6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною

1. Що називають областю визначення виразу?

Областю визначення виразу називають множину всіх допустимих значень змінної, тобто всіх значень змінної, при яких цей вираз має зміст.

2. У яких випадках говорять, що треба розв’язати систему нерівностей?

Якщо треба знайти всі спільні розв’язки двох або кількох нерівностей, то говорять, що треба розв’язати систему нерівностей.

3. Що називають розв’язком системи нерівностей з однією змінною?

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює кожну нерівність системи в правильну числову нерівність.

4. Що означає розв’язати систему нерівностей?

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає (тобто знайти множину її розв’язків).

ВПРАВИ

6.1.° Які із чисел –6; –5; 0; 2; 4 є розв’язками системи нерівностей:

${x - 2 < 0, - 2 x ⩽ 10$ ?

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

З першої нерівності:

$x - 2 < 0 ⟹ x < 2$
2. З другої нерівності (поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний):

$- 2 x \leq 10 ⟹ x \geq - 5$

Множиною розв’язків даної системи є числовий проміжок $[- 5; 2)$ , тобто подвійна нерівність:

$- 5 \leq x < 2$

Зобразимо множину розв’язків на координатній прямій:

Перевіримо задані числа на належність проміжку $[- 5; 2)$ :

Число $- 6$ : $- 6 < - 5$ , отже, не належить проміжку.
Число $- 5$ : $- 5 \leq - 5 < 2$ , отже, належить проміжку (перетворює обидві нерівності у правильні: $- 5 - 2 = - 7 < 0$ та $- 2 \cdot (- 5) = 10 \leq 10$ ).
Число $0$ : $- 5 \leq 0 < 2$ , отже, належить проміжку (перетворює обидві нерівності у правильні: $0 - 2 = - 2 < 0$ та $- 2 \cdot 0 = 0 \leq 10$ ).
Число $2$ : $2 < 2$ — хибно, отже, не належить проміжку.
Число $4$ : $4 < 2$ — хибно, отже, не належить проміжку.

Відповідь: розв’язками системи є числа $- 5$ і $0$ .

6.2.° Розв’язком якої із систем нерівностей є число –3:
1) ${x \geq - 3, x \geq 6;$
2) ${x < - 4, x < 8;$
3) ${x > - 4, x < 8;$
4) ${x + 1 > - 1, x - 2 < 0$ ?

Підставимо значення $x = - 3$ у кожну із систем нерівностей і перевіримо правильність числових нерівностей:

${- 3 \geq - 3, - 3 \geq 6$ — перша нерівність є правильною ( $- 3 \geq - 3$ ), а друга — неправильною ( $- 3 \geq 6$ ). Отже, число $- 3$ не є розв’язком даної системи.
${- 3 < - 4, - 3 < 8$ — перша нерівність є неправильною ( $- 3 < - 4$ ), друга — правильною ( $- 3 < 8$ ). Отже, число $- 3$ не є розв’язком даної системи.
${- 3 > - 4, - 3 < 8$ — обидві нерівності є правильними ( $- 3 > - 4$ та $- 3 < 8$ ). Отже, число $- 3$ є розв’язком цієї системи.
${- 3 + 1 > - 1, - 3 - 2 < 0 ⟹ {- 2 > - 1, - 5 < 0$ — перша нерівність є неправильною ( $- 2 > - 1$ ), друга — правильною ( $- 5 < 0$ ). Отже, число $- 3$ не є розв’язком даної системи.

Відповідь: 3) ${x > - 4, x < 8$ .

6.3.° Зобразіть на координатній прямій проміжок:
1) $(- 3; 4)$ ;
2) $[- 3; 4]$ ;
3) $[- 3; 4)$ ;
4) $(- 3; 4]$ .

Проміжок $(- 3; 4)$ — інтервал (обидва кінці не належать проміжку, точки виколоті):

Проміжок $[- 3; 4]$ — відрізок (обидва кінці належать проміжку, точки зафарбовані):

Проміжок $[- 3; 4)$ — півінтервал (лівий кінець належить проміжку, правий — не належить):

Проміжок $(- 3; 4]$ — півінтервал (лівий кінець не належить проміжку, правий — належить):

6.4.° Зобразіть на координатній прямій проміжок:
1) [–2; 1];
2) (0; 2);
3) (–5; 6];
4) [–7; –1).

Проміжок $[- 2; 1]$ :

Проміжок $(0; 2)$ :

Проміжок $(- 5; 6]$ :

Проміжок $[- 7; - 1)$ :

6.5.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:
1) 0 < x < 5;
2) 0,2 \leqslant x < 102;
3) -2,4 \leqslant x \leqslant -1.

Нерівність $0 < x < 5$ задає інтервал $(0; 5)$ .

Відповідь: $(0; 5)$ .

Нерівність $0, 2 \leq x < 102$ задає півінтервал $[0, 2; 102)$ .

Відповідь: $[0, 2; 102)$ .

Нерівність $- 2, 4 \leq x \leq - 1$ задає відрізок $[- 2, 4; - 1]$ .

Відповідь: $[- 2, 4; - 1]$ .

6.6.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:
1) 1 \leqslant x \leqslant 3;
2) 6 < x \leqslant 7;
3) -0,3 < x < 0,5.

Нерівність $1 \leq x \leq 3$ задає відрізок $[1; 3]$ .

Відповідь: $[1; 3]$ .

Нерівність $6 < x \leq 7$ задає півінтервал $(6; 7]$ .

Відповідь: $(6; 7]$ .

Нерівність $- 0, 3 < x < 0, 5$ задає інтервал $(- 0, 3; 0, 5)$ .

Відповідь: $(- 0, 3; 0, 5)$ .

6.7.° Запишіть усі цілі числа, які належать проміжку:
1) $[3; 7]$ ;
2) $(2, 9; 6]$ ;
3) $[- 5, 2; 1)$ ;
4) $(- 2; 2)$ .

Проміжок $[3; 7]$ містить кінці відрізка. Цілі числа, що належать цьому проміжку: $3, 4, 5, 6, 7$ .
Проміжок $(2, 9; 6]$ не містить число $2, 9$ , але містить число $6$ . Найменшим цілим числом, більшим за $2, 9$ , є $3$ . Цілі числа, що належать цьому проміжку: $3, 4, 5, 6$ .
Проміжок $[- 5, 2; 1)$ містить числа від $- 5, 2$ включно до $1$ (не включаючи $1$ ). Цілі числа, що належать цьому проміжку: $- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0$ .
Інтервал $(- 2; 2)$ не містить кінці $- 2$ та $2$ . Цілі числа, що належать цьому проміжку: $- 1, 0, 1$ .

Відповідь:

$3, 4, 5, 6, 7$ ;
$3, 4, 5, 6$ ;
$- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0$ ;
$- 1, 0, 1$ .

6.8.° Укажіть найменше і найбільше цілі числа, які належать проміжку:
1) $[- 12; - 6]$ ;
2) $(5; 11]$ ;
3) $(- 10, 8; 1, 6]$ ;
4) $[- 7, 8; - 2, 9]$ .

Відрізок $[- 12; - 6]$ : найменше ціле число дорівнює $- 12$ , найбільше ціле число дорівнює $- 6$ .
Проміжок $(5; 11]$ : число $5$ не входить у проміжок, тому найменше ціле число дорівнює $6$ ; число $11$ входить у проміжок, тому найбільше ціле число дорівнює $11$ .
Проміжок $(- 10, 8; 1, 6]$ : найменше ціле число, більше за $- 10, 8$ , дорівнює $- 10$ ; найбільше ціле число, що не перевищує $1, 6$ , дорівнює $1$ .
Відрізок $[- 7, 8; - 2, 9]$ : найменше ціле число, більше або рівне $- 7, 8$ , дорівнює $- 7$ ; найбільше ціле число, менше або рівне $- 2, 9$ , дорівнює $- 3$ .

