§4. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками (4.1-4.52)

Назад до змісту

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

4.1. (Усно.) Знайдіть спільний знаменник дробів:

Для дробів $\dfrac{a}{3}$ і $\dfrac{b}{6}$ спільним знаменником є найменше спільне кратне чисел 3 і 6, тобто 6.
Для дробів $\dfrac{x}{12}$ і $\dfrac{y}{8}$ спільним знаменником є найменше спільне кратне чисел 12 і 8, тобто 24.
Для дробів $\dfrac{a}{x}$ і $\dfrac{b}{y}$ спільним знаменником є добуток їх знаменників, тобто $xy$ .
Для дробів $\dfrac{c}{m}$ і $\dfrac{x}{3}$ спільним знаменником є добуток їх знаменників, тобто $3m$ .

4.2. Виконайте дію:

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника 6.

$\dfrac{m}{2}-\dfrac{y}{3} = \dfrac{3 \cdot m}{6}-\dfrac{2 \cdot y}{6} = \dfrac{3m-2y}{6}$

Щоб додати дроби, зводимо їх до спільного знаменника 8.

$\dfrac{a}{4} + \dfrac{x}{8} = \dfrac{2 \cdot a}{8} + \dfrac{x}{8} = \dfrac{2a+x}{8}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $xy$ .

$\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x} = \dfrac{x \cdot x}{xy}-\dfrac{y \cdot y}{xy} = \dfrac{x^2-y^2}{xy}$

Щоб додати дроби, зводимо їх до спільного знаменника $3c$ .

$\dfrac{2}{c} + \dfrac{k}{3} = \dfrac{2 \cdot 3}{3c} + \dfrac{k \cdot c}{3c} = \dfrac{6+kc}{3c}$

4.3. Виконайте дію:

Щоб додати дроби, зводимо їх до спільного знаменника 20.

$\dfrac{x}{5} + \dfrac{a}{4} = \dfrac{4 \cdot x}{20} + \dfrac{5 \cdot a}{20} = \dfrac{4x+5a}{20}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника 6.

$\dfrac{m}{6}-\dfrac{n}{3} = \dfrac{m}{6}-\dfrac{2 \cdot n}{6} = \dfrac{m-2n}{6}$

Щоб додати дроби, зводимо їх до спільного знаменника $ab$ .

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \cdot a}{ab} + \dfrac{b \cdot b}{ab} = \dfrac{a^2+b^2}{ab}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $5p$ .

$\dfrac{t}{5}-\dfrac{4}{p} = \dfrac{t \cdot p}{5p}-\dfrac{4 \cdot 5}{5p} = \dfrac{tp-20}{5p}$

4.4. Подайте у вигляді дробу:

Спільний знаменник для $5a$ і $2a$ це $10a$ .

$\dfrac{3}{5a}-\dfrac{1}{2a} = \dfrac{3 \cdot 2}{10a}-\dfrac{1 \cdot 5}{10a} = \dfrac{6-5}{10a} = \dfrac{1}{10a}$

Спільний знаменник для $4b$ і $5b$ це $20b$ .

$\dfrac{a}{4b} + \dfrac{7a}{5b} = \dfrac{a \cdot 5}{20b} + \dfrac{7a \cdot 4}{20b} = \dfrac{5a+28a}{20b} = \dfrac{33a}{20b}$

Спільний знаменник для $9b$ і $18b$ це $18b$ .

$\dfrac{2a^2}{9b} + \dfrac{5a^2}{18b} = \dfrac{2a^2 \cdot 2}{18b} + \dfrac{5a^2}{18b} = \dfrac{4a^2+5a^2}{18b} = \dfrac{9a^2}{18b} = \dfrac{a^2}{2b}$

Спільний знаменник для $12n^2$ і $18n^2$ це $36n^2$ .

$\dfrac{7m}{12n^2}-\dfrac{m}{18n^2} = \dfrac{7m \cdot 3}{36n^2}-\dfrac{m \cdot 2}{36n^2} = \dfrac{21m-2m}{36n^2} = \dfrac{19m}{36n^2}$

4.5. Виконайте дію:

Спільний знаменник для $4m$ і $5m$ це $20m$ . Домножуємо перший дріб на 5, а другий на 4.

$\dfrac{3}{4m} + \dfrac{2}{5m} = \dfrac{3 \cdot 5}{20m} + \dfrac{2 \cdot 4}{20m} = \dfrac{15+8}{20m} = \dfrac{23}{20m}$

Спільний знаменник для $6y$ і $8y$ це $24y$ . Домножуємо перший дріб на 4, а другий на 3.

$\dfrac{x}{6y}-\dfrac{3x}{8y} = \dfrac{x \cdot 4}{24y}-\dfrac{3x \cdot 3}{24y} = \dfrac{4x-9x}{24y} = \dfrac{-5x}{24y}$

Спільний знаменник для $9m^2$ і $12m^2$ це $36m^2$ . Домножуємо перший дріб на 4, а другий на 3.

$\dfrac{4a}{9m^2} + \dfrac{5a}{12m^2} = \dfrac{4a \cdot 4}{36m^2} + \dfrac{5a \cdot 3}{36m^2} = \dfrac{16a+15a}{36m^2} = \dfrac{31a}{36m^2}$

Спільний знаменник для $15y$ і $10y$ це $30y$ . Домножуємо перший дріб на 2, а другий на 3, і скорочуємо.

$\dfrac{4x^2}{15y}-\dfrac{x^2}{10y} = \dfrac{4x^2 \cdot 2}{30y}-\dfrac{x^2 \cdot 3}{30y} = \dfrac{8x^2-3x^2}{30y} = \dfrac{5x^2}{30y} = \dfrac{x^2}{6y}$

4.6. Перетворіть на дріб вираз:

Спільний знаменник 3 і 5 це 15.

$\dfrac{2x}{3} + \dfrac{x-4}{5} = \dfrac{5 \cdot 2x}{15} + \dfrac{3 \cdot (x-4)}{15} = \dfrac{10x+3x-12}{15} = \dfrac{13x-12}{15}$

Спільний знаменник 10 і 5 це 10.

$\dfrac{4m-2n}{10}-\dfrac{m-n}{5} = \dfrac{4m-2n}{10}-\dfrac{2(m-n)}{10} = \dfrac{4m-2n-2m+2n}{10} = \dfrac{2m}{10} = \dfrac{m}{5}$

Спільний знаменник $4a$ і $6a$ це $12a$ .

$\dfrac{a+2}{4a}-\dfrac{3-7a}{6a} = \dfrac{3(a+2)}{12a}-\dfrac{2(3-7a)}{12a} = \dfrac{3a+6-(6-14a)}{12a} = \dfrac{3a+6-6+14a}{12a} = \dfrac{17a}{12a} = \dfrac{17}{12}$

Спільний знаменник $y$ і $x$ це $xy$ .

$\dfrac{2-3y}{y}-\dfrac{5-3x}{x} = \dfrac{x(2-3y)}{xy}-\dfrac{y(5-3x)}{xy} = \dfrac{2x-3xy-(5y-3xy)}{xy} = \dfrac{2x-3xy-5y+3xy}{xy} = \dfrac{2x-5y}{xy}$

Спільний знаменник $5x$ і $15y$ це $15xy$ .

$\dfrac{x+7}{5x}-\dfrac{3y+4}{15y} = \dfrac{3y(x+7)}{15xy}-\dfrac{x(3y+4)}{15xy} = \dfrac{3xy+21y-(3xy+4x)}{15xy} = \dfrac{3xy+21y-3xy-4x}{15xy} = \dfrac{21y-4x}{15xy}$

Спільний знаменник $2a$ і $3b$ це $6ab$ .

$\dfrac{4a+b}{2a} + \dfrac{a-6b}{3b} = \dfrac{3b(4a+b)}{6ab} + \dfrac{2a(a-6b)}{6ab} = \dfrac{12ab+3b^2+2a^2-12ab}{6ab} = \dfrac{2a^2+3b^2}{6ab}$

4.7. Подайте у вигляді дробу:

Спільний знаменник 4 і 3 це 12.

$\dfrac{a}{4} + \dfrac{a-2}{3} = \dfrac{3a}{12} + \dfrac{4(a-2)}{12} = \dfrac{3a+4a-8}{12} = \dfrac{7a-8}{12}$

Спільний знаменник 14 і 7 це 14.

$\dfrac{2x-y}{14}-\dfrac{x-y}{7} = \dfrac{2x-y}{14}-\dfrac{2(x-y)}{14} = \dfrac{2x-y-(2x-2y)}{14} = \dfrac{2x-y-2x+2y}{14} = \dfrac{y}{14}$

Спільний знаменник $2x$ і $4y$ це $4xy$ .

$\dfrac{x-6}{2x} + \dfrac{7-2y}{4y} = \dfrac{2y(x-6)}{4xy} + \dfrac{x(7-2y)}{4xy} = \dfrac{2xy-12y+7x-2xy}{4xy} = \dfrac{7x-12y}{4xy}$

Спільний знаменник $3m$ і $4n$ це $12mn$ .

$\dfrac{6m-n}{3m}-\dfrac{8n-5m}{4n} = \dfrac{4n(6m-n)}{12mn}-\dfrac{3m(8n-5m)}{12mn} = \dfrac{24mn-4n^2-(24mn-15m^2)}{12mn} = \dfrac{24mn-4n^2-24mn+15m^2}{12mn} = \dfrac{15m^2-4n^2}{12mn}$

4.8. Виконайте дію:

$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{a-2}{a}$

Щоб додати дроби, зведемо їх до спільного знаменника $a^2$ . Для цього другий дріб домножимо на $a$ .

