − 2 m 2 ( m − 3 ) ( m + 3 ) = \dfrac{2m(m+3) + m(m-3)-2m^2}{(m-3)(m+3)} = ( m − 3 ) ( m + 3 ) 2 m ( m + 3 ) + m ( m − 3 ) − 2 m 2
= 2 m 2 + 6 m + m 2 − 3 m − 2 m 2 m 2 − 9 = \dfrac{2m^2+6m+m^2-3m-2m^2}{m^2-9} = m 2 − 9 2 m 2 + 6 m + m 2 − 3 m − 2 m 2
= m 2 + 3 m m 2 − 9 = \dfrac{m^2+3m}{m^2-9} = m 2 − 9 m 2 + 3 m
= m ( m + 3 ) ( m − 3 ) ( m + 3 ) = \dfrac{m(m+3)}{(m-3)(m+3)} = ( m − 3 ) ( m + 3 ) m ( m + 3 )
= m m − 3 = \dfrac{m}{m-3} = m − 3 m
Відповідь: А. \text{Відповідь: А.} Відповідь : А .
9. Подайте дріб m 3 − m 4 + 3 m 3 \dfrac{m^3-m^4+3}{m^3} m 3 m 3 − m 4 + 3
m 3 − m 4 + 3 m 3 = m 3 m 3 − m 4 m 3 + 3 m 3 \dfrac{m^3-m^4+3}{m^3} = \dfrac{m^3}{m^3}-\dfrac{m^4}{m^3} + \dfrac{3}{m^3} m 3 m 3 − m 4 + 3 = m 3 m 3 − m 3 m 4 + m 3 3
= 1 − m + 3 m 3 = 1-m + \dfrac{3}{m^3} = 1 − m + m 3 3
Відповідь: В. \text{Відповідь: В.} Відповідь : В .
10. Для яких значень x вираз x 2 − 9 ∣ x + 1 ∣ − 4 \dfrac{x^2-9}{|x + 1|-4} ∣ x + 1∣ − 4 x 2 − 9
Вираз має зміст, коли його знаменник не дорівнює нулю. \text{Вираз має зміст, коли його знаменник не дорівнює нулю.} Вираз має зміст , коли його знаменник не дорівнює нулю .
∣ x + 1 ∣ − 4 ≠ 0 |x + 1|-4 \ne 0 ∣ x + 1∣ − 4 = 0
∣ x + 1 ∣ ≠ 4 |x + 1| \ne 4 ∣ x + 1∣ = 4
Це означає, що: \text{Це означає, що:} Це означає , що :
x + 1 ≠ 4 і x + 1 ≠ − 4 x + 1 \ne 4 \quad \text{і} \quad x + 1 \ne -4 x + 1 = 4 і x + 1 = − 4
x ≠ 3 і x ≠ − 5 x \ne 3 \quad \text{і} \quad x \ne -5 x = 3 і x = − 5
Відповідь: Г. x-будь-яке число, крім 3 і -5 \text{Відповідь: Г. x-будь-яке число, крім 3 і -5} Відповідь : Г . x- будь - яке число , крім 3 і -5
11. Для яких значень x дріб x 2 − 9 ∣ x + 1 ∣ − 4 \dfrac{x^2-9}{|x + 1|-4} ∣ x + 1∣ − 4 x 2 − 9
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні. \text{Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник-ні.} Дріб дорівнює нулю , коли його чисельник дорівнює нулю , а знаменник - ні .
1) Чисельник дорівнює нулю: \text{1) Чисельник дорівнює нулю:} 1) Чисельник дорівнює нулю :
x 2 − 9 = 0 x^2-9 = 0 x 2 − 9 = 0
( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0 (x-3)(x+3) = 0 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0
x = 3 або x = − 3 x = 3 \quad \text{або} \quad x = -3 x = 3 або x = − 3
2) З попереднього завдання ми знаємо, що при x = 3 знаменник дорівнює нулю, тому це значення не підходить. \text{2) З попереднього завдання ми знаємо, що при } x = 3 \text{ знаменник дорівнює нулю, тому це значення не підходить.} 2) З попереднього завдання ми знаємо , що при x = 3 знаменник дорівнює нулю , тому це значення не підходить .
3) Перевіримо x = − 3 : \text{3) Перевіримо } x = -3: 3) Перевіримо x = − 3 :
Чисельник: ( − 3 ) 2 − 9 = 9 − 9 = 0. \text{Чисельник: } (-3)^2-9 = 9-9 = 0. Чисельник : ( − 3 ) 2 − 9 = 9 − 9 = 0.
Знаменник: ∣ − 3 + 1 ∣ − 4 = ∣ − 2 ∣ − 4 = 2 − 4 = − 2 ≠ 0. \text{Знаменник: } |-3 + 1|-4 = |-2|-4 = 2-4 = -2 \ne 0. Знаменник : ∣ − 3 + 1∣ − 4 = ∣ − 2∣ − 4 = 2 − 4 = − 2 = 0.
Отже, дріб дорівнює нулю при x = − 3. \text{Отже, дріб дорівнює нулю при } x = -3. Отже , дріб дорівнює нулю при x = − 3.
Відповідь: В. \text{Відповідь: В.} Відповідь : В .