Відповідь:

найменше: $- 12$ , найбільше: $- 6$ ;
найменше: $6$ , найбільше: $11$ ;
найменше: $- 10$ , найбільше: $1$ ;
найменше: $- 7$ , найбільше: $- 3$ .

6.9.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть перетин проміжків:
1) $[- 1; 7]$ і $[4; 9]$ ;
2) $[3; 6]$ і $(3; 8)$ ;
3) $(- \infty; 3, 4)$ і $(2, 5; + \infty)$ ;
4) $(- \infty; 2, 6)$ і $(2, 8; + \infty)$ ;
5) $[9; + \infty)$ і $[11, 5; + \infty)$ ;
6) $(- \infty; - 4, 2]$ і $(- \infty; - 1, 3)$ .

$[- 1; 7] \cap [4; 9] = [4; 7]$

$[3; 6] \cap (3; 8) = (3; 6]$

$(- \infty; 3, 4) \cap (2, 5; + \infty) = (2, 5; 3, 4)$

$(- \infty; 2, 6) \cap (2, 8; + \infty) = \emptyset$

$[9; + \infty) \cap [11, 5; + \infty) = [11, 5; + \infty)$

$(- \infty; - 4, 2] \cap (- \infty; - 1, 3) = (- \infty; - 4, 2]$

Відповідь:

$[4; 7]$ ;
$(3; 6]$ ;
$(2, 5; 3, 4)$ ;
$\emptyset$ ;
$[11, 5; + \infty)$ ;
$(- \infty; - 4, 2]$ .

6.10.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть перетин проміжків:
1) $[- 2; 3)$ і $[- 4; 1)$ ;
2) $(- \infty; 5]$ і $(2; 6)$ ;
3) $(10; + \infty)$ і $(12; + \infty)$ ;
4) $(- \infty; 8)$ і $(4; + \infty)$ .

$[- 2; 3) \cap [- 4; 1) = [- 2; 1)$

$(- \infty; 5] \cap (2; 6) = (2; 5]$

$(10; + \infty) \cap (12; + \infty) = (12; + \infty)$

$(- \infty; 8) \cap (4; + \infty) = (4; 8)$

Відповідь:

$[- 2; 1)$ ;
$(2; 5]$ ;
$(12; + \infty)$ ;
$(4; 8)$ .

6.11.° Укажіть на рисунку 6.7 зображення множини розв’язків системи нерівностей ${x > - 1, x ⩽ 6.$

Розв’язком нерівності $x > - 1$ є числовий проміжок $(- 1; + \infty)$ (на координатній прямій точка $- 1$ виколота, штриховка праворуч від $- 1$ ).

Розв’язком нерівності $x ⩽ 6$ є числовий проміжок $(- \infty; 6]$ (на координатній прямій точка $6$ зафарбована, штриховка ліворуч від $6$ ).

Множиною розв’язків системи є перетин даних проміжків: $(- 1; + \infty) \cap (- \infty; 6] = (- 1; 6]$ .

На рисунку 6.7 цьому відповідає варіант в, де точка $- 1$ виколота, точка $6$ зафарбована, а штриховка показує спільну частину між ними.

Відповідь: рисунок 6.7, в.

6.12.° Укажіть на рисунку 6.8 зображення множини розв’язків подвійної нерівності $- 4 ⩽ x ⩽ 2$ .

Подвійна нерівність $- 4 ⩽ x ⩽ 2$ задає числовий відрізок $[- 4; 2]$ . На координатній прямій обидва кінці проміжку позначаються зафарбованими (невиколотими) точками, оскільки знаки нерівності є нестрогими ( $⩽$ ), а розв’язки знаходяться між ними і з’єднуються дугою або штриховкою. Цьому повністю відповідає рисунок під літерою б.

Відповідь: б.

6.13.° Який із наведених проміжків є множиною розв’язків системи нерівностей ${x > - 1, x > 2 :$ 1) $(- \infty; - 1)$ ; 2) $(- 1; 2)$ ; 3) $(2; + \infty)$ ; 4) $(- 1; + \infty)$ ?

Розв’язком першої нерівності $x > - 1$ є проміжок $(- 1; + \infty)$ .
Розв’язком другої нерівності $x > 2$ є проміжок $(2; + \infty)$ .
Знайдемо перетин цих числових проміжків:

$(- 1; + \infty) \cap (2; + \infty) = (2; + \infty)$

Відповідь: 3) $(2; + \infty)$ .

6.14.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть множину розв’язків системи нерівностей:

1) ${x ⩽ 2, x ⩽ - 1;$

Перетином проміжків $(- \infty; 2]$ та $(- \infty; - 1]$ є проміжок $(- \infty; - 1]$ .

Відповідь: $(- \infty; - 1]$ .

2) ${x ⩽ 2, x > - 1;$

Перетином проміжків $(- \infty; 2]$ та $(- 1; + \infty)$ є проміжок $(- 1; 2]$ .

Відповідь: $(- 1; 2]$ .

3) ${x < 2, x ⩾ - 1;$

Перетином проміжків $(- \infty; 2)$ та $[- 1; + \infty)$ є проміжок $[- 1; 2)$ .

Відповідь: $[- 1; 2)$ .

4) ${x ⩽ 2, x < - 1;$

Перетином проміжків $(- \infty; 2]$ та $(- \infty; - 1)$ є проміжок $(- \infty; - 1)$ .

Відповідь: $(- \infty; - 1)$ .

5) ${x > 2, x ⩾ - 1;$

Перетином проміжків $(2; + \infty)$ та $[- 1; + \infty)$ є проміжок $(2; + \infty)$ .

Відповідь: $(2; + \infty)$ .

6) ${x > 2, x ⩽ - 1;$

Проміжки $(2; + \infty)$ та $(- \infty; - 1]$ не мають спільних точок, тому система не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

7) ${x ⩾ 2, x ⩽ 2;$

Єдиним спільним значенням обох нерівностей є число $2$ .

Відповідь: ${2}$ (або $x = 2$ ).

8) ${x ⩾ 2, x < 2;$

Проміжки $[2; + \infty)$ та $(- \infty; 2)$ не перетинаються, оскільки число $2$ не належить другому проміжку.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

6.15.° Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${x - 4 < 0, 2 x ⩾ - 6;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$⎩ ⎨ ⎧ x < 4, x ⩾ \frac{- 6}{2}; ⟹ {x < 4, x ⩾ - 3.$
Перетином проміжків $(- \infty; 4)$ та $[- 3; + \infty)$ є числовий проміжок $[- 3; 4)$ .

Відповідь: $[- 3; 4)$ .

2) ${x - 2 > 3, - 3 x < - 12;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$⎩ ⎨ ⎧ x > 3 + 2, x > \frac{- 12}{- 3}; ⟹ {x > 5, x > 4.$
Перетином проміжків $(5; + \infty)$ та $(4; + \infty)$ є числовий проміжок $(5; + \infty)$ .

Відповідь: $(5; + \infty)$ .

3) ${6 x + 3 ⩾ 0, 7 - 4 x < 7;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${6 x ⩾ - 3, - 4 x < 7 - 7; ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ x ⩾ - \frac{3}{6}, - 4 x < 0; ⟹ {x ⩾ - 0, 5, x > 0.$
Перетином проміжків $[- 0, 5; + \infty)$ та $(0; + \infty)$ є числовий проміжок $(0; + \infty)$ .

Відповідь: $(0; + \infty)$ .

4) ${x - 2 < 1 + 3 x, 5 x - 7 ⩽ x + 9;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${x - 3 x < 1 + 2, 5 x - x ⩽ 9 + 7; ⟹ {- 2 x < 3, 4 x ⩽ 16; ⟹ {x > - 1, 5, x ⩽ 4.$
Перетином проміжків $(- 1, 5; + \infty)$ та $(- \infty; 4]$ є числовий проміжок $(- 1, 5; 4]$ .

