5. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки

1. Сформулюйте правила, за допомогою яких можна отримати нерівність, рівносильну даній.

Нерівність, рівносильну даній, можна отримати за допомогою таких правил:

Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

2. Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією змінною?

Лінійними нерівностями з однією змінною називають нерівності виду $a x > b$ , $a x < b$ , $a x \geq b$ , $a x \leq b$ , де $x$ — змінна, $a$ і $b$ — деякі числа.

ВПРАВИ

5.1.° Зобразіть на координатній прямій проміжок: 1) [–5; +∞); 2) (–5; +∞); 3) (–∞; –5); 4) (–∞; –5].

$[- 5; + \infty)$

$(- 5; + \infty)$

$(- \infty; - 5)$

$(- \infty; - 5]$

5.2.° Зобразіть на координатній прямій проміжок: 1) (–2; +∞); 2) (–∞; 6]; 3) [1; +∞); 4) (–∞; 0).

$(- 2; + \infty)$

$(- \infty; 6]$

$[1; + \infty)$

$(- \infty; 0)$

5.3.° Запишіть і прочитайте проміжки, зображені на рисунку 5.5.

а) Запис: $(- \infty; - 9)$
Читають: «проміжок від мінус нескінченності до мінус дев’яти».

б) Запис: $[8; + \infty)$
Читають: «проміжок від восьми до плюс нескінченності, включаючи вісім».

5.4.° Запишіть проміжки, зображені на рисунку 5.6.

На рисунку 5.6, а зображено числовий проміжок від мінус нескінченності до $2, 5$ , у якому точка $2, 5$ є виколотою (не належить проміжку):

$(- \infty; 2, 5)$

На рисунку 5.6, б зображено числовий проміжок від $- 7$ до плюс нескінченності, у якому точка $- 7$ є виколотою (не належить проміжку):

$(- 7; + \infty)$

Відповідь:

$(- \infty; 2, 5)$ ;
$(- 7; + \infty)$ .

5.5.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задається нерівністю: 1) x < 8; 2) x ⩽ –4; 3) x ⩾ –1; 4) x > 0.

Нерівність $x < 8$ задає числовий проміжок $(- \infty; 8)$ . Точка $8$ є виколотою.

Відповідь: $x \in (- \infty; 8)$ .

Нерівність $x \leq - 4$ задає числовий проміжок $(- \infty; - 4]$ . Точка $- 4$ є зафарбованою (входить до проміжку).

Відповідь: $x \in (- \infty; - 4]$ .

Нерівність $x \geq - 1$ задає числовий проміжок $[- 1; + \infty)$ . Точка $- 1$ є зафарбованою.

Відповідь: $x \in [- 1; + \infty)$ .

Нерівність $x > 0$ задає числовий проміжок $(0; + \infty)$ . Точка $0$ є виколотою.

Відповідь: $x \in (0; + \infty)$ .

5.6.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задається нерівністю: 1) x ⩽ 0; 2) x ⩾ 1/3; 3) x > –1,4; 4) x < 16.

Нерівність $x \leq 0$ задає числовий проміжок $(- \infty; 0]$ . Точка $0$ є зафарбованою.

Відповідь: $x \in (- \infty; 0]$ .

Нерівність $x \geq \frac{1}{3}$ задає числовий проміжок $[\frac{1}{3}; + \infty)$ . Точка $\frac{1}{3}$ є зафарбованою.

Відповідь: $x \in [\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Нерівність $x > - 1, 4$ задає числовий проміжок $(- 1, 4; + \infty)$ . Точка $- 1, 4$ є виколотою.

Відповідь: $x \in (- 1, 4; + \infty)$ .

Нерівність $x < 16$ задає числовий проміжок $(- \infty; 16)$ . Точка $16$ є виколотою.

Відповідь: $x \in (- \infty; 16)$ .

5.7.° Укажіть найменше ціле число, яке належить проміжку: 1) (6; +∞); 2) [6; +∞); 3) (–3,4; +∞); 4) [–0,9; +∞).