$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{a-2}{a} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{a(a-2)}{a^2} = \dfrac{1+a^2-2a}{a^2} = \dfrac{(a-1)^2}{a^2}$

$\dfrac{2+m}{m^2}-\dfrac{m^2-5}{m^3}$

Спільним знаменником є $m^3$ . Домножимо перший дріб на $m$ .

$\dfrac{m(2+m)}{m^3}-\dfrac{m^2-5}{m^3} = \dfrac{2m+m^2-(m^2-5)}{m^3} = \dfrac{2m+m^2-m^2+5}{m^3} = \dfrac{2m+5}{m^3}$

$\dfrac{1}{2x^5} + \dfrac{1-3x^2}{x^7}$

Спільний знаменник — $2x^7$ . Перший дріб домножимо на $x^2$ , а другий — на 2.

$\dfrac{x^2}{2x^7} + \dfrac{2(1-3x^2)}{2x^7} = \dfrac{x^2+2-6x^2}{2x^7} = \dfrac{2-5x^2}{2x^7}$

$\dfrac{a-b}{ab}-\dfrac{b-a}{b^2}$

Спільний знаменник — $ab^2$ . Перший дріб домножимо на $b$ , другий — на $a$ .

$\dfrac{b(a-b)}{ab^2}-\dfrac{a(b-a)}{ab^2} = \dfrac{ab-b^2-(ab-a^2)}{ab^2} = \dfrac{ab-b^2-ab+a^2}{ab^2} = \dfrac{a^2-b^2}{ab^2}$

$\dfrac{3n+m}{mn^2} + \dfrac{n-3m}{m^2n}$

Спільний знаменник — $m^2n^2$ . Перший дріб домножимо на $m$ , другий — на $n$ .

$\dfrac{m(3n+m)}{m^2n^2} + \dfrac{n(n-3m)}{m^2n^2} = \dfrac{3mn+m^2+n^2-3mn}{m^2n^2} = \dfrac{m^2+n^2}{m^2n^2}$

$\dfrac{x-2y}{xy^2}-\dfrac{y-2x}{x^2y}$

Спільний знаменник — $x^2y^2$ . Перший дріб домножимо на $x$ , другий — на $y$ .

$\dfrac{x(x-2y)}{x^2y^2}-\dfrac{y(y-2x)}{x^2y^2} = \dfrac{x^2-2xy-(y^2-2xy)}{x^2y^2} = \dfrac{x^2-2xy-y^2+2xy}{x^2y^2} = \dfrac{x^2-y^2}{x^2y^2}$

4.9. Спростіть:

$\dfrac{m+2}{m^2}-\dfrac{1}{m}$

Спільний знаменник — $m^2$ . Домножимо другий дріб на $m$ .

$\dfrac{m+2}{m^2}-\dfrac{m}{m^2} = \dfrac{m+2-m}{m^2} = \dfrac{2}{m^2}$

$\dfrac{5}{n^5} + \dfrac{3-4n^2}{n^7}$

Спільний знаменник — $n^7$ . Домножимо перший дріб на $n^2$ .

$\dfrac{5n^2}{n^7} + \dfrac{3-4n^2}{n^7} = \dfrac{5n^2+3-4n^2}{n^7} = \dfrac{n^2+3}{n^7}$

$\dfrac{x-y}{x^2}-\dfrac{y-x}{xy}$

Спільний знаменник — $x^2y$ . Перший дріб домножимо на $y$ , другий — на $x$ .

$\dfrac{y(x-y)}{x^2y}-\dfrac{x(y-x)}{x^2y} = \dfrac{xy-y^2-(xy-x^2)}{x^2y} = \dfrac{xy-y^2-xy+x^2}{x^2y} = \dfrac{x^2-y^2}{x^2y}$

$\dfrac{c-2p}{cp^2} + \dfrac{2c-p}{pc^2}$

Спільний знаменник — $c^2p^2$ . Перший дріб домножимо на $c$ , другий — на $p$ .

$\dfrac{c(c-2p)}{c^2p^2} + \dfrac{p(2c-p)}{c^2p^2} = \dfrac{c^2-2cp+2cp-p^2}{c^2p^2} = \dfrac{c^2-p^2}{c^2p^2}$

4.10. Виконайте дії:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$

Спільний знаменник — $abc$ .

$\dfrac{bc}{abc} + \dfrac{ac}{abc} + \dfrac{ab}{abc} = \dfrac{bc+ac+ab}{abc}$

$\dfrac{1}{c^3}-\dfrac{2}{c^2} + \dfrac{3}{c}$

Спільний знаменник — $c^3$ .

$\dfrac{1}{c^3}-\dfrac{2c}{c^3} + \dfrac{3c^2}{c^3} = \dfrac{1-2c+3c^2}{c^3}$

$\dfrac{1}{xy}-\dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{xz}$

Спільний знаменник — $xyz$ .

$\dfrac{z}{xyz}-\dfrac{x}{xyz} + \dfrac{y}{xyz} = \dfrac{z-x+y}{xyz}$

$\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{b+c}{bc} + \dfrac{a+c}{ac}$

Спільний знаменник — $abc$ .

$\dfrac{c(a+b)}{abc}-\dfrac{a(b+c)}{abc} + \dfrac{b(a+c)}{abc} = \dfrac{ac+bc-(ab+ac)+ab+bc}{abc} = \dfrac{ac+bc-ab-ac+ab+bc}{abc} = \dfrac{2bc}{abc} = \dfrac{2}{a}$

4.11. Виконайте дії:

$\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n}$

Спільний знаменник — $pmn$ .

$\dfrac{mn}{pmn}-\dfrac{pn}{pmn} + \dfrac{pm}{pmn} = \dfrac{mn-pn+pm}{pmn}$

$\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}-\dfrac{4}{x^3}$

Спільний знаменник — $x^3$ .

$\dfrac{2x^2}{x^3} + \dfrac{3x}{x^3}-\dfrac{4}{x^3} = \dfrac{2x^2+3x-4}{x^3}$

$\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca}$

Спільний знаменник — $abc$ .

$\dfrac{c}{abc} + \dfrac{a}{abc} + \dfrac{b}{abc} = \dfrac{a+b+c}{abc}$

$\dfrac{x-y}{xy} + \dfrac{y-z}{yz} + \dfrac{x+z}{xz}$

Спільний знаменник — $xyz$ .

$\dfrac{z(x-y)}{xyz} + \dfrac{x(y-z)}{xyz} + \dfrac{y(x+z)}{xyz} = \dfrac{xz-yz+xy-xz+xy+yz}{xyz} = \dfrac{2xy}{xyz} = \dfrac{2}{z}$

4.12. Доведіть тотожність

$\dfrac{3x+1}{7x}-\dfrac{y-1}{2y}-\dfrac{7x+y}{14xy} = \dfrac{2y(3x+1)}{14xy}-\dfrac{7x(y-1)}{14xy}-\dfrac{7x+y}{14xy} = \dfrac{6xy+2y-(7xy-7x)-(7x+y)}{14xy} = \dfrac{6xy+2y-7xy+7x-7x-y}{14xy} = \dfrac{y(-x+1)}{14xy} = \dfrac{1-x}{14x}$

4.13. Доведіть тотожність

Щоб довести тотожність, зведемо дроби у лівій частині до спільного знаменника $10mn$ .

$\dfrac{3m+2}{5m}-\dfrac{n-1}{2n}-\dfrac{5m+3n}{10mn} = \dfrac{2n(3m+2)}{10mn}-\dfrac{5m(n-1)}{10mn}-\dfrac{5m+3n}{10mn} = \dfrac{6mn+4n-(5mn-5m)-(5m+3n)}{10mn} = \dfrac{6mn+4n-5mn+5m-5m-3n}{10mn} = \dfrac{n(m+1)}{10mn} = \dfrac{m+1}{10m}$

4.14. Перетворіть на дріб вираз

Щоб додати вирази, зводимо їх до спільного знаменника $y$ .

$x+\dfrac{2}{y} = \dfrac{x \cdot y}{y}+\dfrac{2}{y} = \dfrac{xy+2}{y}$

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $m$ .

$3m-\dfrac{1}{m} = \dfrac{3m \cdot m}{m}-\dfrac{1}{m} = \dfrac{3m^2-1}{m}$

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $p$ .

$\dfrac{4}{p}-p^2 = \dfrac{4}{p}-\dfrac{p^2 \cdot p}{p} = \dfrac{4-p^3}{p}$

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $a$ .

$\dfrac{a^2+y}{a}-a = \dfrac{a^2+y}{a}-\dfrac{a \cdot a}{a} = \dfrac{a^2+y-a^2}{a} = \dfrac{y}{a}$

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $3x$ .

$2x-\dfrac{6x^2+1}{3x} = \dfrac{2x \cdot 3x}{3x}-\dfrac{6x^2+1}{3x} = \dfrac{6x^2-(6x^2+1)}{3x} = \dfrac{6x^2-6x^2-1}{3x} = \dfrac{-1}{3x}$

Щоб додати вирази, зводимо їх до спільного знаменника $4n$ .

$m+\dfrac{2-4mn}{4n} = \dfrac{m \cdot 4n}{4n}+\dfrac{2-4mn}{4n} = \dfrac{4mn+2-4mn}{4n} = \dfrac{2}{4n} = \dfrac{1}{2n}$

4.15. Подайте вираз у вигляді дробу

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $n$ .