Відповідь: $(- 1, 5; 4]$ .

5) ${3 x - 6 ⩽ x - 1, 11 x + 13 < x + 3;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${3 x - x ⩽ - 1 + 6, 11 x - x < 3 - 13; ⟹ {2 x ⩽ 5, 10 x < - 10; ⟹ {x ⩽ 2, 5, x < - 1.$
Перетином проміжків $(- \infty; 2, 5]$ та $(- \infty; - 1)$ є числовий проміжок $(- \infty; - 1)$ .

Відповідь: $(- \infty; - 1)$ .

6) ${4 x + 19 ⩽ 5 x - 1, 10 x < 3 x + 21;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${4 x - 5 x ⩽ - 1 - 19, 10 x - 3 x < 21; ⟹ {- x ⩽ - 20, 7 x < 21; ⟹ {x ⩾ 20, x < 3.$
Оскільки проміжки $[20; + \infty)$ та $(- \infty; 3)$ не мають спільних точок, система не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

6.16.° Розв’яжіть систему нерівностей:

1) ${- 4 x ⩽ - 12, x + 2 > 6;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$⎩ ⎨ ⎧ x ⩾ \frac{- 12}{- 4}, x > 6 - 2; ⟹ {x ⩾ 3, x > 4.$
Перетином проміжків $[3; + \infty)$ та $(4; + \infty)$ є числовий проміжок $(4; + \infty)$ .

Відповідь: $(4; + \infty)$ .

2) ${8 - x ⩾ 5, x - 7 ⩽ 2;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${- x ⩾ 5 - 8, x ⩽ 2 + 7; ⟹ {- x ⩾ - 3, x ⩽ 9; ⟹ {x ⩽ 3, x ⩽ 9.$
Перетином проміжків $(- \infty; 3]$ та $(- \infty; 9]$ є числовий проміжок $(- \infty; 3]$ .

Відповідь: $(- \infty; 3]$ .

3) ${3 x - 3 < 5 x, 7 x - 10 < 5 x;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${3 x - 5 x < 3, 7 x - 5 x < 10; ⟹ {- 2 x < 3, 2 x < 10; ⟹ {x > - 1, 5, x < 5.$
Перетином проміжків $(- 1, 5; + \infty)$ та $(- \infty; 5)$ є числовий проміжок $(- 1, 5; 5)$ .

Відповідь: $(- 1, 5; 5)$ .

4) ${2 - 3 x < 4 x - 12, 7 + 3 x ⩾ 2 x + 10;$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

${- 3 x - 4 x < - 12 - 2, 3 x - 2 x ⩾ 10 - 7; ⟹ {- 7 x < - 14, x ⩾ 3; ⟹ {x > 2, x ⩾ 3.$
Перетином проміжків $(2; + \infty)$ та $[3; + \infty)$ є числовий проміжок $[3; + \infty)$ .

Відповідь: $[3; + \infty)$ .

6.17.° Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) $- 3 < x - 4 < 7$ ;
2) $- 2, 4 \leq 3 x + 0, 6 \leq 3$ ;
3) $0, 8 \leq 6 - 2 x < 1, 4$ ;
4) $4 < \frac{x}{5} - 2 \leq 5$ .
Як ви думаєте, скількома способами можна розв’язати кожну із цих нерівностей? Обговоріть це питання у класі.

$- 3 < x - 4 < 7$
Додамо до кожної частини нерівності число $4$ :

$- 3 + 4 < x < 7 + 4$

$1 < x < 11$
Множиною розв’язків є інтервал $(1; 11)$ .

$- 2, 4 \leq 3 x + 0, 6 \leq 3$
Віднімемо від кожної частини нерівності число $0, 6$ :

$- 2, 4 - 0, 6 \leq 3 x \leq 3 - 0, 6$

$- 3 \leq 3 x \leq 2, 4$
Поділимо всі частини нерівності на $3$ :

$- 1 \leq x \leq 0, 8$
Множиною розв’язків є відрізок $[- 1; 0, 8]$ .

$0, 8 \leq 6 - 2 x < 1, 4$
Віднімемо від кожної частини нерівності число $6$ :

$0, 8 - 6 \leq - 2 x < 1, 4 - 6$

$- 5, 2 \leq - 2 x < - 4, 6$
Поділимо всі частини нерівності на $- 2$ , змінюючи знаки нерівностей на протилежні:

$2, 6 \geq x > 2, 3$

$2, 3 < x \leq 2, 6$
Множиною розв’язків є напівінтервал $(2, 3; 2, 6]$ .

$4 < \frac{x}{5} - 2 \leq 5$
Додамо до кожної частини нерівності число $2$ :

$4 + 2 < \frac{x}{5} \leq 5 + 2$

$6 < \frac{x}{5} \leq 7$
Помножимо всі частини нерівності на $5$ :

$30 < x \leq 35$
Множиною розв’язків є напівінтервал $(30; 35]$ .

Кожну з цих подвійних нерівностей можна розв’язати двома способами:

За допомогою рівносильних перетворень безпосередньо подвійної нерівності (використовуючи властивості числових нерівностей одночасно для трьох частин).
Шляхом переходу до рівносильної системи двох лінійних нерівностей з однією змінною та знаходження перетину їхніх множин розв’язків.

Відповідь:

$(1; 11)$ ;
$[- 1; 0, 8]$ ;
$(2, 3; 2, 6]$ ;
$(30; 35]$ ;
Нерівності можна розв’язати двома способами (шляхом прямого перетворення подвійної нерівності або зведенням до системи лінійних нерівностей).

6.18.° Розв’яжіть нерівність:
1) $2 < x + 10 \leq 14$ ;
2) $10 < 4 x - 2 < 18$ ;
3) $- 1, 8 \leq 1 - 7 x \leq 36$ ;
4) $1 \leq \frac{x + 1}{4} < 1, 5$ .

$2 < x + 10 \leq 14$
Віднімемо $10$ від усіх частин нерівності:

$2 - 10 < x \leq 14 - 10$

$- 8 < x \leq 4$

$x \in (- 8; 4]$

$10 < 4 x - 2 < 18$
Додамо $2$ до усіх частин нерівності:

$10 + 2 < 4 x < 18 + 2$

$12 < 4 x < 20$
Поділимо всі частини на $4$ :

$3 < x < 5$

$x \in (3; 5)$

$- 1, 8 \leq 1 - 7 x \leq 36$
Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$- 1, 8 - 1 \leq - 7 x \leq 36 - 1$

$- 2, 8 \leq - 7 x \leq 35$
Поділимо всі частини на $- 7$ , змінивши знаки нерівностей:

$0, 4 \geq x \geq - 5$

$- 5 \leq x \leq 0, 4$

$x \in [- 5; 0, 4]$

$1 \leq \frac{x + 1}{4} < 1, 5$
Помножимо всі частини нерівності на $4$ :

$4 \leq x + 1 < 6$
Віднімемо $1$ від усіх частин:

$3 \leq x < 5$

$x \in [3; 5)$

Відповідь:

$(- 8; 4]$ ;
$(3; 5)$ ;
$[- 5; 0, 4]$ ;
$[3; 5)$ .

6.19.• Скільки цілих розв’язків має система нерівностей ${- 2 x \geq - 15, 3 x > - 10$ ?

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$- 2 x \geq - 15 ⟹ x \leq \frac{- 15}{- 2} ⟹ x \leq 7, 5$
$3 x > - 10 ⟹ x > - \frac{10}{3} ⟹ x > - 3 \frac{1}{3}$

Маємо систему:

$⎩ ⎨ ⎧ x \leq 7, 5 x > - 3 \frac{1}{3}$

Спільним розв’язком системи є числовий проміжок:

$x \in (- 3 \frac{1}{3}; 7, 5]$

Знайдемо цілі числа, які належать цьому проміжку:

$- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

Підрахуємо кількість цілих чисел:

$7 - (- 3) + 1 = 11$

Відповідь: 11 цілих розв’язків.