Проміжок $(6; + \infty)$ містить усі числа, більші за $6$ . Число $6$ не входить у проміжок, тому найменшим цілим числом є $7$ .
Проміжок $[6; + \infty)$ містить усі числа, не менші від $6$ . Число $6$ входить у проміжок, тому найменшим цілим числом є $6$ .
Проміжок $(- 3, 4; + \infty)$ містить усі числа, більші за $- 3, 4$ . Найменшим цілим числом, що задовольняє нерівність $x > - 3, 4$ , є $- 3$ .
Проміжок $[- 0, 9; + \infty)$ містить усі числа, більші або рівні $- 0, 9$ . Найменшим цілим числом, що задовольняє умову $x \geq - 0, 9$ , є $0$ .

Відповідь:

$7$ ;
$6$ ;
$- 3$ ;
$0$ .

5.8.° Укажіть найбільше ціле число, яке належить проміжку: 1) (–∞; –4); 2) (–∞; –6,2]; 3) (–∞; 1]; 4) (–∞; –1,8).

Проміжок $(- \infty; - 4)$ містить усі числа, менші від $- 4$ . Число $- 4$ не входить у проміжок, тому найбільшим цілим числом є $- 5$ .
Проміжок $(- \infty; - 6, 2]$ містить усі числа, менші або рівні $- 6, 2$ . Найбільшим цілим числом, що задовольняє нерівність $x \leq - 6, 2$ , є $- 7$ .
Проміжок $(- \infty; 1]$ містить усі числа, не більші за $1$ . Число $1$ входить у проміжок, тому найбільшим цілим числом є $1$ .
Проміжок $(- \infty; - 1, 8)$ містить усі числа, менші від $- 1, 8$ . Найбільшим цілим числом, що задовольняє нерівність $x < - 1, 8$ , є $- 2$ .

Відповідь:

$- 5$ ;
$- 7$ ;
$1$ ;
$- 2$ .

5.9.° Яким з наведених проміжків належить число –7: 1) $(- \infty; - 7)$ ; 2) $[- 7; + \infty)$ ; 3) $(- \infty; 0]$ ; 4) $(- \infty; - 6)$ ?

Перевіримо належність числа $- 7$ кожному з наведених проміжків:

$(- \infty; - 7)$ — число $- 7$ не належить проміжку, оскільки дужка кругла (точка виколота, умова строгої нерівності $x < - 7$ не виконується для $x = - 7$ ).
$[- 7; + \infty)$ — число $- 7$ належить проміжку, оскільки дужка квадратна (нерівність $x \geq - 7$ виконується: $- 7 \geq - 7$ ).
$(- \infty; 0]$ — число $- 7$ належить проміжку, оскільки $- 7 \leq 0$ .
$(- \infty; - 6)$ — число $- 7$ належить проміжку, оскільки $- 7 < - 6$ .

Відповідь: проміжкам 2), 3), 4).

5.10.° Якому з наведених проміжків не належить число 9: 1) $(8, 99; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 10)$ ; 3) $(- \infty; 8, 99]$ ; 4) $[9; + \infty)$ ?

Перевіримо належність числа $9$ кожному з наведених проміжків:

$(8, 99; + \infty)$ — число $9$ належить проміжку, оскільки $9 > 8, 99$ .
$(- \infty; 10)$ — число $9$ належить проміжку, оскільки $9 < 10$ .
$(- \infty; 8, 99]$ — число $9$ не належить проміжку, оскільки $9 > 8, 99$ .
$[9; + \infty)$ — число $9$ належить проміжку, оскільки $9 \geq 9$ .

Відповідь: проміжку 3).

5.11.° Розв’яжіть нерівність:

$6 x > 18$
Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $6$ , зберігши знак нерівності:

$x > \frac{18}{6}$

$x > 3$
Відповідь: $x \in (3; + \infty)$ .

$- 2 x \geq 10$
Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{10}{- 2}$

$x \leq - 5$
Відповідь: $x \in (- \infty; - 5]$ .

$\frac{1}{3} x < 9$
Помножимо обидві частини нерівності на $3$ :

$x < 9 \cdot 3$

$x < 27$
Відповідь: $x \in (- \infty; 27)$ .

$0, 1 x \geq 0$
Поділимо обидві частини на $0, 1$ :

$x \geq 0$
Відповідь: $x \in [0; + \infty)$ .

$- 10 x < 0$
Поділимо обидві частини нерівності на $- 10$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > 0$
Відповідь: $x \in (0; + \infty)$ .