$m-\dfrac{3}{n} = \dfrac{m \cdot n}{n}-\dfrac{3}{n} = \dfrac{mn-3}{n}$

Щоб додати вирази, зводимо їх до спільного знаменника $p$ .

$4p+\dfrac{1}{p} = \dfrac{4p \cdot p}{p}+\dfrac{1}{p} = \dfrac{4p^2+1}{p}$

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $y$ .

$\dfrac{x+y^2}{y}-y = \dfrac{x+y^2}{y}-\dfrac{y \cdot y}{y} = \dfrac{x+y^2-y^2}{y} = \dfrac{x}{y}$

Щоб відняти вирази, зводимо їх до спільного знаменника $2p$ .

$7p-\dfrac{14p^2+3}{2p} = \dfrac{7p \cdot 2p}{2p}-\dfrac{14p^2+3}{2p} = \dfrac{14p^2-(14p^2+3)}{2p} = \dfrac{14p^2-14p^2-3}{2p} = \dfrac{-3}{2p}$

4.16. Спростіть вираз

Щоб виконати дії, зводимо всі доданки до спільного знаменника $6$ .

$1-\dfrac{m}{2}-\dfrac{n}{3} = \dfrac{6}{6}-\dfrac{3m}{6}-\dfrac{2n}{6} = \dfrac{6-3m-2n}{6}$

Щоб виконати дії, зводимо всі доданки до спільного знаменника $ab$ .

$4+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} = \dfrac{4ab}{ab}+\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab} = \dfrac{4ab+b-a}{ab}$

Щоб виконати дії, зводимо всі доданки до спільного знаменника $12$ .

$\dfrac{m-2}{3}-1+\dfrac{m+2}{4} = \dfrac{4(m-2)}{12}-\dfrac{12}{12}+\dfrac{3(m+2)}{12} = \dfrac{4m-8-12+3m+6}{12} = \dfrac{7m-14}{12}$

Щоб додати вирази, зводимо їх до спільного знаменника $a+b$ .

$\dfrac{1}{a+b}+a-b = \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{(a-b)(a+b)}{a+b} = \dfrac{1+a^2-b^2}{a+b}$

4.17. Виконайте дії

1. Щоб виконати дії, зведемо вирази до спільного знаменника $12$ .

$\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{4}-1 = \dfrac{4m}{12}+\dfrac{3n}{12}-\dfrac{12}{12} = \dfrac{4m+3n-12}{12}$

2. Зводимо вирази до спільного знаменника $cd$ .

$5-\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d} = \dfrac{5cd}{cd}-\dfrac{d}{cd}+\dfrac{c}{cd} = \dfrac{5cd-d+c}{cd}$

3. Зводимо до спільного знаменника $10$ .

$\dfrac{a+3}{5}-1+\dfrac{a-2}{2} = \dfrac{2(a+3)}{10}-\dfrac{10}{10}+\dfrac{5(a-2)}{10} = \dfrac{2a+6-10+5a-10}{10} = \dfrac{7a-14}{10}$

4. Зводимо до спільного знаменника $x-y$ .

$\dfrac{1}{x-y}+x+y = \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{(x+y)(x-y)}{x-y} = \dfrac{1+x^2-y^2}{x-y}$

4.18. Знайдіть суму та різницю дробів

1. Дроби: $\dfrac{1}{x-y}$ і $\dfrac{1}{x+y}$ .

Спільний знаменник $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ .

Сума: $\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{x+y} = \dfrac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{2x}{x^2-y^2}$

Різниця: $\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y} = \dfrac{x+y-(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \dfrac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \dfrac{2y}{x^2-y^2}$

2. Дроби: $\dfrac{1}{a+b}$ і $\dfrac{1}{a}$ .

Спільний знаменник $a(a+b)$ .

Сума: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a} = \dfrac{a+a+b}{a(a+b)} = \dfrac{2a+b}{a(a+b)}$

Різниця: $\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a} = \dfrac{a-(a+b)}{a(a+b)} = \dfrac{a-a-b}{a(a+b)} = \dfrac{-b}{a(a+b)}$

4.19. Знайдіть суму та різницю дробів

1. Дроби: $\dfrac{1}{2a+b}$ і $\dfrac{1}{2a-b}$ .

Спільний знаменник $(2a+b)(2a-b) = 4a^2-b^2$ .

Сума: $\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b} = \dfrac{2a-b+2a+b}{(2a+b)(2a-b)} = \dfrac{4a}{4a^2-b^2}$

Різниця: $\dfrac{1}{2a+b}-\dfrac{1}{2a-b} = \dfrac{2a-b-(2a+b)}{(2a+b)(2a-b)} = \dfrac{2a-b-2a-b}{4a^2-b^2} = \dfrac{-2b}{4a^2-b^2}$

2. Дроби: $\dfrac{1}{m-n}$ і $\dfrac{1}{m}$ .

Спільний знаменник $m(m-n)$ .

Сума: $\dfrac{1}{m-n}+\dfrac{1}{m} = \dfrac{m+m-n}{m(m-n)} = \dfrac{2m-n}{m(m-n)}$

Різниця: $\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{1}{m} = \dfrac{m-(m-n)}{m(m-n)} = \dfrac{m-m+n}{m(m-n)} = \dfrac{n}{m(m-n)}$

4.20. Спростіть вираз

1. Спільний знаменник $a(a-1)$ .

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{a-1} = \dfrac{2(a-1)+3a}{a(a-1)} = \dfrac{2a-2+3a}{a(a-1)} = \dfrac{5a-2}{a(a-1)}$

2. Спільний знаменник $a(a-c)$ .

$\dfrac{c}{a-c}-\dfrac{c}{a} = \dfrac{ca-c(a-c)}{a(a-c)} = \dfrac{ca-ca+c^2}{a(a-c)} = \dfrac{c^2}{a(a-c)}$

3. Спільний знаменник $(x+y)(x-y)$ .

$\dfrac{3}{x+y}+\dfrac{2}{x-y} = \dfrac{3(x-y)+2(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \dfrac{3x-3y+2x+2y}{x^2-y^2} = \dfrac{5x-y}{x^2-y^2}$

4. Спільний знаменник $(x-1)(x-2)$ .

$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2}{x-2} = \dfrac{x(x-2)+2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{x^2-2x+2x-2}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{x^2-2}{(x-1)(x-2)}$

5. Спільний знаменник $a(a-1)$ .

$\dfrac{a+1}{a}-\dfrac{a}{a-1} = \dfrac{(a+1)(a-1)-a^2}{a(a-1)} = \dfrac{a^2-1-a^2}{a(a-1)} = \dfrac{-1}{a(a-1)}$

6. Спільний знаменник $(2a-1)(2a+1)$ .

$\dfrac{a}{2a-1}-\dfrac{a}{2a+1} = \dfrac{a(2a+1)-a(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \dfrac{2a^2+a-2a^2+a}{4a^2-1} = \dfrac{2a}{4a^2-1}$

4.21. Виконайте дію

1. Спільний знаменник $b(b+2)$ .

$\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{b+2} = \dfrac{4(b+2)+7b}{b(b+2)} = \dfrac{4b+8+7b}{b(b+2)} = \dfrac{11b+8}{b(b+2)}$

2. Спільний знаменник $(m-n)(m+n)$ .

$\dfrac{3}{m-n}-\dfrac{2}{m+n} = \dfrac{3(m+n)-2(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \dfrac{3m+3n-2m+2n}{m^2-n^2} = \dfrac{m+5n}{m^2-n^2}$

3. Спільний знаменник $(p-2)(p+3)$ .

$\dfrac{p}{p-2}-\dfrac{3}{p+3} = \dfrac{p(p+3)-3(p-2)}{(p-2)(p+3)} = \dfrac{p^2+3p-3p+6}{p^2+p-6} = \dfrac{p^2+6}{p^2+p-6}$

4. Спільний знаменник $x(1-x)$ .

$\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{1+x}{x} = \dfrac{x^2+(1+x)(1-x)}{x(1-x)} = \dfrac{x^2+1-x^2}{x(1-x)} = \dfrac{1}{x(1-x)}$

4.22. Виконайте дію:

Щоб додати дроби, зводимо їх до спільного знаменника $2(a+1)$ .

$\dfrac{a-2}{2(a+1)} + \dfrac{a}{a+1} = \dfrac{a-2}{2(a+1)} + \dfrac{2a}{2(a+1)} = \dfrac{a-2+2a}{2(a+1)} = \dfrac{3a-2}{2(a+1)}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $20(a+b)$ .

$\dfrac{m}{4(a+b)}-\dfrac{3m}{5(a+b)} = \dfrac{5m}{20(a+b)}-\dfrac{12m}{20(a+b)} = \dfrac{5m-12m}{20(a+b)} = \dfrac{-7m}{20(a+b)}$

Щоб відняти дроби, спочатку розкладаємо знаменники на множники $2(a+3)$ та $3(a+3)$ , а потім зводимо до спільного знаменника $6(a+3)$ .

$\dfrac{a-2}{2a+6}-\dfrac{a+1}{3a+9} = \dfrac{a-2}{2(a+3)}-\dfrac{a+1}{3(a+3)} = \dfrac{3(a-2)}{6(a+3)}-\dfrac{2(a+1)}{6(a+3)} = \dfrac{3a-6-(2a+2)}{6(a+3)} = \dfrac{3a-6-2a-2}{6(a+3)} = \dfrac{a-8}{6(a+3)}$

Щоб додати дроби, розкладаємо знаменники на множники $a(x-y)$ та $b(x-y)$ , а потім зводимо до спільного знаменника $ab(x-y)$ .