6.20.• Знайдіть суму цілих розв’язків системи нерівностей ${x + 8 \geq 4, 5 x + 1 \leq 9.$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$x + 8 \geq 4 ⟹ x \geq 4 - 8 ⟹ x \geq - 4$
$5 x + 1 \leq 9 ⟹ 5 x \leq 9 - 1 ⟹ 5 x \leq 8 ⟹ x \leq 1, 6$

Маємо систему:

${x \geq - 4 x \leq 1, 6$

Множина розв’язків системи:

$x \in [- 4; 1, 6]$

Цілими розв’язками системи є числа:

$- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$

Обчислимо суму цих чисел:

$(- 4) + (- 3) + (- 2) + (- 1) + 0 + 1 = - 9$

Відповідь: $- 9$ .

6.21.• Скільки цілих розв’язків має нерівність $- 3 \leq 7 x - 5 < 16$ ?

Додамо $5$ до всіх частин нерівності:

$- 3 + 5 \leq 7 x < 16 + 5$

$2 \leq 7 x < 21$

Поділимо всі частини нерівності на $7$ :

$\frac{2}{7} \leq x < 3$

Множина розв’язків нерівності:

$x \in [\frac{2}{7}; 3)$

Оскільки $0 < \frac{2}{7} < 1$ , то цілими числами з проміжку $[\frac{2}{7}; 3)$ є тільки числа $1$ та $2$ .
Кількість цілих розв’язків дорівнює $2$ .

Відповідь: 2 цілих розв’язки.

6.22.• Знайдіть найменший цілий розв’язок системи нерівностей

{x + 8 ⩾ 17, \frac{x}{2} > 4, 5.

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$x + 8 ⩾ 17 ⟹ x ⩾ 17 - 8 ⟹ x ⩾ 9$ .
Помножимо обидві частини другої нерівності на $2$ :
$x > 4, 5 \cdot 2 ⟹ x > 9.$

Отримуємо систему:

{x ⩾ 9, x > 9.

Знайдемо перетин числових проміжків $[9; + \infty)$ та $(9; + \infty)$ :

$x \in (9; + \infty), тобто x > 9.$

Цілими розв’язками є числа $10, 11, 12, \dots$ . Найменшим серед них є число $10$ .

Відповідь: $10$ .

6.23.• Знайдіть найбільший цілий розв’язок системи нерівностей

{2 x + 1 < - 4, 3 x - 6 ⩽ - 12.

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$2 x + 1 < - 4 ⟹ 2 x < - 4 - 1 ⟹ 2 x < - 5 ⟹ x < - 2, 5$ .
$3 x - 6 ⩽ - 12 ⟹ 3 x ⩽ - 12 + 6 ⟹ 3 x ⩽ - 6 ⟹ x ⩽ - 2$ .

Отримуємо систему:

{x < - 2, 5, x ⩽ - 2.

Знайдемо перетин числових проміжків $(- \infty; - 2, 5)$ та $(- \infty; - 2]$ :

$x \in (- \infty; - 2, 5), тобто x < - 2, 5.$

Цілими розв’язками нерівності $x < - 2, 5$ є числа $- 3, - 4, - 5, \dots$ . Найбільшим серед них є число $- 3$ .

Відповідь: $- 3$ .

6.24.• Розв’яжіть систему нерівностей:

{8 (2 - x) - 2 x > 3, - 3 (6 x - 1) - x < 2 x;

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

$16 - 8 x - 2 x > 3 ⟹ 16 - 10 x > 3 ⟹ - 10 x > 3 - 16 ⟹ - 10 x > - 13 ⟹ x < 1, 3$ .
$- 18 x + 3 - x < 2 x ⟹ - 19 x + 3 < 2 x ⟹ - 19 x - 2 x < - 3 ⟹ - 21 x < - 3 ⟹ x > \frac{1}{7}$ .

Отримуємо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x < 1, 3, x > \frac{1}{7} .

Множиною розв’язків є перетин проміжків:

$x \in (\frac{1}{7}; 1, 3) .$

Відповідь: $(\frac{1}{7}; 1, 3)$ .

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 1}{4} - \frac{2 x + 3}{3} > 1, 6 (2 x - 1) < 5 (x - 4) - 7;

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на спільний знаменник $12$ :
$3 (x + 1) - 4 (2 x + 3) > 12,$
$3 x + 3 - 8 x - 12 > 12,$
$- 5 x - 9 > 12 ⟹ - 5 x > 21 ⟹ x < - 4, 2.$
Розкриємо дужки у другій нерівності:
$12 x - 6 < 5 x - 20 - 7,$
$12 x - 5 x < - 27 + 6,$
$7 x < - 21 ⟹ x < - 3.$

Отримуємо систему:

{x < - 4, 2, x < - 3.

Множиною розв’язків є перетин проміжків:

$x \in (- \infty; - 4, 2) .$

Відповідь: $(- \infty; - 4, 2)$ .

{2 (x + 11) ⩾ 3 (6 - x), (x - 3) (x + 6) ⩾ (x + 5) (x - 4);

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

$2 x + 22 ⩾ 18 - 3 x ⟹ 2 x + 3 x ⩾ 18 - 22 ⟹ 5 x ⩾ - 4 ⟹ x ⩾ - 0, 8$ .
Розкриємо дужки:
$x^{2} + 6 x - 3 x - 18 ⩾ x^{2} - 4 x + 5 x - 20,$
$x^{2} + 3 x - 18 ⩾ x^{2} + x - 20,$
$3 x - x ⩾ - 20 + 18 ⟹ 2 x ⩾ - 2 ⟹ x ⩾ - 1.$

Отримуємо систему:

{x ⩾ - 0, 8, x ⩾ - 1.

Множиною розв’язків є перетин проміжків:

$x \in [- 0, 8; + \infty) .$

Відповідь: $[- 0, 8; + \infty)$ .

⎩ ⎨ ⎧ 2 x - \frac{x + 1}{2} ⩽ \frac{x + 1}{3}, (x + 5) (x - 3) + 41 ⩾ (x - 6)^{2};

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $6$ :
$12 x - 3 (x + 1) ⩽ 2 (x + 1),$
$12 x - 3 x - 3 ⩽ 2 x + 2,$
$9 x - 2 x ⩽ 2 + 3 ⟹ 7 x ⩽ 5 ⟹ x ⩽ \frac{5}{7} .$
Застосуємо формули скороченого множення та спростимо другу нерівність:
$x^{2} - 3 x + 5 x - 15 + 41 ⩾ x^{2} - 12 x + 36,$
$x^{2} + 2 x + 26 ⩾ x^{2} - 12 x + 36,$
$2 x + 12 x ⩾ 36 - 26 ⟹ 14 x ⩾ 10 ⟹ x ⩾ \frac{10}{14} ⟹ x ⩾ \frac{5}{7} .$

Отримуємо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x ⩽ \frac{5}{7}, x ⩾ \frac{5}{7} .

Єдиним спільним значенням є $x = \frac{5}{7}$ .

Відповідь: $\frac{5}{7}$ .

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}, (x - 6) (x + 2) + 4 x < (x - 7) (x + 7) .

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $28$ :
$4 (x + 2) < 7 (x + 1),$
$4 x + 8 < 7 x + 7,$
$4 x - 7 x < 7 - 8 ⟹ - 3 x < - 1 ⟹ x > \frac{1}{3} .$
Розкриємо дужки у другій нерівності:
$x^{2} + 2 x - 6 x - 12 + 4 x < x^{2} - 49,$
$x^{2} - 12 < x^{2} - 49,$
$0 \cdot x < - 49 + 12 ⟹ 0 \cdot x < - 37.$
Ця нерівність не має розв’язків, оскільки $0 < - 37$ є хибним числовим твердженням.

