ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

ЗАВДАННЯ

Використовуючи знайдені значення виразів, розшифруйте прізвище сучасної української математикині, докторки фізико-математичних наук, членкині-кореспондентки Національної академії наук України, лауреатки премії імені Ю. О. Митропольського. Номер завдання відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові.

За результатами обчислень отримано відповідність літер та їх позицій у слові:

Щ
Е
Р
Б
$(\frac{1}{2} 6)^{2} = \frac{1}{4} \cdot 6 = 1, 5 \to$ И
$\frac{18}{6} = \frac{18 6}{6} = 36 \to$ Н
$(6 - 3)^{2} - 3 = ∣ 6 - 3∣ - 3 = (3 - 6) - 3 = - 6 \to$ А

Розшифроване прізвище: ЩЕРБИНА (Марія Володимирівна Щербина).

Відповідь: ЩЕРБИНА.

Знайдіть в інтернеті інформацію про наукову діяльність цієї математикині та про те, якими ще преміями відзначені її досягнення.

Марія Володимирівна Щербина — українська математикиня, докторка фізико-математичних наук, членкиня-кореспондентка НАН України. Працює у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України.

Основні напрями її наукової діяльності:

математична фізика та статистична механіка;
теорія випадкових матриць великих розмірів;
спектральна теорія операторів і теорія ймовірностей.

Нагороди та премії:

Державна премія України в галузі науки і техніки;
Премія НАН України імені М. В. Остроградського;
Премія НАН України імені М. О. Лаврентьєва;
Премія НАН України імені Ю. О. Митропольського.

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1. Порівняйте числа $a$ і $b$ , якщо $a - b = - 3, 6$ .
А) $a > b$ ;
Б) $a < b$ ;
В) $a = b$ ;
Г) порівняти неможливо.

За означенням порівняння чисел: якщо різниця $a - b < 0$ , то $a < b$ . Оскільки $a - b = - 3, 6 < 0$ , маємо $a < b$ .

Відповідь: Б) $a < b$ .

2. Відомо, що $m > n$ . Яке з наведених тверджень хибне?
А) $m - 2 > n - 2$ ;
Б) $2 m > 2 n$ ;
В) $m + 2 > n + 2$ ;
Г) $- 2 m > - 2 n$ .

За властивостями числових нерівностей:

При додаванні або відніманні одного й того самого числа знак нерівності не змінюється: $m - 2 > n - 2$ та $m + 2 > n + 2$ (істинні).
При множенні обох частин нерівності на додатне число $2$ знак зберігається: $2 m > 2 n$ (істинне).
При множенні обох частин нерівності $m > n$ на від’ємне число $- 2$ знак нерівності змінюється на протилежний: $- 2 m < - 2 n$ . Отже, твердження $- 2 m > - 2 n$ є хибним.

Відповідь: Г) $- 2 m > - 2 n$ .

3. Оцініть периметр $P$ рівностороннього трикутника зі стороною $a см$ , якщо $0, 8 < a < 1, 2$ .
А) $1, 6 см < P < 2, 4 см$ ;
Б) $2, 4 см < P < 3, 6 см$ ;
В) $3, 2 см < P < 4, 8 см$ ;
Г) $1, 2 см < P < 1, 8 см$ .

Периметр рівностороннього трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою $P = 3 a$ .
Помножимо кожну частину подвійної нерівності $0, 8 < a < 1, 2$ на $3$ :

$0, 8 \cdot 3 < 3 a < 1, 2 \cdot 3$

$2, 4 < P < 3, 6 (см)$

Відповідь: Б) $2, 4 см < P < 3, 6 см$ .

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

4. Відомо, що $2 < x < 3$ і $1 < y < 4$ . Оцініть значення виразу $x y$ .
А) $4 < x y < 8$ ;
Б) $3 < x y < 7$ ;
В) $2 < x y < 12$ ;
Г) $6 < x y < 14$ .

Оскільки всі частини заданих нерівностей є додатними числами, перемножимо їх почленно:

$2 \cdot 1 < x \cdot y < 3 \cdot 4$

$2 < x y < 12$

Відповідь: В) $2 < x y < 12$ .

5. Відомо, що $- 18 < y < 12$ . Оцініть значення виразу $\frac{1}{6} y + 2$ .
А) $- 3 < \frac{1}{6} y + 2 < 4$ ;
Б) $- 1 < \frac{1}{6} y + 2 < 4$ ;
В) $- 1 < \frac{1}{6} y + 2 < 2$ ;
Г) $- 3 < \frac{1}{6} y + 2 < 2$ .