$\dfrac{4}{ax-ay} + \dfrac{5}{bx-by} = \dfrac{4}{a(x-y)} + \dfrac{5}{b(x-y)} = \dfrac{4b}{ab(x-y)} + \dfrac{5a}{ab(x-y)} = \dfrac{4b+5a}{ab(x-y)}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $x(x+6)$ .

$\dfrac{5}{x}-\dfrac{30}{x(x+6)} = \dfrac{5(x+6)}{x(x+6)}-\dfrac{30}{x(x+6)} = \dfrac{5x+30-30}{x(x+6)} = \dfrac{5x}{x(x+6)} = \dfrac{5}{x+6}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо перший знаменник на множники $x(x+3)$ і зводимо до спільного знаменника $x(x+3)$ .

$\dfrac{6}{x^2+3x}-\dfrac{2}{x} = \dfrac{6}{x(x+3)}-\dfrac{2(x+3)}{x(x+3)} = \dfrac{6-2x-6}{x(x+3)} = \dfrac{-2x}{x(x+3)} = \dfrac{-2}{x+3}$

4.23. Виконайте дію:

Щоб додати дроби, зводимо їх до спільного знаменника $3(m+2)$ .

$\dfrac{m-1}{3(m+2)} + \dfrac{m}{m+2} = \dfrac{m-1}{3(m+2)} + \dfrac{3m}{3(m+2)} = \dfrac{m-1+3m}{3(m+2)} = \dfrac{4m-1}{3(m+2)}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $9(b+2a)$ .

$\dfrac{7a}{3(b+2a)}-\dfrac{4a}{9(b+2a)} = \dfrac{3 \cdot 7a}{9(b+2a)}-\dfrac{4a}{9(b+2a)} = \dfrac{21a-4a}{9(b+2a)} = \dfrac{17a}{9(b+2a)}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо знаменники на множники $3(x-4)$ та $2(x-4)$ і зводимо до спільного знаменника $6(x-4)$ .

$\dfrac{x-2}{3x-12}-\dfrac{x+1}{2x-8} = \dfrac{2(x-2)}{6(x-4)}-\dfrac{3(x+1)}{6(x-4)} = \dfrac{2x-4-3x-3}{6(x-4)} = \dfrac{-x-7}{6(x-4)}$

Щоб додати дроби, розкладаємо знаменники на множники $m(x+y)$ та $n(x+y)$ і зводимо до спільного знаменника $mn(x+y)$ .

$\dfrac{3}{mx+my} + \dfrac{2}{nx+ny} = \dfrac{3n}{mn(x+y)} + \dfrac{2m}{mn(x+y)} = \dfrac{3n+2m}{mn(x+y)}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $a(a+2)$ .

$\dfrac{4}{a}-\dfrac{8}{a(a+2)} = \dfrac{4(a+2)}{a(a+2)}-\dfrac{8}{a(a+2)} = \dfrac{4a+8-8}{a(a+2)} = \dfrac{4a}{a(a+2)} = \dfrac{4}{a+2}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо перший знаменник на множники $m(m+8)$ і зводимо до спільного знаменника $m(m+8)$ .

$\dfrac{8}{m^2+8m}-\dfrac{1}{m} = \dfrac{8}{m(m+8)}-\dfrac{1(m+8)}{m(m+8)} = \dfrac{8-m-8}{m(m+8)} = \dfrac{-m}{m(m+8)} = \dfrac{-1}{m+8}$

4.24. Спростіть вираз та обчисліть його значення

Щоб спростити вираз, розкладемо знаменник першого дробу на множники за формулою різниці квадратів $n^2-m^2 = (n-m)(n+m)$ і зведемо дроби до спільного знаменника $(n-m)(n+m)$ .

$\dfrac{4n+m}{n^2-m^2} + \dfrac{1}{n+m} = \dfrac{4n+m}{(n-m)(n+m)} + \dfrac{n-m}{(n-m)(n+m)}$

Додамо чисельники дробів і зведемо подібні доданки.

$\dfrac{4n+m+n-m}{(n-m)(n+m)} = \dfrac{5n}{n^2-m^2}$

Тепер підставимо у спрощений вираз значення $n=-2$ та $m=-3$ .

$\dfrac{5 \cdot (-2)}{(-2)^2-(-3)^2} = \dfrac{-10}{4-9} = \dfrac{-10}{-5} = 2$

На сьогоднішній день (2025 рік) дві жінки-науковиці отримали медаль Філдса. Це Мар’ям Мірзахані (2014) та українка Марина В’язовська (2022).

4.25. Подайте вираз у вигляді дробу

Щоб додати дроби, розкладемо знаменник $a^2-4$ на множники $(a-2)(a+2)$ і зведемо дроби до спільного знаменника $(a-2)(a+2)$ .

$\dfrac{a-6}{a^2-4} + \dfrac{3}{a-2} = \dfrac{a-6}{(a-2)(a+2)} + \dfrac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \dfrac{a-6+3a+6}{a^2-4} = \dfrac{4a}{a^2-4}$

Щоб відняти дроби, розкладемо знаменник $x^2-10x+25$ на множники за формулою квадрата різниці $(x-5)^2$ і зведемо дроби до спільного знаменника $(x-5)^2$ .

$\dfrac{x}{x-5}-\dfrac{x^2}{x^2-10x+25} = \dfrac{x(x-5)}{(x-5)^2}-\dfrac{x^2}{(x-5)^2} = \dfrac{x^2-5x-x^2}{(x-5)^2} = \dfrac{-5x}{(x-5)^2}$

4.26. Перетворіть вираз на дріб

Щоб додати дроби, розкладемо знаменник $a^2-b^2$ на множники $(a-b)(a+b)$ і зведемо дроби до спільного знаменника $(a-b)(a+b)$ .

$\dfrac{4a-b}{a^2-b^2} + \dfrac{1}{a-b} = \dfrac{4a-b}{(a-b)(a+b)} + \dfrac{a+b}{(a-b)(a+b)} = \dfrac{4a-b+a+b}{a^2-b^2} = \dfrac{5a}{a^2-b^2}$

Щоб додати дроби, розкладемо знаменник $b^2-9$ на множники $(b-3)(b+3)$ і зведемо дроби до спільного знаменника $(b-3)(b+3)$ .

$\dfrac{2}{b+3} + \dfrac{b+6}{b^2-9} = \dfrac{2(b-3)}{(b-3)(b+3)} + \dfrac{b+6}{(b-3)(b+3)} = \dfrac{2b-6+b+6}{b^2-9} = \dfrac{3b}{b^2-9}$

Щоб відняти дроби, розкладемо знаменник $m^2+8m+16$ за формулою квадрата суми $(m+4)^2$ і зведемо дроби до спільного знаменника $(m+4)^2$ .

$\dfrac{m}{m+4}-\dfrac{m^2}{m^2+8m+16} = \dfrac{m(m+4)}{(m+4)^2}-\dfrac{m^2}{(m+4)^2} = \dfrac{m^2+4m-m^2}{(m+4)^2} = \dfrac{4m}{(m+4)^2}$

4.27. Спростіть вираз:

Щоб додати дроби, розкладаємо знаменники на множники та зводимо до спільного знаменника $ab(a-b)$ .

$\dfrac{a+4}{ab-a^2} + \dfrac{b+4}{ab-b^2} = \dfrac{a+4}{a(b-a)} + \dfrac{b+4}{b(a-b)} = \dfrac{a+4}{-a(a-b)} + \dfrac{b+4}{b(a-b)} =$

$\dfrac{-(a+4)b+(b+4)a}{ab(a-b)} = \dfrac{-ab-4b+ab+4a}{ab(a-b)} = \dfrac{4a-4b}{ab(a-b)} = \dfrac{4(a-b)}{ab(a-b)} = \dfrac{4}{ab}$

Щоб додати дроби, виносимо мінус у знаменнику другого дробу та зводимо до спільного знаменника $x(m-x)$ .

$\dfrac{m^2}{mx-x^2} + \dfrac{x}{x-m} = \dfrac{m^2}{x(m-x)}-\dfrac{x}{m-x} = \dfrac{m^2-x^2}{x(m-x)} =$

$\dfrac{(m-x)(m+x)}{x(m-x)} = \dfrac{m+x}{x}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо знаменники на множники та зводимо до спільного знаменника $x(x-2)(x+2)$ .

$\dfrac{2}{x^2-4}-\dfrac{1}{x^2+2x} = \dfrac{2}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{1}{x(x+2)} = \dfrac{2x-(x-2)}{x(x-2)(x+2)} =$

$\dfrac{2x-x+2}{x(x-2)(x+2)} = \dfrac{x+2}{x(x-2)(x+2)} = \dfrac{1}{x(x-2)}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо знаменники на множники, зводимо до спільного знаменника $ab(b-3a)$ та використовуємо формулу різниці кубів.

$\dfrac{3ab-27a^2}{b^2-3ab}-\dfrac{3a^2-b^2}{ab-3a^2} = \dfrac{3a(b-9a)}{b(b-3a)}-\dfrac{-(b^2-3a^2)}{a(b-3a)} = \dfrac{a(3a(b-9a)) + b(b^2-3a^2)}{ab(b-3a)} =$

$\dfrac{3a^2b-27a^3+b^3-3a^2b}{ab(b-3a)} = \dfrac{b^3-27a^3}{ab(b-3a)} = \dfrac{(b-3a)(b^2+3ab+9a^2)}{ab(b-3a)} = \dfrac{b^2+3ab+9a^2}{ab}$

4.28. Спростіть вираз:

Щоб відняти дроби, розкладаємо знаменники на множники та зводимо до спільного знаменника $ab(b-a)$ .