Оскільки друга нерівність не має розв’язків, уся система не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає ( $\emptyset$ ).

6.25.• Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x - 3}{5} - \frac{4 x - 9}{6} > 1, 5 (x - 1) + 7 (x + 2) > 3;

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини на спільний знаменник $30$ :
$6 (2 x - 3) - 5 (4 x - 9) > 30,$
$12 x - 18 - 20 x + 45 > 30,$
$- 8 x + 27 > 30 ⟹ - 8 x > 3 ⟹ x < - \frac{3}{8} .$
Розкриємо дужки у другій нерівності:
$5 x - 5 + 7 x + 14 > 3,$
$12 x + 9 > 3 ⟹ 12 x > - 6 ⟹ x > - \frac{6}{12} ⟹ x > - \frac{1}{2} .$

Отримуємо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x < - \frac{3}{8}, x > - \frac{1}{2} .

Множина розв’язків:

$x \in (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{8}) .$

Відповідь: $(- \frac{1}{2}; - \frac{3}{8})$ .

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6}, 0, 3 x - 19 ⩽ 1, 7 x - 5;

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $6$ :
$3 (x + 1) - 2 (x + 2) < x + 12,$
$3 x + 3 - 2 x - 4 < x + 12,$
$x - 1 < x + 12 ⟹ 0 \cdot x < 13.$
Нерівність правильна при будь-якому значенні $x$ , тобто $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Розв’яжемо другу нерівність:
$0, 3 x - 1, 7 x ⩽ - 5 + 19,$
$- 1, 4 x ⩽ 14 ⟹ x ⩾ \frac{14}{- 1 , 4} ⟹ x ⩾ - 10.$

Перетином множин $(- \infty; + \infty)$ та $[- 10; + \infty)$ є проміжок $[- 10; + \infty)$ .

Відповідь: $[- 10; + \infty)$ .

{(x - 6)^{2} < (x - 2)^{2} - 8, 3 (2 x - 1) - 8 < 34 - 3 (5 x - 9);

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Застосуємо формулу квадрата двочлена:
$x^{2} - 12 x + 36 < x^{2} - 4 x + 4 - 8,$
$x^{2} - 12 x + 36 < x^{2} - 4 x - 4,$
$- 12 x + 4 x < - 4 - 36 ⟹ - 8 x < - 40 ⟹ x > 5.$
Розкриємо дужки у другій нерівності:
$6 x - 3 - 8 < 34 - 15 x + 27,$
$6 x - 11 < 61 - 15 x,$
$6 x + 15 x < 61 + 11 ⟹ 21 x < 72 ⟹ x < \frac{72}{21} ⟹ x < \frac{24}{7} ⟹ x < 3 \frac{3}{7} .$

Отримуємо систему:

⎩ ⎨ ⎧ x > 5, x < 3 \frac{3}{7} .

Оскільки $3 \frac{3}{7} < 5$ , числові проміжки $(5; + \infty)$ та $(- \infty; 3 \frac{3}{7})$ не мають спільних точок.

Відповідь: розв’язків немає ( $\emptyset$ ).

⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x - 2}{3} - \frac{4 x + 1}{4} ⩽ 1, (x - 1) (x - 2) > (x + 4) (x - 7) .

Розв’яжемо кожну нерівність окремо:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $12$ :
$4 (3 x - 2) - 3 (4 x + 1) ⩽ 12,$
$12 x - 8 - 12 x - 3 ⩽ 12 ⟹ - 11 ⩽ 12.$
Отримана числова нерівність є правильною для будь-якого значення $x$ , отже, $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Розкриємо дужки у другій нерівності:
$x^{2} - 3 x + 2 > x^{2} - 3 x - 28,$
$x^{2} - 3 x + 2 - x^{2} + 3 x > - 28 ⟹ 2 > - 28.$
Отримана числова нерівність є правильною для будь-якого значення $x$ , отже, $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Перетином множин розв’язків є множина всіх дійсних чисел.

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

6.26.• Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:

{2 x - 1 < 1, 7 - x, 3 x - 2 ⩾ x - 8;

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

$2 x + x < 1, 7 + 1 ⟹ 3 x < 2, 7 ⟹ x < 0, 9$ .
$3 x - x ⩾ - 8 + 2 ⟹ 2 x ⩾ - 6 ⟹ x ⩾ - 3$ .

Отримуємо подвійну нерівність:

$- 3 ⩽ x < 0, 9 ⟹ x \in [- 3; 0, 9) .$

Цілі числа, що належать проміжку $[- 3; 0, 9)$ : $- 3, - 2, - 1, 0$ .

Відповідь: $- 3; - 2; - 1; 0$ .

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 1, 2 x - \frac{x}{2} ⩾ 10.

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

Помножимо обидві частини першої нерівності на $12$ :
$4 x - 3 x < 12 ⟹ x < 12.$
Помножимо обидві частини другої нерівності на $2$ :
$4 x - x ⩾ 20 ⟹ 3 x ⩾ 20 ⟹ x ⩾ \frac{20}{3} ⟹ x ⩾ 6 \frac{2}{3} .$

Отримуємо подвійну нерівність:

$6 \frac{2}{3} ⩽ x < 12 ⟹ x \in [6 \frac{2}{3}; 12) .$

Цілі числа, що належать проміжку $[6 \frac{2}{3}; 12)$ : $7, 8, 9, 10, 11$ .

Відповідь: $7; 8; 9; 10; 11$ .

6.27. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей:

1) ${4 x + 3 \geq 6 x - 7, 3 (x + 8) \geq 4 (8 - x);$

Розв’яжемо кожну нерівність системи:

Для першої нерівності перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числові — у праву:

$4 x - 6 x \geq - 7 - 3$

$- 2 x \geq - 10$
Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq 5$

Для другої нерівності розкриємо дужки:

$3 x + 24 \geq 32 - 4 x$

$3 x + 4 x \geq 32 - 24$

$7 x \geq 8$

$x \geq \frac{8}{7} (x \geq 1 \frac{1}{7})$

Отримуємо систему:

$
\begin{cases} x \le 5, \ x \ge \dfrac{8}{7} \end{cases} \implies x \in \left[\dfrac{8}{7}; 5\right]$$

Знайдемо цілі числа, які належать відрізку $[1 \frac{1}{7}; 5]$ :
Це числа $2, 3, 4, 5$ .
Кількість цілих розв’язків дорівнює $4$ .

Відповідь: 4 цілих розв’язки.

2) $⎩ ⎨ ⎧ x - \frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{6} < 2, \frac{2 x - 5}{3} \geq - 3;$

Розв’яжемо нерівності системи:

Помножимо обидві частини першої нерівності на спільний знаменник $6$ :

$6 x - 2 (x + 1) - (x - 2) < 12$

$6 x - 2 x - 2 - x + 2 < 12$

$3 x < 12$

$x < 4$

Помножимо обидві частини другої нерівності на $3$ :

$2 x - 5 \geq - 9$

$2 x \geq - 4$

$x \geq - 2$

Отримуємо систему:

$
\begin{cases} x < 4, \ x \ge -2 \end{cases} \implies x \in [-2; 4)$$

Знайдемо цілі числа, які належать проміжку $[- 2; 4)$ :
Це числа $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ .
Кількість цілих розв’язків дорівнює $6$ .

Відповідь: 6 цілих розв’язків.

6.28. Знайдіть область визначення виразу:

1) $6 x - 9 + 2 x - 5$ ;

Область визначення виразу визначається умовою невід’ємності підкореневих виразів:

$
\begin{cases} 6x - 9 \ge 0, \ 2x - 5 \ge 0; \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \ge 9, \ 2x \ge 5; \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1{,}5, \ x \ge 2{,}5 \end{cases} \implies x \ge 2{,}5$$

Отже, $x \in [2, 5; + \infty)$ .