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $\frac{1}{6}$ :

$- 18 \cdot \frac{1}{6} < \frac{1}{6} y < 12 \cdot \frac{1}{6}$

$- 3 < \frac{1}{6} y < 2$

Додамо до всіх частин нерівності число $2$ :

$- 3 + 2 < \frac{1}{6} y + 2 < 2 + 2$

$- 1 < \frac{1}{6} y + 2 < 4$

Відповідь: Б) $- 1 < \frac{1}{6} y + 2 < 4$ .

6. Дано: $a > 0$ , $b < 0$ . Яка з наведених нерівностей може бути правильною?
А) $a^{2} < b^{2}$ ;
Б) $\frac{a}{b} > 1$ ;
В) $a - b < 0$ ;
Г) $a^{2} b^{3} > 0$ .

Проаналізуємо кожен із варіантів:

Варіант А ( $a^{2} < b^{2}$ ): якщо взяти, наприклад, $a = 1$ та $b = - 2$ , отримаємо $1^{2} < (- 2)^{2} ⟹ 1 < 4$ , що є правильною числовою нерівністю. Отже, ця нерівність може бути правильною.
Варіант Б ( $\frac{a}{b} > 1$ ): оскільки $a > 0$ і $b < 0$ , частка додатного і від’ємного чисел завжди є від’ємною ( $\frac{a}{b} < 0$ ), тому вона не може бути більшою за $1$ .
Варіант В ( $a - b < 0$ ): віднімання від’ємного числа $b$ еквівалентне додаванню додатного числа $- b$ , тобто $a - b = a + (- b) > 0$ . Нерівність $a - b < 0$ неможлива.
Варіант Г ( $a^{2} b^{3} > 0$ ): оскільки $a^{2} > 0$ , а куб від’ємного числа $b^{3} < 0$ , їхній добуток завжди від’ємний ( $a^{2} b^{3} < 0$ ).

Відповідь: А) $a^{2} < b^{2}$ .

7. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є проміжок $(3; + \infty)$ ?
А) $x \geq 3$ ;
Б) $x \leq 3$ ;
В) $x > 3$ ;
Г) $x < 3$ .

Проміжок $(3; + \infty)$ містить усі дійсні числа, які строго більші за $3$ . Цій умові відповідає строга нерівність $x > 3$ .

Відповідь: В) $x > 3$ .

8. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності $\frac{3 x - 5}{2} > \frac{8 - x}{3}$ .
А) $2$ ;
Б) $3$ ;
В) $4$ ;
Г) визначити неможливо.

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $6$ :

$3 (3 x - 5) > 2 (8 - x)$

Розкриємо дужки:

$9 x - 15 > 16 - 2 x$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числові доданки — в праву:

$9 x + 2 x > 16 + 15$

$11 x > 31$

$x > \frac{31}{11}$

$x > 2 \frac{9}{11}$

Цілими розв’язками є числа $3, 4, 5, \dots$ . Найменшим серед них є число $3$ .

Відповідь: Б) $3$ .

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

9. Чому дорівнює добуток натуральних чисел, які належать області визначення виразу $14 - 3 x$ ?

Область визначення арифметичного квадратного кореня вимагає, щоб підкореневий вираз був невід’ємним:

$14 - 3 x \geq 0$

$- 3 x \geq - 14$

$x \leq \frac{14}{3}$

$x \leq 4 \frac{2}{3}$

Знайдемо всі натуральні числа ( $x \in N$ ), які задовольняють отриману нерівність:

$x \in {1; 2; 3; 4}$

Обчислимо добуток цих чисел:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Відповідь: Г) 24.

10. Яка з наведених систем нерівностей не має розв’язків?

Проаналізуємо множину розв’язків кожної із систем:

А) ${x \geq - 3 x \leq - 2 ⟹ x \in [- 3; - 2]$ ;
Б) ${x > - 3 x > - 2 ⟹ x \in (- 2; + \infty)$ ;
В) ${x \geq - 3 x \leq - 3 ⟹ x = - 3$ ;
Г) ${x \geq - 2 x \leq - 3 ⟹ [- 2; + \infty) \cap (- \infty; - 3] = \emptyset$ .

Оскільки не існує числа, яке одночасно є більшим або рівним $- 2$ та меншим або рівним $- 3$ , система Г не має розв’язків.