$\dfrac{a-2}{ab-a^2}-\dfrac{2-b}{ab-b^2} = \dfrac{a-2}{a(b-a)}-\dfrac{-(b-2)}{-b(b-a)} = \dfrac{b(a-2)-a(b-2)}{ab(b-a)} =$

$\dfrac{ab-2b-ab+2a}{ab(b-a)} = \dfrac{2a-2b}{ab(b-a)} = \dfrac{-2(b-a)}{ab(b-a)} = \dfrac{-2}{ab}$

Щоб відняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника $a(t+a)$ і використовуємо формулу різниці квадратів.

$\dfrac{t^2}{ta+a^2}-\dfrac{a}{t+a} = \dfrac{t^2}{a(t+a)}-\dfrac{a^2}{a(t+a)} = \dfrac{t^2-a^2}{a(t+a)} = \dfrac{(t-a)(t+a)}{a(t+a)} = \dfrac{t-a}{a}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо знаменники на множники та зводимо до спільного знаменника $a(a-3)(a+3)$ .

$\dfrac{4}{a^2-9}-\dfrac{2}{a^2+3a} = \dfrac{4}{(a-3)(a+3)}-\dfrac{2}{a(a+3)} = \dfrac{4a-2(a-3)}{a(a-3)(a+3)} =$

$\dfrac{4a-2a+6}{a(a-3)(a+3)} = \dfrac{2a+6}{a(a-3)(a+3)} = \dfrac{2(a+3)}{a(a-3)(a+3)} = \dfrac{2}{a(a-3)}$

Щоб відняти дроби, розкладаємо знаменники на множники, зводимо до спільного знаменника $mn(n-2m)$ та використовуємо формулу різниці кубів.

$\dfrac{3n^2-8m^2}{n^2-2mn}-\dfrac{3mn-n^2}{mn-2m^2} = \dfrac{3n^2-8m^2}{n(n-2m)}-\dfrac{n(3m-n)}{m(n-2m)} = \dfrac{m(3n^2-8m^2)-n^2(3m-n)}{mn(n-2m)} =$

$\dfrac{3mn^2-8m^3-3mn^2+n^3}{mn(n-2m)} = \dfrac{n^3-8m^3}{mn(n-2m)} = \dfrac{(n-2m)(n^2+2mn+4m^2)}{mn(n-2m)} = \dfrac{n^2+2mn+4m^2}{mn}$

4.29. Доведіть тотожність

Щоб довести тотожність, зведемо всі частини виразу до спільного знаменника $12$ .

$\dfrac{(a-1)(a-2)}{12}-\dfrac{4(a-1)(a-5)}{12} + \dfrac{3(a-5)(a-2)}{12}$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$\dfrac{(a^2-3a+2)-4(a^2-6a+5) + 3(a^2-7a+10)}{12}$

$\dfrac{a^2-3a+2-4a^2+24a-20+3a^2-21a+30}{12}$

Зведемо подібні доданки в чисельнику.

$\dfrac{(a^2-4a^2+3a^2)+(-3a+24a-21a)+(2-20+30)}{12} = \dfrac{0+0+12}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$

Тотожність доведено.

4.30. Подайте вираз у вигляді дробу:

Щоб виконати віднімання, зведемо вирази до спільного знаменника $(m+n)$ . Для цього представимо $(m-n)$ у вигляді дробу.

$m-n-\dfrac{m^2+n^2}{m+n} = \dfrac{(m-n)(m+n)}{m+n}-\dfrac{m^2+n^2}{m+n} = \dfrac{m^2-n^2-(m^2+n^2)}{m+n} = \dfrac{m^2-n^2-m^2-n^2}{m+n} = \dfrac{-2n^2}{m+n}$

Спочатку згрупуємо цілі доданки, а потім зведемо до спільного знаменника $(p-2)$ .

$p-\dfrac{4}{p-2}-2 = (p-2)-\dfrac{4}{p-2} = \dfrac{(p-2)(p-2)}{p-2}-\dfrac{4}{p-2} = \dfrac{(p-2)^2-4}{p-2} = \dfrac{(p-2-2)(p-2+2)}{p-2} = \dfrac{p(p-4)}{p-2}$

Спочатку згрупуємо цілі доданки, а потім зведемо до спільного знаменника $(a^2-1)$ .

$a^2-\dfrac{a^4}{a^2-1}+1 = (a^2+1)-\dfrac{a^4}{a^2-1} = \dfrac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1}-\dfrac{a^4}{a^2-1} = \dfrac{a^4-1-a^4}{a^2-1} = \dfrac{-1}{a^2-1} = \dfrac{1}{1-a^2}$

Щоб виконати дії, зведемо вирази до спільного знаменника $(2p-3)$ .

$\dfrac{8p^2}{2p-3}-4p-1 = \dfrac{8p^2}{2p-3}-(4p+1) = \dfrac{8p^2}{2p-3}-\dfrac{(4p+1)(2p-3)}{2p-3} = \dfrac{8p^2-(8p^2-12p+2p-3)}{2p-3} = \dfrac{8p^2-8p^2+10p+3}{2p-3} = \dfrac{10p+3}{2p-3}$

4.31. Подайте вираз у вигляді дробу:

Спочатку згрупуємо цілі доданки, а потім зведемо до спільного знаменника $(m+3)$ .

$m-\dfrac{9}{m+3}+3 = (m+3)-\dfrac{9}{m+3} = \dfrac{(m+3)^2}{m+3}-\dfrac{9}{m+3} = \dfrac{(m+3)^2-9}{m+3} = \dfrac{(m+3-3)(m+3+3)}{m+3} = \dfrac{m(m+6)}{m+3}$

Щоб виконати дії, зведемо вирази до спільного знаменника $(3m+1)$ .

$\dfrac{6m^2}{3m+1}-2m+4 = \dfrac{6m^2}{3m+1}-(2m-4) = \dfrac{6m^2-(2m-4)(3m+1)}{3m+1} = \dfrac{6m^2-(6m^2+2m-12m-4)}{3m+1} = \dfrac{6m^2-6m^2+10m+4}{3m+1} = \dfrac{10m+4}{3m+1}$

4.32. Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу не залежить від значення m.

Щоб довести це, нам потрібно спростити вираз. Спочатку знайдемо спільний знаменник.

Розкладемо знаменники на множники:
$7m-21 = 7(m-3)$
$2m-6 = 2(m-3)$
Зведемо дроби до спільного знаменника $14(m-3)$ і виконаємо віднімання.

$\dfrac{4m-5}{7m-21}-\dfrac{m-1}{2m-6} = \dfrac{4m-5}{7(m-3)}-\dfrac{m-1}{2(m-3)} = \dfrac{2(4m-5)-7(m-1)}{14(m-3)} = \dfrac{8m-10-7m+7}{14(m-3)} = \dfrac{m-3}{14(m-3)}$

Скоротимо дріб. Допустимим значенням є $m \neq 3$ , тому ми можемо скоротити на $(m-3)$ .

$\dfrac{m-3}{14(m-3)} = \dfrac{1}{14}$

Оскільки в результаті ми отримали число $\dfrac{1}{14}$ , яке не містить змінної $m$ , ми довели, що значення виразу не залежить від $m$ .

4.33. Спростіть вираз:

Щоб додати дроби, спочатку розкладемо знаменник другого дробу на множники, використовуючи формулу суми кубів $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ .

$\dfrac{x-1}{x^2-x+1} + \dfrac{2-x}{x^3+1} = \dfrac{x-1}{x^2-x+1} + \dfrac{2-x}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Тепер зведемо дроби до спільного знаменника $(x+1)(x^2-x+1)$ .

$\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} + \dfrac{2-x}{(x+1)(x^2-x+1)} = \dfrac{x^2-1+2-x}{x^3+1} = \dfrac{x^2-x+1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \dfrac{1}{x+1}$

Спочатку розкладемо знаменник $25-m^2$ на множники і змінимо знак у знаменнику, щоб отримати спільний вигляд.

$\dfrac{2m}{m-5}-\dfrac{5}{m+5} + \dfrac{2m^2}{25-m^2} = \dfrac{2m}{m-5}-\dfrac{5}{m+5}-\dfrac{2m^2}{m^2-25} = \dfrac{2m}{m-5}-\dfrac{5}{m+5}-\dfrac{2m^2}{(m-5)(m+5)}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $(m-5)(m+5)$ .

$\dfrac{2m(m+5)-5(m-5)-2m^2}{(m-5)(m+5)} = \dfrac{2m^2+10m-5m+25-2m^2}{(m-5)(m+5)} = \dfrac{5m+25}{(m-5)(m+5)} = \dfrac{5(m+5)}{(m-5)(m+5)} = \dfrac{5}{m-5}$

Розкладемо знаменники на множники.

$\dfrac{6}{m^2-6m} + \dfrac{m-12}{6m-36} = \dfrac{6}{m(m-6)} + \dfrac{m-12}{6(m-6)}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $6m(m-6)$ .

$\dfrac{6 \cdot 6 + m(m-12)}{6m(m-6)} = \dfrac{36+m^2-12m}{6m(m-6)} = \dfrac{(m-6)^2}{6m(m-6)} = \dfrac{m-6}{6m}$

Розкладемо знаменники на множники та представимо $1$ як дріб.