Відповідь: $[2, 5; + \infty)$ .

2) $3 x + 5 - \frac{1}{15 - 5 x}$ ;

Підкореневий вираз у чисельнику має бути невід’ємним, а підкореневий вираз у знаменнику — строго додатним:

$
\begin{cases} 3x + 5 \ge 0, \ 15 - 5x > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -5, \ -5x > -15; \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\dfrac{5}{3}, \ x < 3 \end{cases} \implies x \in \left[-1\dfrac{2}{3}; 3\right)$$

Відповідь: $[- 1 \frac{2}{3}; 3)$ .

3) $2 x - 4 + 1 - x$ ;

Складемо систему нерівностей для підкореневих виразів:

${2 x - 4 \geq 0, 1 - x \geq 0; ⟹ {2 x \geq 4, - x \geq - 1; ⟹ {x \geq 2, x \leq 1$
Система не має спільних розв’язків, оскільки не існує числа, яке одночасно більше або дорівнює $2$ і менше або дорівнює $1$ .
Отже, область визначення є порожньою множиною ( $\emptyset$ ).

Відповідь: $\emptyset$ (вираз не має змісту при жодному значенні $x$ ).

4) $12 - 3 x - \frac{5}{x - 4}$ .

Підкореневий вираз має бути невід’ємним, а знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

$
\begin{cases} 12 - 3x \ge 0, \ x - 4 \neq 0; \end{cases} \implies \begin{cases} -3x \ge -12, \ x \neq 4; \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4, \ x \neq 4 \end{cases} \implies x < 4$$

Отже, $x \in (- \infty; 4)$ .

Відповідь: $(- \infty; 4)$ .

6.29. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

1) $8 - x + \frac{1}{2 x}$ ;

Вираз має зміст, якщо підкореневий вираз першого кореня невід’ємний, а підкореневий вираз у знаменнику другого дробу строго додатний:

$
\begin{cases} 8 - x \ge 0, \ x > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} -x \ge -8, \ x > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 8, \ x > 0 \end{cases} \implies x \in (0; 8]$$

Відповідь: при $x \in (0; 8]$ .

2) $7 x - 35 + \frac{1}{x ^{2} - 5 x}$ .

Підкореневий вираз має бути невід’ємним, а знаменник другого дробу не повинен перетворюватися на нуль:

$
\begin{cases} 7x - 35 \ge 0, \ x^2 - 5x \neq 0; \end{cases} \implies \begin{cases} 7x \ge 35, \ x(x - 5) \neq 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5, \ x \neq 0, \ x \neq 5 \end{cases} \implies x > 5$$

Отже, $x \in (5; + \infty)$ .

Відповідь: при $x \in (5; + \infty)$ .

6.30. Розв’яжіть нерівність:

1) $- 3 < \frac{2 x - 5}{2} < 4$ ;

Помножимо всі частини подвійної нерівності на $2$ :

$- 6 < 2 x - 5 < 8$
Додамо $5$ до всіх частин нерівності:

$- 6 + 5 < 2 x < 8 + 5$

$- 1 < 2 x < 13$
Поділимо всі частини нерівності на $2$ :

$- 0, 5 < x < 6, 5$

Відповідь: $(- 0, 5; 6, 5)$ .

2) $- 4 \leq 1 - \frac{x - 2}{3} \leq - 3$ .

Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$- 5 \leq - \frac{x - 2}{3} \leq - 4$
Помножимо всі частини нерівності на $- 3$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$15 \geq x - 2 \geq 12 ⟺ 12 \leq x - 2 \leq 15$
Додамо $2$ до всіх частин нерівності:

$14 \leq x \leq 17$

Відповідь: $[14; 17]$ .

6.31. Розв’яжіть нерівність:

1) $- 2 \leq \frac{6 x + 1}{4} < 4$ ;

Помножимо всі частини нерівності на $4$ :

$- 8 \leq 6 x + 1 < 16$
Віднімемо $1$ від усіх частин нерівності:

$- 9 \leq 6 x < 15$
Поділимо всі частини нерівності на $6$ :

$- \frac{9}{6} \leq x < \frac{15}{6}$

$- \frac{3}{2} \leq x < \frac{5}{2} ⟺ - 1, 5 \leq x < 2, 5$

Відповідь: $[- 1, 5; 2, 5)$ .

2) $1, 2 < \frac{7 - 3 x}{5} \leq 1, 4$ .

Помножимо всі частини нерівності на $5$ :

$6 < 7 - 3 x \leq 7$
Віднімемо $7$ від усіх частин нерівності:

$- 1 < - 3 x \leq 0$
Поділимо всі частини на $- 3$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$\frac{1}{3} > x \geq 0 ⟺ 0 \leq x < \frac{1}{3}$

Відповідь: $[0; \frac{1}{3})$ .

6.32. Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а сума двох інших — 8 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо довжина кожної з них дорівнює цілому числу сантиметрів.

Нехай сторони трикутника дорівнюють $a$ , $b$ і $c$ .

За умовою:

$a = 4 см$ ;
$b + c = 8 см$ , звідки $c = 8 - b$ .

Довжини сторін мають бути додатними числами, тому $b > 0$ та $8 - b > 0 ⟹ b < 8$ .

За теоремою про нерівність трикутника, довжина кожної сторони має бути меншою від суми двох інших сторін:

$⎩ ⎨ ⎧ b + c > a a + b > c a + c > b$

Підставимо значення $a = 4$ та вираз $c = 8 - b$ :

$b + (8 - b) > 4 ⟹ 8 > 4$ (нерівність правильна для будь-якого $b$ );
$4 + b > 8 - b ⟹ 2 b > 4 ⟹ b > 2$ ;
$4 + (8 - b) > b ⟹ 12 > 2 b ⟹ b < 6$ .

Об’єднаємо умови для сторони $b$ :

$2 < b < 6$

Оскільки за умовою довжина кожної сторони виражається цілим числом сантиметрів, змінна $b$ може дорівнювати $3$ , $4$ або $5$ :

якщо $b = 3 см$ , то $c = 8 - 3 = 5 см$ ;
якщо $b = 4 см$ , то $c = 8 - 4 = 4 см$ ;
якщо $b = 5 см$ , то $c = 8 - 5 = 3 см$ .

Отже, шукані сторони трикутника дорівнюють $3 см$ і $5 см$ або $4 см$ і $4 см$ .

Відповідь: $3 см$ і $5 см$ або $4 см$ і $4 см$ .

6.33. При яких значеннях $a$ має хоча б один розв’язок система нерівностей:
1) ${x \geq 3, x < a;$
2) ${x \leq 3, x \geq a$ ?

Розв’язком першої нерівності є числовий проміжок $[3; + \infty)$ , а другої нерівності — проміжок $(- \infty; a)$ .
Система має хоча б один розв’язок, якщо перетин цих проміжків не є порожньою множиною: $[3; + \infty) \cap (- \infty; a) \neq = \emptyset$ .
Оскільки число $3$ належить першому проміжку, але точка $a$ є виколотою (строга нерівність $x < a$ ), перетин буде непорожнім тоді й тільки тоді, коли $a > 3$ .


**Відповідь:** $a > 3$ (або $a \in (3; +\infty)$).

2) Розв'язком першої нерівності є проміжок $(-\infty; 3]$, а другої — $[a; +\infty)$.
Система має хоча б один розв'язок, якщо $(-\infty; 3] \cap [a; +\infty) \neq \varnothing$.
Обидві межові точки включені (нерівності нестрогі), тому спільні точки існують при $a \le 3$ (зокрема, при $a = 3$ система має єдиний розв'язок $x = 3$).

Відповідь: $a \leq 3$ (або $a \in (- \infty; 3]$ ).