12. Знайдіть значення виразу 2 ( x − 4 y ) ( x − 2 ) ( y − 1 ) − x 2 − 8 y ( 2 − x ) ( 1 − y ) \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)} ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 ( x − 4 y ) − ( 2 − x ) ( 1 − y ) x 2 − 8 y x = 13 , y = 0.99 x = 13, y = 0.99 x = 13 , y = 0.99
2 ( x − 4 y ) ( x − 2 ) ( y − 1 ) − x 2 − 8 y ( 2 − x ) ( 1 − y ) = 2 ( x − 4 y ) ( x − 2 ) ( y − 1 ) − x 2 − 8 y − ( x − 2 ) ⋅ − ( y − 1 ) \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{(2-x)(1-y)} = \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{-(x-2) \cdot -(y-1)} ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 ( x − 4 y ) − ( 2 − x ) ( 1 − y ) x 2 − 8 y = ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 ( x − 4 y ) − − ( x − 2 ) ⋅ − ( y − 1 ) x 2 − 8 y
= 2 ( x − 4 y ) ( x − 2 ) ( y − 1 ) − x 2 − 8 y ( x − 2 ) ( y − 1 ) = \dfrac{2(x-4y)}{(x-2)(y-1)}-\dfrac{x^2-8y}{(x-2)(y-1)} = ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 ( x − 4 y ) − ( x − 2 ) ( y − 1 ) x 2 − 8 y
= 2 ( x − 4 y ) − ( x 2 − 8 y ) ( x − 2 ) ( y − 1 ) = \dfrac{2(x-4y)-(x^2-8y)}{(x-2)(y-1)} = ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 ( x − 4 y ) − ( x 2 − 8 y )
= 2 x − 8 y − x 2 + 8 y ( x − 2 ) ( y − 1 ) = \dfrac{2x-8y-x^2+8y}{(x-2)(y-1)} = ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 x − 8 y − x 2 + 8 y
= 2 x − x 2 ( x − 2 ) ( y − 1 ) = \dfrac{2x-x^2}{(x-2)(y-1)} = ( x − 2 ) ( y − 1 ) 2 x − x 2
= − x ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( y − 1 ) = \dfrac{-x(x-2)}{(x-2)(y-1)} = ( x − 2 ) ( y − 1 ) − x ( x − 2 )
= − x y − 1 = \dfrac{-x}{y-1} = y − 1 − x
Підставимо значення x = 13 та y = 0.99 : \text{Підставимо значення } x=13 \text{ та } y=0.99: Підставимо значення x = 13 та y = 0.99 :
− 13 0.99 − 1 = − 13 − 0.01 = 1300 \dfrac{-13}{0.99-1} = \dfrac{-13}{-0.01} = 1300 0.99 − 1 − 13 = − 0.01 − 13 = 1300
Відповідь: А. \text{Відповідь: А.} Відповідь : А .
13. Установіть відповідність між виразом (1-3) та його значенням (А-Г), якщо x = 2,5.
1.
x 3 + 8 x 2 − 2 x + 4 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) x 2 − 2 x + 4 = x + 2 \dfrac{x^3 + 8}{x^2-2x + 4} = \dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} = x+2 x 2 − 2 x + 4 x 3 + 8 = x 2 − 2 x + 4 ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 ) = x + 2
При x = 2.5 : 2.5 + 2 = 4.5 \text{При } x = 2.5: \quad 2.5 + 2 = 4.5 При x = 2.5 : 2.5 + 2 = 4.5
Відповідність: 1-Б \text{Відповідність: 1-Б} Відповідність : 1- Б
2.
4 x x − 2 + 8 2 − x = 4 x x − 2 − 8 x − 2 = 4 x − 8 x − 2 = 4 ( x − 2 ) x − 2 = 4 \dfrac{4x}{x-2} + \dfrac{8}{2-x} = \dfrac{4x}{x-2}-\dfrac{8}{x-2} = \dfrac{4x-8}{x-2} = \dfrac{4(x-2)}{x-2} = 4 x − 2 4 x + 2 − x 8 = x − 2 4 x − x − 2 8 = x − 2 4 x − 8 = x − 2 4 ( x − 2 ) = 4
Відповідність: 2-А \text{Відповідність: 2-А} Відповідність : 2- А
3.
100 10 x − x 2 + x x − 10 = 100 x ( 10 − x ) − x 10 − x = 100 − x 2 x ( 10 − x ) \dfrac{100}{10x-x^2} + \dfrac{x}{x-10} = \dfrac{100}{x(10-x)}-\dfrac{x}{10-x} = \dfrac{100-x^2}{x(10-x)} 10 x − x 2 100 + x − 10 x = x ( 10 − x ) 100 − 10 − x x = x ( 10 − x ) 100 − x 2
= ( 10 − x ) ( 10 + x ) x ( 10 − x ) = 10 + x x = \dfrac{(10-x)(10+x)}{x(10-x)} = \dfrac{10+x}{x} = x ( 10 − x ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) = x 10 + x
При x = 2.5 : 10 + 2.5 2.5 = 12.5 2.5 = 5 \text{При } x = 2.5: \quad \dfrac{10+2.5}{2.5} = \dfrac{12.5}{2.5} = 5 При x = 2.5 : 2.5 10 + 2.5 = 2.5 12.5 = 5
Відповідність: 3-В \text{Відповідність: 3-В} Відповідність : 3- В