$\dfrac{3}{2a+6} + \dfrac{a^2-a-3}{a^2-9}-1 = \dfrac{3}{2(a+3)} + \dfrac{a^2-a-3}{(a-3)(a+3)}-\dfrac{1}{1}$

Зведемо до спільного знаменника $2(a-3)(a+3)$ .

$\dfrac{3(a-3)+2(a^2-a-3)-2(a^2-9)}{2(a-3)(a+3)} = \dfrac{3a-9+2a^2-2a-6-2a^2+18}{2(a^2-9)} = \dfrac{a+3}{2(a-3)(a+3)} = \dfrac{1}{2(a-3)}$

4.34. Спростіть вираз:

Розкладемо знаменник $a^3-1$ за формулою різниці кубів $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .

$\dfrac{a+1}{a^2+a+1} + \dfrac{a+2}{a^3-1} = \dfrac{a+1}{a^2+a+1} + \dfrac{a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Зведемо до спільного знаменника $(a-1)(a^2+a+1)$ .

$\dfrac{(a+1)(a-1)+a+2}{(a-1)(a^2+a+1)} = \dfrac{a^2-1+a+2}{a^3-1} = \dfrac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \dfrac{1}{a-1}$

Змінимо знак у знаменнику третього дробу $9-a^2 = -(a^2-9)$ .

$\dfrac{2a}{a-3} + \dfrac{a}{a+3} + \dfrac{2a^2}{9-a^2} = \dfrac{2a}{a-3} + \dfrac{a}{a+3}-\dfrac{2a^2}{(a-3)(a+3)}$

Зведемо до спільного знаменника $(a-3)(a+3)$ .

$\dfrac{2a(a+3)+a(a-3)-2a^2}{(a-3)(a+3)} = \dfrac{2a^2+6a+a^2-3a-2a^2}{a^2-9} = \dfrac{a^2+3a}{a^2-9} = \dfrac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \dfrac{a}{a-3}$

Розкладемо знаменники на множники.

$\dfrac{4}{m^2+4m} + \dfrac{m+8}{4m+16} = \dfrac{4}{m(m+4)} + \dfrac{m+8}{4(m+4)}$

Зведемо до спільного знаменника $4m(m+4)$ .

$\dfrac{4 \cdot 4 + m(m+8)}{4m(m+4)} = \dfrac{16+m^2+8m}{4m(m+4)} = \dfrac{(m+4)^2}{4m(m+4)} = \dfrac{m+4}{4m}$

Розкладемо знаменники на множники та представимо $1$ як дріб.

$\dfrac{2}{3b+6} + \dfrac{b^2-b-2}{b^2-4}-1 = \dfrac{2}{3(b+2)} + \dfrac{b^2-b-2}{(b-2)(b+2)}-\dfrac{1}{1}$

Зведемо до спільного знаменника $3(b-2)(b+2)$ .

$\dfrac{2(b-2)+3(b^2-b-2)-3(b^2-4)}{3(b^2-4)} = \dfrac{2b-4+3b^2-3b-6-3b^2+12}{3(b^2-4)} = \dfrac{-b+2}{3(b-2)(b+2)} = \dfrac{-(b-2)}{3(b-2)(b+2)} = -\dfrac{1}{3(b+2)}$

4.35. Доведіть тотожність:

Щоб довести тотожність, спростимо ліву частину рівності. Спочатку винесемо спільні множники з чисельників та знаменників.

$\dfrac{0,9}{0,25a+0,5}-\dfrac{0,3a+0,6}{0,5a^2+2a+2} = \dfrac{0,9}{0,25(a+2)}-\dfrac{0,3(a+2)}{0,5(a^2+4a+4)}$

Знаменник другого дробу є повним квадратом.

$\dfrac{0,9}{0,25(a+2)}-\dfrac{0,3(a+2)}{0,5(a+2)^2}$

Позбудемося десяткових дробів, помноживши чисельник і знаменник на 100 у першому дробі та на 10 у другому.
$\dfrac{90}{25(a+2)}-\dfrac{3(a+2)}{5(a+2)^2}$

Скоротимо дроби.
$\dfrac{18}{5(a+2)}-\dfrac{3}{5(a+2)}$

Тепер виконаємо віднімання дробів зі спільним знаменником.
$\dfrac{18-3}{5(a+2)} = \dfrac{15}{5(a+2)} = \dfrac{3}{a+2}$

Ми отримали вираз, що стоїть у правій частині рівності: $\dfrac{3}{a+2} = \dfrac{3}{a+2}$ . Тотожність доведено.

4.36. Доведіть тотожність:

Щоб довести тотожність, нам потрібно спростити ліву частину виразу і показати, що вона дорівнює правій.

Спочатку розкладемо знаменники на множники та винесемо спільні множники в чисельниках і знаменниках.

$\dfrac{0,35}{0,5a-1,5}-\dfrac{0,2a-0,6}{a^2-6a+9} = \dfrac{0,35}{0,5(a-3)}-\dfrac{0,2(a-3)}{(a-3)^2}$

Скоротимо другий дріб на $(a-3)$ .

$\dfrac{0,35}{0,5(a-3)}-\dfrac{0,2}{a-3}$

Позбудемося десяткових дробів, помноживши чисельник і знаменник першого дробу на 2, а другого на 10.

$\dfrac{0,35 \cdot 2}{0,5(a-3) \cdot 2}-\dfrac{0,2 \cdot 10}{(a-3) \cdot 10} = \dfrac{0,7}{a-3}-\dfrac{2}{10(a-3)} = \dfrac{7}{10(a-3)}-\dfrac{2}{10(a-3)}$

Виконаємо віднімання дробів зі спільним знаменником.

$\dfrac{7-2}{10(a-3)} = \dfrac{5}{10(a-3)} = \dfrac{1}{2(a-3)}$

Ми отримали, що ліва частина дорівнює правій: $\dfrac{1}{2(a-3)} = \dfrac{1}{2(a-3)}$ . Тотожність доведено.

4.37. Перетворіть вираз на дріб:

Розкладемо знаменники на множники. Чисельники є частинами формул суми та різниці кубів.

$\dfrac{a^2-2ab+4b^2}{a^2-4b^2} + \dfrac{a^2+2ab+4b^2}{(a+2b)^2} = \dfrac{a^2-2ab+4b^2}{(a-2b)(a+2b)} + \dfrac{a^2+2ab+4b^2}{(a+2b)^2}$

Зведемо до спільного знаменника $(a-2b)(a+2b)^2$ .

$\dfrac{(a^2-2ab+4b^2)(a+2b) + (a^2+2ab+4b^2)(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)^2}$

Застосуємо формули суми кубів $a^3+(2b)^3 = (a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$ та різниці кубів $a^3-(2b)^3 = (a-2b)(a^2+2ab+4b^2)$ .

$\dfrac{a^3+(2b)^3 + a^3-(2b)^3}{(a-2b)(a+2b)^2} = \dfrac{a^3+8b^3+a^3-8b^3}{(a-2b)(a+2b)^2} = \dfrac{2a^3}{(a-2b)(a+2b)^2}$

Розкладемо середній знаменник на множники та зведемо дроби до спільного знаменника $(a-3)^2(a+3)^2 = (a^2-9)^2$ .

$\dfrac{2}{(a-3)^2}-\dfrac{4}{a^2-9} + \dfrac{2}{(a+3)^2} = \dfrac{2}{(a-3)^2}-\dfrac{4}{(a-3)(a+3)} + \dfrac{2}{(a+3)^2}$

$\dfrac{2(a+3)^2-4(a-3)(a+3) + 2(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$\dfrac{2(a^2+6a+9)-4(a^2-9) + 2(a^2-6a+9)}{(a^2-9)^2} = \dfrac{2a^2+12a+18-4a^2+36+2a^2-12a+18}{(a^2-9)^2}$

Зведемо подібні доданки.

$\dfrac{(2a^2-4a^2+2a^2) + (12a-12a) + (18+36+18)}{(a^2-9)^2} = \dfrac{72}{(a^2-9)^2}$

4.38. Перетворіть вираз на дріб:

Це завдання схоже на 4.37(1). Розкладемо знаменники на множники.

$\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2+xy+y^2}{(x+y)^2} = \dfrac{x^2-xy+y^2}{(x-y)(x+y)} + \dfrac{x^2+xy+y^2}{(x+y)^2}$

Зведемо до спільного знаменника $(x-y)(x+y)^2$ і застосуємо формули суми та різниці кубів.

$\dfrac{(x^2-xy+y^2)(x+y) + (x^2+xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x+y)^2} = \dfrac{(x^3+y^3) + (x^3-y^3)}{(x-y)(x+y)^2} = \dfrac{2x^3}{(x-y)(x+y)^2}$

Це завдання схоже на 4.37(2). Зведемо до спільного знаменника $(x-2)^2(x+2)^2 = (x^2-4)^2$ .

$\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{2}{x^2-4} + \dfrac{1}{(x+2)^2} = \dfrac{(x+2)^2-2(x-2)(x+2) + (x-2)^2}{(x^2-4)^2}$

Чисельник є повним квадратом різниці: $\[(x+2)-(x-2)\]^2$ .

$\dfrac{((x+2)-(x-2))^2}{(x^2-4)^2} = \dfrac{(x+2-x+2)^2}{(x^2-4)^2} = \dfrac{4^2}{(x^2-4)^2} = \dfrac{16}{(x^2-4)^2}$

4.39. За якого значення a вираз $2 + \dfrac{a}{x-4}$ тотожно дорівнює дробу $\dfrac{2x}{x-4}$ ?