6.34. При яких значеннях $a$ не має розв’язків система нерівностей:
1) ${x > 4, x < a;$
2) ${x \leq 1, x \geq a$ ?

Множиною розв’язків першої нерівності є $(4; + \infty)$ , другої — $(- \infty; a)$ .
Система не має розв’язків, якщо перетин цих проміжків порожній: $(4; + \infty) \cap (- \infty; a) = \emptyset$ .
Це виконується тоді, коли $a \leq 4$ . Якщо $a = 4$ , то $(4; + \infty) \cap (- \infty; 4) = \emptyset$ .

Відповідь: $a \leq 4$ (або $a \in (- \infty; 4]$ ).

Множиною розв’язків першої нерівності є $(- \infty; 1]$ , другої — $[a; + \infty)$ .
Система не має розв’язків, якщо проміжки не мають спільних точок.
Оскільки точка $1$ включена в перший проміжок, а точка $a$ — в другий, спільні точки будуть відсутні тільки тоді, коли значення $a$ строго більше за $1$ , тобто $a > 1$ (при $a = 1$ розв’язком було б $x = 1$ ).

Відповідь: $a > 1$ (або $a \in (1; + \infty)$ ).

6.35. При яких значеннях $a$ множиною розв’язків системи нерівностей ${x > - 1, x \geq a$ є проміжок:
1) $(- 1; + \infty)$ ;
2) $[1; + \infty)$ ?

Множина розв’язків даної системи є перетином проміжків $(- 1; + \infty)$ та $[a; + \infty)$ .

Щоб перетином $(- 1; + \infty) \cap [a; + \infty)$ був проміжок $(- 1; + \infty)$ , необхідно, щоб проміжок $(- 1; + \infty)$ повністю містився у проміжку $[a; + \infty)$ . Це можливо тоді й лише тоді, коли $a \leq - 1$ .
Якщо $a \leq - 1$ , то для будь-якого $x > - 1$ автоматично виконується $x \geq a$ .


**Відповідь:** $a \le -1$ (або $a \in (-\infty; -1]$).

2) Щоб перетином $(-1; +\infty) \cap [a; +\infty)$ був проміжок $[1; +\infty)$, проміжок $[a; +\infty)$ має починатися безпосередньо з точки $1$.
Оскільки $1 > -1$, при $a = 1$ перетином є проміжок $[1; +\infty)$. Якщо $a \neq 1$, ліва межа перетину не дорівнюватиме $1$.

Відповідь: $a = 1$ .

6.36. При яких значеннях $a$ множина розв’язків системи нерівностей ${x \geq 7, x < a$ містить рівно чотири цілих числа?

Розв’язком системи нерівностей ${x \geq 7, x < a$ при $a > 7$ є числовий проміжок $[7; a)$ .

Цілі числа, що належать цьому проміжку, починаються з числа $7$ .

Оскільки проміжок має містити рівно чотири цілих числа, ними мають бути:

$7, 8, 9, 10$

Для цього необхідно, щоб:

Число $10$ належало проміжку $[7; a)$ , тобто $10 < a$ ;
Число $11$ не належало проміжку $[7; a)$ , тобто $a \leq 11$ (якщо $a = 11$ , проміжок набуває вигляду $[7; 11)$ , і число $11$ до нього не входить).

Об’єднавши ці дві умови, отримуємо:

$10 < a \leq 11$


**Відповідь:** $10 < a \le 11$ (або $a \in (10; 11]$).

**6.37.* При яких значеннях $b$ множина розв’язків системи нерівностей $\begin{cases} x < 5, \\ x \geqslant b \end{cases}$ містить рівно три цілих числа?**

Розв’язком даної системи є числовий проміжок $[b; 5)$.

Цілі числа, які строго менші від $5$, у порядку спадання: $4, 3, 2, 1, 0, -1, \dots$.

Щоб проміжок $[b; 5)$ містив рівно три цілих числа, цими числами обов'язково мають бути числа $4$, $3$ та $2$.

Звідси випливає, що:
1. Число $2$ має належати проміжку: $b \le 2$.
2. Число $1$ не має належати проміжку: $b > 1$.

Об'єднуючи ці умови, отримуємо: $1 < b \le 2$.

Відповідь: $1 < b \leq 2$ (або $b \in (1; 2]$ ).

6.38. При яких значеннях $a$ корені рівняння $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ менші від числа 5?*

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D_{1} = (\frac{b}{2})^{2} - a c = (- a)^{2} - 1 \cdot (a^{2} - 4) = a^{2} - a^{2} + 4 = 4 > 0$

Оскільки дискримінант додатний при будь-якому значенні $a$ , рівняння завжди має два різні дійсні корені:

$x_{1} = a - 4 = a - 2$

$x_{2} = a + 4 = a + 2$

За умовою обидва корені мають бути меншими від числа $5$ . Складемо та розв’яжемо систему нерівностей:

$
\begin{cases} x_1 < 5 \ x_2 < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} a - 2 < 5 \ a + 2 < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} a < 7 \ a < 3 \end{cases} \iff a < 3$$


**Відповідь:** $a < 3$ (або $a \in (-\infty; 3)$).

**6.39.* При яких значеннях $a$ корені рівняння $x^2 - (4a - 2)x + 3a^2 - 4a + 1 = 0$ належать проміжку $[-2; 8]$?**

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$$D_1 = (2a - 1)^2 - 1 \cdot (3a^2 - 4a + 1) = 4a^2 - 4a + 1 - 3a^2 + 4a - 1 = a^2 \ge 0$$

Знайдемо корені рівняння через формулу:

$$x = (2a - 1) \pm \sqrt{a^2} = (2a - 1) \pm a$$

$$x_1 = (2a - 1) - a = a - 1$$

$$x_2 = (2a - 1) + a = 3a - 1$$

За умовою обидва корені мають належати відрізку $[-2; 8]$, тобто задовольняти систему подвійних нерівностей:

$
\begin{cases} -2 \le a - 1 \le 8 \\ -2 \le 3a - 1 \le 8 \end{cases}
$

Розв'яжемо кожну нерівність системи:
1. Для першої нерівності:
   $$-2 + 1 \le a \le 8 + 1 \iff -1 \le a \le 9$$
2. Для другої нерівності:
   $$-2 + 1 \le 3a \le 8 + 1 \iff -1 \le 3a \le 9 \iff -\dfrac{1}{3} \le a \le 3$$

Знайдемо перетин отриманих проміжків:

$$a \in [-1; 9] \cap \left[-\dfrac{1}{3}; 3\right] = \left[-\dfrac{1}{3}; 3\right]$$

Відповідь: $- \frac{1}{3} \leq a \leq 3$ (або $a \in [- \frac{1}{3}; 3]$ ).

6.40. При яких значеннях $a$ один із коренів рівняння $3 x^{2} - (2 a + 5) x + 2 + a - a^{2} = 0$ менший від –2, а другий — більший за 3?*

Знайдемо корені квадратного рівняння:

$D = (2 a + 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (2 + a - a^{2}) = 4 a^{2} + 20 a + 25 - 24 - 12 a + 12 a^{2} = 16 a^{2} + 8 a + 1 = (4 a + 1)^{2}$

Корені рівняння:

$x_{1} = \frac{( 2 a + 5 ) - ( 4 a + 1 )}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 a + 4}{6} = \frac{2 - a}{3}$

$x_{2} = \frac{( 2 a + 5 ) + ( 4 a + 1 )}{6} = \frac{6 a + 6}{6} = a + 1$

Можливі два випадки:

Випадок 1: $x_{1} < - 2$ та $x_{2} > 3$ :
$
\begin{cases} \dfrac{2 - a}{3} < -2 \ a + 1 > 3 \end{cases} \iff \begin{cases} 2 - a < -6 \ a > 2 \end{cases} \iff \begin{cases} a > 8 \ a > 2 \end{cases} \iff a > 8$$
Випадок 2: $x_{2} < - 2$ та $x_{1} > 3$ :
$
\begin{cases} a + 1 < -2 \ \dfrac{2 - a}{3} > 3 \end{cases} \iff \begin{cases} a < -3 \ 2 - a > 9 \end{cases} \iff \begin{cases} a < -3 \ a < -7 \end{cases} \iff a < -7$$

Об’єднуючи обидва випадки, маємо: $a < - 7$ або $a > 8$ .