$7 x - 2 > 19$
Перенесемо доданок $- 2$ у праву частину зі зміною знака:

$7 x > 19 + 2$

$7 x > 21$

$x > 3$
Відповідь: $x \in (3; + \infty)$ .

$5 x + 16 \leq 6$
Перенесемо доданок $16$ у праву частину:

$5 x \leq 6 - 16$

$5 x \leq - 10$

$x \leq - 2$
Відповідь: $x \in (- \infty; - 2]$ .

$4 - x < 5$
Перенесемо доданок $4$ у праву частину:

$- x < 5 - 4$

$- x < 1$
Помножимо обидві частини на $- 1$ , змінивши знак нерівності:

$x > - 1$
Відповідь: $x \in (- 1; + \infty)$ .

$5 - 8 x \geq 6$
Перенесемо доданок $5$ у праву частину:

$- 8 x \geq 6 - 5$

$- 8 x \geq 1$
Поділимо обидві частини на $- 8$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq - \frac{1}{8}$
Відповідь: $x \in (- \infty; - \frac{1}{8}]$ (або $x \in (- \infty; - 0, 125]$ ).

$12 + 4 x \geq 6 x$
Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — в праву:

$4 x - 6 x \geq - 12$

$- 2 x \geq - 12$
Поділимо обидві частини на $- 2$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq 6$
Відповідь: $x \in (- \infty; 6]$ .

$36 - 2 x < 4 x$
Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — в праву:

$- 2 x - 4 x < - 36$

$- 6 x < - 36$
Поділимо обидві частини на $- 6$ , змінивши знак нерівності:

$x > 6$
Відповідь: $x \in (6; + \infty)$ .

$\frac{x + 2}{5} < 2$
Помножимо обидві частини нерівності на $5$ :

$x + 2 < 10$

$x < 10 - 2$

$x < 8$
Відповідь: $x \in (- \infty; 8)$ .

5.12.° Розв’яжіть нерівність:

$5 x < 30$
Поділимо обидві частини на $5$ :

$x < 6$
Відповідь: $x \in (- \infty; 6)$ .

$- 4 x \leq - 16$
Поділимо обидві частини на $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq 4$
Відповідь: $x \in [4; + \infty)$ .

$\frac{2}{3} x \leq 6$
Помножимо обидві частини на $\frac{3}{2}$ :

$x \leq 6 \cdot \frac{3}{2}$

$x \leq 9$
Відповідь: $x \in (- \infty; 9]$ .

$- 12 x \geq 0$
Поділимо обидві частини на $- 12$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq 0$
Відповідь: $x \in (- \infty; 0]$ .

$4 x + 5 > - 7$
Перенесемо $5$ у праву частину:

$4 x > - 7 - 5$

$4 x > - 12$

$x > - 3$
Відповідь: $x \in (- 3; + \infty)$ .

$9 - x \geq 2 x$
Згрупуємо доданки зі змінною в лівій частині:

$- x - 2 x \geq - 9$

$- 3 x \geq - 9$
Поділимо обидві частини на $- 3$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq 3$
Відповідь: $x \in (- \infty; 3]$ .

$13 - 6 x \geq - 23$
Перенесемо $13$ у праву частину:

$- 6 x \geq - 23 - 13$

$- 6 x \geq - 36$
Поділимо обидві частини на $- 6$ , змінивши знак нерівності:

$x \leq 6$
Відповідь: $x \in (- \infty; 6]$ .

$3 x + 2 \leq - 7 x$
Згрупуємо доданки зі змінною в лівій частині:

$3 x + 7 x \leq - 2$

$10 x \leq - 2$
Поділимо обидві частини на $10$ :

$x \leq - 0, 2$
Відповідь: $x \in (- \infty; - 0, 2]$ (або $x \in (- \infty; - \frac{1}{5}]$ ).

$\frac{x - 3}{4} > - 1$
Помножимо обидві частини на $4$ :

$x - 3 > - 4$

$x > - 4 + 3$

$x > - 1$
Відповідь: $x \in (- 1; + \infty)$ .