Щоб вирази були тотожно рівними, вони мають бути рівними для всіх допустимих значень $x$ .

Зведемо вираз $2 + \dfrac{a}{x-4}$ до спільного знаменника.

$2 + \dfrac{a}{x-4} = \dfrac{2(x-4)}{x-4} + \dfrac{a}{x-4} = \dfrac{2x-8+a}{x-4}$

Тепер прирівняємо отриманий дріб до дробу $\dfrac{2x}{x-4}$ .

$\dfrac{2x-8+a}{x-4} = \dfrac{2x}{x-4}$

Оскільки знаменники дробів однакові, їхні чисельники також мають бути рівними.

$2x-8+a = 2x$

Розв’яжемо рівняння відносно $a$ .

$a = 2x-2x + 8$
$a = 8$

Отже, вираз тотожно дорівнює дробу при $a=8$ .

4.40. Доведіть, що значення виразу $\dfrac{a^3+3a}{a+2}-\dfrac{3a^2-14a+16}{a^2-4} + 2a$ для всіх допустимих значень змінної є додатним.

$\dfrac{a^3+3a}{a+2}-\dfrac{3a^2-14a+16}{a^2-4}+2a = \dfrac{a^3+3a}{a+2}-\dfrac{3a^2-14a+16}{(a-2)(a+2)}+\dfrac{2a(a^2-4)}{(a-2)(a+2)} =$
$= \dfrac{(a^3+3a)(a-2)-(3a^2-14a+16)+2a(a^2-4)}{(a-2)(a+2)} =$
$= \dfrac{a^4-2a^3+3a^2-6a-3a^2+14a-16+2a^3-8a}{(a-2)(a+2)} =$
$= \dfrac{a^4-16}{a^2-4} = \dfrac{(a^2-4)(a^2+4)}{a^2-4} = a^2+4$

Оскільки $a^2+4 > 0$ для всіх значень $a$ , то значення початкового виразу додатне при всіх допустимих значеннях змінної.
Доведено.

4.41. Доведіть тотожність $a+a^2+\dfrac{2a^2+3a+1}{a^2-1}-\dfrac{a^3+2a}{a-1} = -1$ .

$a+a^2+\dfrac{2a^2+3a+1}{a^2-1}-\dfrac{a^3+2a}{a-1} = a+a^2+\dfrac{2a^2+3a+1}{(a-1)(a+1)}-\dfrac{a^3+2a}{a-1} =$
$= \dfrac{(a+a^2)(a^2-1)+2a^2+3a+1-(a^3+2a)(a+1)}{(a-1)(a+1)} =$
$= \dfrac{a^3-a+a^4-a^2+2a^2+3a+1-(a^4+a^3+2a^2+2a)}{(a-1)(a+1)} =$
$= \dfrac{a^3-a+a^4-a^2+2a^2+3a+1-a^4-a^3-2a^2-2a}{(a-1)(a+1)} =$
$= \dfrac{-a^2+1}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{-(a^2-1)}{(a-1)(a+1)} = \dfrac{-(a-1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = -1$

Що й треба було довести.

4.42. Побудуйте графік функції $y = 15\left(\dfrac{3x+4}{5x-10}-\dfrac{x+4}{3x-6}\right)$ .

Спочатку спростимо вираз у дужках. ОДЗ:

$5x-10 \neq 0 \implies x \neq 2$ і $3x-6 \neq 0 \implies x \neq 2$ . Отже, $x \neq 2$ .

$y = 15 \left( \dfrac{3x+4}{5x-10} - \dfrac{x+4}{3x-6} \right) =$

$= 15 \left( \dfrac{3x+4}{5(x-2)} - \dfrac{x+4}{3(x-2)} \right) =$

$= 15 \cdot \dfrac{3(3x+4)-5(x+4)}{15(x-2)} =$

$= 15 \cdot \dfrac{9x+12-5x-20}{15(x-2)} = \dfrac{4x-8}{x-2} = \dfrac{4(x-2)}{x-2} = 4$

Отже, функція має вигляд $y=4$ з умовою, що $x \neq 2$ . Це пряма, паралельна осі абсцис, яка проходить через точку $(0, 4)$ . На цій прямій точка з абсцисою $x=2$ є “виколотою”, оскільки вона не входить в область визначення функції.
Графік — це пряма $y=4$ з виколотою точкою $(2; 4)$ .

4.43. Знайдіть значення виразу, якщо $a = \dfrac{1}{6}$ , $b = -1\dfrac{4}{9}$ .

Відтак дізнаєтеся, у якому віці українець Руслан Пономарьов став наймолодшим в історії чемпіоном світу із шахів.**

Спочатку спростимо заданий вираз. Для цього розкладемо знаменники дробів на множники та зведемо їх до спільного знаменника.

Розкладемо знаменники на множники:

$9a^2-1,5ab = 3a(3a-0,5b)$
$9a^2-0,25b^2 = (3a-0,5b)(3a+0,5b)$ (за формулою різниці квадратів)
$9a^2+1,5ab = 3a(3a+0,5b)$

Отже, вираз має вигляд:

$\dfrac{3a+0,5b}{3a(3a-0,5b)}-\dfrac{12a}{(3a-0,5b)(3a+0,5b)}-\dfrac{3a-0,5b}{3a(3a+0,5b)}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)$ :

$\dfrac{(3a+0,5b)(3a+0,5b)}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)}-\dfrac{12a \cdot 3a}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)}-\dfrac{(3a-0,5b)(3a-0,5b)}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)}$

Виконаємо дії в чисельнику:

$\dfrac{(3a+0,5b)^2-36a^2-(3a-0,5b)^2}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)}$

Згрупуємо доданки в чисельнику та використаємо формулу різниці квадратів $(x^2-y^2) = (x-y)(x+y)$ , а також формулу квадрата суми та різниці:

$\dfrac{\[(3a+0,5b)^2-(3a-0,5b)^2\]-36a^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} = \dfrac{(4 \cdot 3a \cdot 0,5b)-36a^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} = \dfrac{6ab-36a^2}{3a(9a^2-0,25b^2)}$

Винесемо спільний множник $6a$ в чисельнику:

$\dfrac{6a(b-6a)}{3a(9a^2-0,25b^2)} = \dfrac{2(b-6a)}{9a^2-0,25b^2}$

В чисельнику винесемо $-2$ за дужки, а знаменник розкладемо як різницю квадратів:

$\dfrac{-2(6a-b)}{(3a-0,5b)(3a+0,5b)}$

Зверніть увагу, що $3a-0,5b = \dfrac{1}{2}(6a-b)$ .

Підставимо це в знаменник:

$\dfrac{-2(6a-b)}{\dfrac{1}{2}(6a-b)(3a+0,5b)} = \dfrac{-2}{\dfrac{1}{2}(3a+0,5b)} = \dfrac{-4}{3a+0,5b}$

Тепер підставимо значення $a = \dfrac{1}{6}$ і $b = -1\dfrac{4}{9} = -\dfrac{13}{9}$ у спрощений вираз:

$3a+0,5b = 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 0,5 \cdot (-\dfrac{13}{9}) = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{13}{9} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{13}{18} = \dfrac{9}{18}-\dfrac{13}{18} = -\dfrac{4}{18} = -\dfrac{2}{9}$

Обчислимо кінцеве значення:

$\dfrac{-4}{3a+0,5b} = \dfrac{-4}{-\dfrac{2}{9}} = (-4) \cdot (-\dfrac{9}{2}) = \dfrac{36}{2} = 18$

Отже, Руслан Пономарьов став наймолодшим в історії чемпіоном світу з шахів у віці 18 років.

4.44. Знайдіть значення виразу

$\dfrac{x+0,2y}{4x^2-0,8xy}-\dfrac{12,5x}{12,5x^2-0,5y^2}-\dfrac{x-0,2y}{4x^2+0,8xy}$ , якщо $x=-10$ , $y=49$ .

Щоб розв’язати це завдання, ми спочатку спростимо вираз, а потім підставимо в нього задані значення $x$ та $y$ .

Почнемо зі спрощення першого та третього дробів, звівши їх до спільного знаменника. Для цього винесемо спільні множники в знаменниках.

$\dfrac{x+0,2y}{4x(x-0,2y)}-\dfrac{x-0,2y}{4x(x+0,2y)}$

Спільний знаменник для цих двох дробів – $4x(x-0,2y)(x+0,2y)$ .

$\dfrac{(x+0,2y)(x+0,2y)-(x-0,2y)(x-0,2y)}{4x(x-0,2y)(x+0,2y)} = \dfrac{(x+0,2y)^2-(x-0,2y)^2}{4x(x^2-0,04y^2)}$

У чисельнику використовуємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ :

$((x+0,2y)-(x-0,2y))((x+0,2y)+(x-0,2y)) = (0,4y)(2x) = 0,8xy$

Тепер вираз має вигляд:

$\dfrac{0,8xy}{4x(x^2-0,04y^2)} = \dfrac{0,2y}{x^2-0,04y^2}$

Спростимо другий дріб, винісши за дужки $12,5$ у знаменнику.

$\dfrac{12,5x}{12,5x^2-0,5y^2} = \dfrac{12,5x}{12,5(x^2-\dfrac{0,5}{12,5}y^2)} = \dfrac{x}{x^2-0,04y^2}$

Тепер об’єднаємо отримані спрощені вирази.