Відповідь: Г) ${x \geq - 2, x \leq - 3.$

11. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей ${x - 1 > 2 x - 3, 4 x + 5 > x + 17.$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$x - 1 > 2 x - 3 ⟹ x - 2 x > - 3 + 1 ⟹ - x > - 2 ⟹ x < 2$ ;
$4 x + 5 > x + 17 ⟹ 4 x - x > 17 - 5 ⟹ 3 x > 12 ⟹ x > 4$ .

Отримуємо систему:

${x < 2, x > 4.$

Перетин числових проміжків $(- \infty; 2) \cap (4; + \infty) = \emptyset$ , отже, система не має розв’язків.

Відповідь: А) $\emptyset$ .

12. Який із зображених числових проміжків відповідає множині розв’язків системи нерівностей ${8 - 7 x > 3 x - 2, - 2 (3 x - 2, 6) \leq - 2 \cdot (- 2, 6)$ ?

Розв’яжемо систему нерівностей:

Перша нерівність:
$8 - 7 x > 3 x - 2$
$- 7 x - 3 x > - 2 - 8$
$- 10 x > - 10$
$x < 1$
Друга нерівність:
$- 2 (3 x - 2, 6) \leq - 2 \cdot (- 2, 6)$
Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:
$3 x - 2, 6 \geq - 2, 6$
$3 x \geq 0$
$x \geq 0$

Знайдемо перетин розв’язків:

$
\begin{cases} x < 1, \ x \ge 0 \end{cases} \implies x \in [0; 1)$$

На числовій прямій цьому проміжку відповідає зафарбована точка $0$ та виколота точка $1$ (варіант А).

Відповідь: А.

13. Розв’яжіть нерівність $- 1 < \frac{1 - 2 x}{5} < 3$ .

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $5$ :

$- 5 < 1 - 2 x < 15$

Віднімемо $1$ від кожної частини нерівності:

$- 5 - 1 < - 2 x < 15 - 1$

$- 6 < - 2 x < 14$

Поділимо всі частини на $- 2$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$\frac{- 6}{- 2} > x > \frac{14}{- 2}$

$3 > x > - 7 ⟺ - 7 < x < 3$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- 7; 3)$ .

Відповідь: Б) $(- 7; 3)$ .

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

14. При яких значеннях $a$ рівняння $2 x^{2} + 6 x + a = 0$ не має коренів?
А) $a < 4, 5$ ;
Б) $a > 4, 5$ ;
В) $a > - 4, 5$ ;
Г) $a < - 4, 5$ .

Квадратне рівняння не має коренів тоді, коли його дискримінант є від’ємним ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$D = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot a = 36 - 8 a$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$36 - 8 a < 0$

$- 8 a < - 36$

$a > \frac{- 36}{- 8}$

$a > 4, 5$

Відповідь: Б) $a > 4, 5$ .

15. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною її розв’язків (А–Д).

Нерівність:
1) $- 3 x + 8 \geq 5$
2) $2 x + 4 \geq 0, 5 (4 x - 2)$
3) $4 x - 6 \geq 7 x - 3$

Множина розв’язків:
А) $(- \infty; + \infty)$
Б) $(- \infty; 1]$
В) $[1; + \infty)$
Г) $(- \infty; - 1]$
Д) $\emptyset$

Розв’яжемо кожну нерівність:

$- 3 x + 8 \geq 5$

$- 3 x \geq 5 - 8$

$- 3 x \geq - 3$

$x \leq 1$
Множина розв’язків: $(- \infty; 1]$ (відповідає варіанту Б).

$2 x + 4 \geq 0, 5 (4 x - 2)$

$2 x + 4 \geq 2 x - 1$

$2 x - 2 x \geq - 1 - 4$

$0 x \geq - 5$
Нерівність $0 \geq - 5$ є правильною для будь-якого дійсного значення $x$ .
Множина розв’язків: $(- \infty; + \infty)$ (відповідає варіанту А).

$4 x - 6 \geq 7 x - 3$

$4 x - 7 x \geq - 3 + 6$

$- 3 x \geq 3$

$x \leq - 1$
Множина розв’язків: $(- \infty; - 1]$ (відповідає варіанту Г).

Нерівність	Множина розв’язків
1) $- 3 x + 8 \geq 5$	Б $(- \infty; 1]$
2) $2 x + 4 \geq 0, 5 (4 x - 2)$	А $(- \infty; + \infty)$
3) $4 x - 6 \geq 7 x - 3$	Г $(- \infty; - 1]$

Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г.

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

Теги статті:

До уроку