5.13.° Розв’яжіть нерівність:

$0 x > 10$
При будь-якому значенні $x$ ліва частина дорівнює $0$ . Отримуємо числову нерівність $0 > 10$ , яка є неправильною. Отже, нерівність не має розв’язків.
Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).
$0 x < 15$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо правильну числову нерівність $0 < 15$ . Отже, розв’язком є будь-яке дійсне число.
Відповідь: $x$ — будь-яке число (або $(- \infty; + \infty)$ ).
$0 x > - 8$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо правильну числову нерівність $0 > - 8$ . Отже, розв’язком є будь-яке дійсне число.
Відповідь: $x$ — будь-яке число (або $(- \infty; + \infty)$ ).
$0 x < - 3$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо неправильну числову нерівність $0 < - 3$ . Отже, нерівність не має розв’язків.
Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).
$0 x \geq 1$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо неправильну числову нерівність $0 \geq 1$ . Отже, нерівність не має розв’язків.
Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).
$0 x \leq 2$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо правильну числову нерівність $0 \leq 2$ . Отже, розв’язком є будь-яке дійсне число.
Відповідь: $x$ — будь-яке число (або $(- \infty; + \infty)$ ).
$0 x \leq 0$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо правильну числову нерівність $0 \leq 0$ . Отже, розв’язком є будь-яке дійсне число.
Відповідь: $x$ — будь-яке число (або $(- \infty; + \infty)$ ).
$0 x > 0$
При будь-якому значенні $x$ отримуємо неправильну числову нерівність $0 > 0$ . Отже, нерівність не має розв’язків.
Відповідь: розв’язків немає (або $\emptyset$ ).

5.14.° Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

$5 x \geq 40$ ;
$5 x > 40$ ;
$- 2 x < - 3$ ;
$- 7 x < 15$ .
Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $5$ :

$x \geq \frac{40}{5}$

$x \geq 8$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $[8; + \infty)$ .

Найменшим цілим числом, яке належить проміжку $[8; + \infty)$ , є число $8$ .

Відповідь: $8$ .

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $5$ :

$x > \frac{40}{5}$

$x > 8$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(8; + \infty)$ .

Найменшим цілим числом, яке строго більше за $8$ , є число $9$ .

Відповідь: $9$ .

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > \frac{- 3}{- 2}$

$x > 1, 5$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(1, 5; + \infty)$ .

Найменшим цілим числом, яке більше за $1, 5$ , є число $2$ .

Відповідь: $2$ .

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 7$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > - \frac{15}{7}$

$x > - 2 \frac{1}{7}$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- 2 \frac{1}{7}; + \infty)$ .

Оскільки $- 2 \frac{1}{7} \approx - 2, 14$ , першим цілим числом праворуч від даного значення є $- 2$ .

Відповідь: $- 2$ .

5.15.° Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

$8 x \leq - 16$ ;
$8 x < - 16$ ;
$3 x < 10$ ;
$- 6 x > - 25$ .
Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $8$ :

$x \leq \frac{- 16}{8}$

$x \leq - 2$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; - 2]$ .

Найбільшим цілим числом у проміжку $(- \infty; - 2]$ є $- 2$ .

Відповідь: $- 2$ .

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $8$ :

$x < \frac{- 16}{8}$

$x < - 2$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; - 2)$ .

Найбільшим цілим числом, яке строго менше від $- 2$ , є $- 3$ .

Відповідь: $- 3$ .

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $3$ :

$x < \frac{10}{3}$

$x < 3 \frac{1}{3}$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; 3 \frac{1}{3})$ .

Оскільки $3 \frac{1}{3} \approx 3, 33$ , найбільшим цілим числом, меншим від цього значення, є число $3$ .

Відповідь: $3$ .

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 6$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < \frac{- 25}{- 6}$

$x < 4 \frac{1}{6}$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; 4 \frac{1}{6})$ .

Оскільки $4 \frac{1}{6} \approx 4, 17$ , найбільшим цілим числом, меншим від цього значення, є число $4$ .

Відповідь: $4$ .

5.16.° При яких значеннях $a$ вираз $6 a + 1$ набуває від’ємних значень?

Вираз набуває від’ємних значень, якщо він строго менший від нуля:

$6 a + 1 < 0$

Перенесемо доданок $1$ у праву частину зі зміною знака:

$6 a < - 1$

Поділимо обидві частини на $6$ :

$a < - \frac{1}{6}$

Отже, $a \in (- \infty; - \frac{1}{6})$ .

Відповідь: при $a < - \frac{1}{6}$ (або $a \in (- \infty; - \frac{1}{6})$ ).