**Відповідь:** $a \in (-\infty; -7) \cup (8; +\infty)$.

**ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ**

**6.41. Розв’яжіть рівняння:**

**1) $\dfrac{x^2}{x^2 - 16} = \dfrac{3x + 4}{x^2 - 16}$;**

Область допустимих значень (ОДЗ):

$$x^2 - 16 \neq 0 \iff x \neq \pm 4$$

Оскільки знаменники дробів однакові, прирівнюємо чисельники:

$$x^2 = 3x + 4$$

$$x^2 - 3x - 4 = 0$$

За теоремою Вієта:

$
\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = 4,\; x_2 = -1$$

Перевіримо ОДЗ:
- $x = 4$ — сторонній корінь, оскільки перетворює знаменник на нуль ($x \neq 4$);
- $x = -1$ — задовольняє ОДЗ.

**Відповідь:** $-1$.

**2) $\dfrac{5}{x - 3} - \dfrac{8}{x} = 3$.**

Область допустимих значень (ОДЗ):

$
\begin{cases} x - 3 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \iff x \neq 0,\; x \neq 3$$

Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник $x(x - 3) \neq 0$:

$$5x - 8(x - 3) = 3x(x - 3)$$

$$5x - 8x + 24 = 3x^2 - 9x$$

$$-3x + 24 = 3x^2 - 9x$$

$$3x^2 - 6x - 24 = 0$$

Поділимо обидві частини рівняння на $3$:

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

За теоремою Вієта:

$
\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} \implies x_1 = 4,\; x_2 = -2$$

Перевіримо ОДЗ: обидва знайдені значення задовольняють умову ($x \neq 0$ і $x \neq 3$).

**Відповідь:** $-2;\; 4$.

**Знайдіть в інтернеті інформацію про життя й наукову діяльність цього вченого, а також дізнайтеся про інші українські премії за досягнення в математиці.**

Юрій Олексійович Митропольський (1917–2008) — видатний український математик і механік, академік Національної академії наук України, Герой України. Він зробив фундаментальний внесок у розвиток теорії нелінійних коливань, теорії диференціальних рівнянь та асимптотичних методів нелінійної механіки (метод Боголюбова — Крилова — Митропольського). Протягом тривалого часу Юрій Олексійович очолював Інститут математики НАН України. 

Окрім Премії НАН України імені Ю. О. Митропольського, за вагомі наукові досягнення в математиці в Україні присуджують такі премії:
- Премія НАН України імені М. В. Остроградського;
- Премія НАН України імені М. М. Боголюбова;
- Премія НАН України імені М. М. Крилова;
- Премія НАН України імені М. О. Лаврентьєва;
- Національна премія України імені Бориса Патона (раніше — Державна премія України в галузі науки і техніки).

**6.42. Знайдіть значення виразу: 1) $\sqrt{54} - 0{,}5\sqrt{24}$; 2) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{30}$; 3) $(\sqrt{17} - \sqrt{11})(\sqrt{17} + \sqrt{11})$; 4) $\dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}}$; 5) $\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\right)^2$; 6) $\dfrac{18}{\sqrt{6}}$; 7) $\sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2} - 3$. Використовуючи знайдені значення виразів, розшифруйте прізвище сучасної української математикині, докторки фізико-математичних наук, членкині-кореспондентки Національної академії наук України, лауреатки премії імені Ю. О. Митропольського. Номер завдання відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові.**

Знайдемо значення кожного виразу покроково:

1) $\sqrt{54} - 0{,}5\sqrt{24} = \sqrt{9 \cdot 6} - 0{,}5\sqrt{4 \cdot 6} = 3\sqrt{6} - 0{,}5 \cdot 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$. 
Значенню $2\sqrt{6}$ відповідає буква **Щ**.

2) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{30} = \sqrt{5 \cdot 30} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$. 
Значенню $5\sqrt{6}$ відповідає буква **Е**.

3) Застосуємо формулу різниці квадратів $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{17} - \sqrt{11})(\sqrt{17} + \sqrt{11}) = (\sqrt{17})^2 - (\sqrt{11})^2 = 17 - 11 = 6$. 
Значенню $6$ відповідає буква **Р**.

4) $\dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\dfrac{42}{7}} = \sqrt{6}$. 
Значенню $\sqrt{6}$ відповідає буква **Б**.

5) $\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{6}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 6 = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$. 
Значенню $1{,}5$ відповідає буква **И**.

6) Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:
$\dfrac{18}{\sqrt{6}} = \dfrac{18 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$. 
Значенню $3\sqrt{6}$ відповідає буква **Н**.

7) Оскільки $\sqrt{a^2} = |a|$, маємо $\sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2} = |\sqrt{6} - 3|$. 
Враховуючи, що $\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$, вираз під модулем є від'ємним: $|\sqrt{6} - 3| = 3 - \sqrt{6}$.
Тоді:
$\sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2} - 3 = 3 - \sqrt{6} - 3 = -\sqrt{6}$. 
Значенню $-\sqrt{6}$ відповідає буква **А**.

Зіставимо номери завдань і отримані букви:
1 — Щ, 2 — Е, 3 — Р, 4 — Б, 5 — И, 6 — Н, 7 — А.

**Відповідь:** розшифроване прізвище — **ЩЕРБИНА**.

**Знайдіть в інтернеті інформацію про наукову діяльність цієї математикині та про те, якими ще преміями відзначені її досягнення.**

Марія Володимирівна Щербина — видатна українська вчена-математик, докторка фізико-математичних наук, членкиня-кореспондентка НАН України. Вона працює у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України. Її наукові дослідження присвячені застосуванню теорії ймовірностей у математичній фізиці, теорії випадкових матриць та статистичній механіці невпорядкованих систем. 

Окрім премії імені Ю. О. Митропольського, наукові досягнення Марії Володимирівни відзначені:
- Премією НАН України імені М. В. Остроградського (2009 рік);
- Державною премією України в галузі науки і техніки (2018 рік);
- Премією НАН України імені М. О. Лаврентьєва (2021 рік).

**ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ**

**1. Порівняйте числа $a$ і $b$, якщо $a - b = -3{,}6$.**
**А) $a > b$;**
**Б) $a < b$;**
**В) $a = b$;**
**Г) порівняти неможливо.**

За означенням порівняння чисел: якщо різниця $a - b < 0$, то число $a$ менше від числа $b$. 
Оскільки $-3{,}6 < 0$, то $a < b$.

**Відповідь:** **Б) $a < b$**.

**2. Відомо, що $m > n$. Яке з наведених тверджень хибне?**
**А) $m - 2 > n - 2$;**
**Б) $2m > 2n$;**
**В) $m + 2 > n + 2$;**
**Г) $-2m > -2n$.**

Перевіримо кожне твердження згідно з властивостями числових нерівностей:
- А) Якщо від обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме число, одержимо правильну нерівність: $m - 2 > n - 2$ (істинне).
- Б) Якщо обидві частини нерівності помножити на одне й те саме додатне число, знак нерівності не зміниться: $2m > 2n$ (істинне).
- В) Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число, знак нерівності не зміниться: $m + 2 > n + 2$ (істинне).
- Г) Якщо обидві частини нерівності помножити на одне й те саме від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний: $-2m < -2n$. Тому твердження $-2m > -2n$ є хибним.

**Відповідь:** **Г) $-2m > -2n$**.

6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною

Теги статті:

До уроку