$\dfrac{0,2y}{x^2-0,04y^2}-\dfrac{x}{x^2-0,04y^2} = \dfrac{0,2y-x}{x^2-0,04y^2}$

Розкладемо знаменник за формулою різниці квадратів і винесемо мінус у чисельнику:

$\dfrac{-(x-0,2y)}{(x-0,2y)(x+0,2y)} = \dfrac{-1}{x+0,2y}$

Підставимо значення $x=-10$ та $y=49$ у спрощений вираз.

$\dfrac{-1}{-10+0,2 \cdot 49} = \dfrac{-1}{-10+9,8} = \dfrac{-1}{-0,2} = 5$

4.45. Чи існує таке значення х, для якого значення виразу дорівнює нулю?

$\dfrac{1}{2-x}-\dfrac{1}{2+x}-\dfrac{x}{4-x^2} + \dfrac{x^2+4}{2x^3-8x} =$
$= \dfrac{2+x-(2-x)-x}{4-x^2} + \dfrac{x^2+4}{2x(x^2-4)} =$
$= \dfrac{2+x-2+x-x}{4-x^2}-\dfrac{x^2+4}{2x(4-x^2)} =$
$= \dfrac{2x^2-(x^2+4)}{2x(4-x^2)} = \dfrac{2x^2-x^2-4}{2x(4-x^2)} =$
$= \dfrac{x^2-4}{2x(4-x^2)} = \dfrac{x^2-4}{-2x(x^2-4)} = -\dfrac{1}{2x}$

Рівняння $-\dfrac{1}{2x} = 0$ розв’язків не має, тому не існує такого значення x, при якому початковий вираз дорівнює нулю.

Вправи для повторення

4.46. Скільки кілограмів солі міститься у 60 кг її 5-відсоткового розчину?

Щоб знайти масу солі, потрібно знайти 5% від загальної маси розчину.

$60 \cdot \dfrac{5}{100} = 60 \cdot 0,05 = 3$ (кг)

4.47. З двох міст одночасно назустріч одна одній виїхали дві велосипедистки. Відстань між містами становить s км, швидкості велосипедисток v₁ км/год і v₂ км/год. Через t год вони зустрілися. Складіть формулу для обчислення t. Знайдіть значення t, якщо s = 150 км, v₁ = 12 км/год, v₂ = 13 км/год.

Коли два об’єкти рухаються назустріч один одному, їхня швидкість зближення дорівнює сумі їхніх швидкостей.

$v_{зближення} = v_1 + v_2$

Час, через який вони зустрінуться, дорівнює відстані, поділеній на швидкість зближення.

$t = \dfrac{s}{v_1+v_2}$

Тепер підставимо у формулу задані значення.

$t = \dfrac{150}{12+13} = \dfrac{150}{25} = 6$ (год)

4.48. Відомо, що $\dfrac{x}{y} = 3$ . Знайдіть значення дробу:

Для розв’язання цього завдання ми можемо виразити $x$ через $y$ з умови $\dfrac{x}{y}=3$ , що дає $x = 3y$ . Потім підставимо цей вираз у кожен дріб. Інший спосіб — почленно розділити чисельник на знаменник.

$\dfrac{x+y}{y}$

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{y} = 3 + 1 = 4$

$\dfrac{x-y}{y}$

$\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{y} = 3-1 = 2$

$\dfrac{x+7y}{y}$

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{7y}{y} = 3 + 7 = 10$

$\dfrac{x^2+2xy}{xy}$

$\dfrac{x^2}{xy} + \dfrac{2xy}{xy} = \dfrac{x}{y} + 2 = 3 + 2 = 5$

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

4.49. Виконайте множення:

Щоб перемножити дроби, скорочуємо чисельник першого дробу (4) і знаменник другого (16) на 4. Також скорочуємо знаменник першого (5) і чисельник другого (15) на 5.

$\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{15}{16} = \dfrac{4 \cdot 15}{5 \cdot 16} = \dfrac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \dfrac{3}{4}$

Спочатку перетворюємо мішане число $1\dfrac{5}{9}$ у неправильний дріб, а потім виконуємо множення, скоротивши дроби.

$1\dfrac{5}{9} = \dfrac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \dfrac{14}{9}$
$\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{3 \cdot 14}{7 \cdot 9} = \dfrac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}$

Перетворюємо обидва мішані числа ( $2\dfrac{2}{3}$ і $3\dfrac{3}{4}$ ) в неправильні дроби, а потім множимо, попередньо скоротивши.

$2\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \dfrac{8}{3}$
$3\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \dfrac{15}{4}$
$\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{15}{4} = \dfrac{8 \cdot 15}{3 \cdot 4} = \dfrac{2 \cdot 5}{1 \cdot 1} = 10$

Перетворюємо всі мішані числа в неправильні дроби, а потім перемножуємо, скорочуючи однакові множники.

$7\dfrac{1}{7} = \dfrac{50}{7}$
$2\dfrac{1}{5} = \dfrac{11}{5}$
$3\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$
$\dfrac{50}{7} \cdot \dfrac{11}{5} \cdot \dfrac{7}{2} = \dfrac{50 \cdot 11 \cdot 7}{7 \cdot 5 \cdot 2} = \dfrac{50 \cdot 11}{10} = 5 \cdot 11 = 55$

4.50. Обчисліть:

Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня і чисельник, і знаменник.

$(\dfrac{1}{7})^2 = \dfrac{1^2}{7^2} = \dfrac{1}{49}$

Квадрат від’ємного числа є додатним.

$(-\dfrac{4}{5})^2 = \dfrac{(-4)^2}{5^2} = \dfrac{16}{25}$

Куб від’ємного числа є від’ємним.

$(-\dfrac{1}{5})^3 = \dfrac{(-1)^3}{5^3} = -\dfrac{1}{125}$

Спочатку перетворюємо мішане число на неправильний дріб, а потім підносимо до степеня.

$1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
$(\dfrac{3}{2})^3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{27}{8}$

Життєва математика

4.51. Після уроків у класах школи зібрано 0,7 кг паперового сміття.

1) Якщо учні школи залишатимуть щодня таку кількість паперу, то скільки його пропаде за 190 навчальних днів в одній школі? У 20 школах району?

Щоб дізнатися, скільки паперу зберуть в одній школі, помножимо денну кількість на кількість навчальних днів.

$0,7 \text{ кг} \cdot 190 \text{ днів} = 133 \text{ кг}$

Щоб дізнатися, скільки зберуть у 20 школах, помножимо результат для однієї школи на 20.

$133 \text{ кг} \cdot 20 \text{ шкіл} = 2660 \text{ кг}$

Відповідь: 133 кг в одній школі; 2660 кг у 20 школах району.

2) Для виробництва 1 т паперу потрібно приблизно 900 м² лісу. Якщо учні шкіл району здадуть усі паперові відходи за рік, то скільки м² лісу вони збережуть від вирубування?

Спочатку переведемо масу зібраного паперу з кілограмів у тонни. В 1 тонні 1000 кг.

$2660 \text{ кг} = 2,66 \text{ т}$

Тепер помножимо цю масу на площу лісу, що зберігається при переробці 1 тонни паперу.

$2,66 \text{ т} \cdot 900 \dfrac{\text{м}^2}{\text{т}} = 2394 \text{ м}^2$

Відповідь: учні збережуть 2394 м² лісу.

3) Проєктна діяльність. Як можна використати паперові відходи? Завітайте в сусідні супермаркети або крамниці з промисловими та канцелярськими товарами і складіть список товарів, які виробляють з макулатури.

Ось кілька ідей:

Як використати паперові відходи: з них можна робити вироби в техніці пап’є-маше, створювати аплікації, використовувати як матеріал для скрапбукінгу або навіть виготовляти новий папір у домашніх умовах.

Товари з макулатури: у магазинах можна знайти багато товарів, виготовлених з переробленого паперу. Наприклад:

Туалетний папір та паперові рушники.
Картонні коробки для пакування.
Лотки для яєць.
Зошити та блокноти.
Папір для друку з позначкою “recycled”.
Еко-ручки (корпус яких зроблено з картону).

Цікаві задачі – поміркуй одначе

4.52. Для шкільної актової зали придбали люстру на 31 лампочку. Адміністрація школи хоче мати можливість умикати будь-яку їх кількість, від 1 до 31. Яка найменша кількість звичайних вимикачів для цього знадобиться?

Це логічна задача. Щоб мати можливість увімкнути будь-яку кількість лампочок від 1 до 31, потрібно згрупувати їх за степенями двійки. Кожен вимикач буде керувати однією такою групою.

1-й вимикач керує групою з $1$ лампочки ( $2^0=1$ ).
2-й вимикач керує групою з $2$ лампочок ( $2^1=2$ ).
3-й вимикач керує групою з $4$ лампочок ( $2^2=4$ ).
4-й вимикач керує групою з $8$ лампочок ( $2^3=8$ ).
5-й вимикач керує групою з $16$ лампочок ( $2^4=16$ ).

Загальна кількість лампочок у цих групах:

$1+2+4+8+16 = 31$

Комбінуючи ці вимикачі, можна отримати будь-яке число від 1 до 31. Наприклад, щоб увімкнути 13 лампочок, потрібно увімкнути вимикачі, що керують групами з 8, 4 та 1 лампочки ( $8+4+1=13$ ). Щоб увімкнути 21 лампочку, потрібно увімкнути вимикачі для груп 16, 4 та 1 ( $16+4+1=21$ ).

Відповідь: знадобиться 5 вимикачів.

§4. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками (4.1-4.52)

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

Вправи для повторення

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу

Життєва математика

Цікаві задачі – поміркуй одначе

Теги статті:

До уроку