5.17.° При яких значеннях $b$ вираз $7 - 2 b$ набуває додатних значень?

Вираз набуває додатних значень, якщо він строго більший за нуль:

$7 - 2 b > 0$

Перенесемо доданок $7$ у праву частину:

$- 2 b > - 7$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 2$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$b < \frac{- 7}{- 2}$

$b < 3, 5$

Отже, $b \in (- \infty; 3, 5)$ .

Відповідь: при $b < 3, 5$ (або $b \in (- \infty; 3, 5)$ ).

5.18.° При яких значеннях $m$ значення виразу $2 - 4 m$ не менші від $- 22$ ?

Умова «не менші від $- 22$ » відповідає знаку нерівності $\geq$ :

$2 - 4 m \geq - 22$

Перенесемо доданок $2$ у праву частину зі зміною знака:

$- 4 m \geq - 22 - 2$

$- 4 m \geq - 24$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 4$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$m \leq \frac{- 24}{- 4}$

$m \leq 6$

Отже, $m \in (- \infty; 6]$ .

Відповідь: при $m \leq 6$ (або $m \in (- \infty; 6]$ ).

5.19.° При яких значеннях $n$ значення виразу $12 n -5$ не більші за –53?

Складемо нерівність за умовою задачі:

$12 n - 5 \leq - 53$

Перенесемо число $- 5$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$12 n \leq - 53 + 5$

$12 n \leq - 48$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $12$ , зберігаючи знак нерівності:

$n \leq - 4$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; - 4]$ .

Зобразимо розв’язок на числовій прямій:

Відповідь: $n \leq - 4$ (або $n \in (- \infty; - 4]$ ).

5.20.° При яких значеннях $x$ має зміст вираз:
1) $4 x + 20$ ;
2) $5-14 x$ ;
3) $\frac{10}{4 x + 10}$ ?

Арифметичний квадратний корінь має зміст тоді й тільки тоді, коли підкореневий вираз є невід’ємним:

$4 x + 20 \geq 0$

$4 x \geq - 20$

$x \geq - 5$

Відповідь: при $x \geq - 5$ (або $x \in [- 5; + \infty)$ ).

Підкореневий вираз має бути невід’ємним:

$5 - 14 x \geq 0$

$- 14 x \geq - 5$

Поділимо обидві частини нерівності на від’ємне число $- 14$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq \frac{5}{14}$

Відповідь: при $x \leq \frac{5}{14}$ (або $x \in (- \infty; \frac{5}{14}]$ ).

Дріб має зміст, коли його знаменник не дорівнює нулю, а вираз під знаком квадратного кореня є невід’ємним. Отже, вираз під коренем у знаменнику має бути строго додатним:

$4 x + 10 > 0$

$4 x > - 10$

$x > - \frac{10}{4}$

$x > - 2, 5$

Відповідь: при $x > - 2, 5$ (або $x \in (- 2, 5; + \infty)$ ).

5.21.° Знайдіть область визначення функції:
1) $f (x) = 13-2 x$ ;
2) $f (x) = \frac{x}{- x - 1}$ .

Область визначення функції $D (f)$ задається умовою невід’ємності підкореневого виразу:

$13 - 2 x \geq 0$

$- 2 x \geq - 13$

$x \leq 6, 5$

Відповідь: $D (f) = (- \infty; 6, 5]$ .

Знаменник дробу містить корінь, тому вираз під коренем має бути строго більшим за нуль:

$- x - 1 > 0$

$- x > 1$

$x < - 1$

Відповідь: $D (f) = (- \infty; - 1)$ .

5.22.° Розв’яжіть нерівність:
1) $8 x + 2 < 9 x -3$ ;
2) $6-6 x > 10-4 x$ ;
3) $6 y + 8 \leq 10 y -8$ ;
4) $3-11 y \geq -3 y + 6$ ;
5) –8p – 2 < 3 – 10p;
6) $3 m -1 \leq 1, 5 m + 5$ .

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числові доданки — у праву:

$8 x - 9 x < - 3 - 2$

$- x < - 5$

$x > 5$

Відповідь: $x \in (5; + \infty)$ .

Згрупуємо доданки:

$- 6 x + 4 x > 10 - 6$

$- 2 x > 4$

$x < - 2$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 2)$ .

Згрупуємо доданки зі змінною $y$ :

$6 y - 10 y \leq - 8 - 8$

$- 4 y \leq - 16$

$y \geq 4$

Відповідь: $y \in [4; + \infty)$ .

Перенесемо доданки:

$- 11 y + 3 y \geq 6 - 3$

$- 8 y \geq 3$

$y \leq - \frac{3}{8}$

Відповідь: $y \in (- \infty; - \frac{3}{8}]$ .

Згрупуємо доданки зі змінною $p$ :

$- 8 p + 10 p < 3 + 2$

$2 p < 5$

$p < 2, 5$

Відповідь: $p \in (- \infty; 2, 5)$ .

Згрупуємо доданки зі змінною $m$ :

$3 m - 1, 5 m \leq 5 + 1$

$1, 5 m \leq 6$

$m \leq 4$

Відповідь: $m \in (- \infty; 4]$ .

5.23.° Розв’яжіть нерівність:
1) $4 + 11 x > 7 + 12 x$ ;
2) $35 x -28 \leq 32 x + 2$ ;
3) $3 x -10 < 6 x + 2$ ;
4) $6 x -3 \geq 2 x -25$ .

Перенесемо доданки:

$11 x - 12 x > 7 - 4$

$- x > 3$

$x < - 3$

Відповідь: $x \in (- \infty; - 3)$ .

Перенесемо доданки:

$35 x - 32 x \leq 2 + 28$

$3 x \leq 30$

$x \leq 10$

Відповідь: $x \in (- \infty; 10]$ .

Перенесемо доданки:

$3 x - 6 x < 2 + 10$

$- 3 x < 12$

$x > - 4$

Відповідь: $x \in (- 4; + \infty)$ .

Перенесемо доданки:

$6 x - 2 x \geq - 25 + 3$

$4 x \geq - 22$

$x \geq - 5, 5$

Відповідь: $x \in [- 5, 5; + \infty)$ .

5.24.• Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{4 x}{3} + \frac{x}{2} < 11$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів, тобто на $6$ :

$6 \cdot \frac{4 x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} < 6 \cdot 11$

$2 \cdot 4 x + 3 \cdot x < 66$

$8 x + 3 x < 66$

$11 x < 66$

Поділимо обидві частини нерівності на $11$ :

$x < 6$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; 6)$ .

Відповідь: $(- \infty; 6)$ .

2) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \leq x$

Помножимо обидві частини нерівності на $8$ :

$8 \cdot \frac{x}{8} - 8 \cdot \frac{1}{4} \leq 8 \cdot x$

$x - 2 \leq 8 x$

Перенесемо доданок $8 x$ у ліву частину, а $- 2$ — у праву частину зі зміною знаків на протилежні:

$x - 8 x \leq 2$

$- 7 x \leq 2$

Поділимо обидві частини на від’ємне число $- 7$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \geq - \frac{2}{7}$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $[- \frac{2}{7}; + \infty)$ .

Відповідь: $[- \frac{2}{7}; + \infty)$ .

5.25.• Розв’яжіть нерівність:

1) $\frac{y}{6} - \frac{5 y}{4} < 1$

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $12$ :

$12 \cdot \frac{y}{6} - 12 \cdot \frac{5 y}{4} < 12 \cdot 1$

$2 y - 15 y < 12$

$- 13 y < 12$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 13$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$y > - \frac{12}{13}$

Відповідь: $(- \frac{12}{13}; + \infty)$ .

2) $\frac{x}{10} - \frac{x}{5} > - 2$

Помножимо обидві частини нерівності на $10$ :

$10 \cdot \frac{x}{10} - 10 \cdot \frac{x}{5} > 10 \cdot (- 2)$

$x - 2 x > - 20$

$- x > - 20$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x < 20$

Відповідь: $(- \infty; 20)$ .

5.26.• Розв’яжіть нерівність:

1) $3 - 5 (2 x + 4) \geq 7 - 2 x$

Розкриємо дужки:

$3 - 10 x - 20 \geq 7 - 2 x$

$- 10 x - 17 \geq 7 - 2 x$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числа — в праву:

$- 10 x + 2 x \geq 7 + 17$

$- 8 x \geq 24$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 8$ :

$x \leq - 3$

Відповідь: $(- \infty; - 3]$ .

2) $6 x - 3 (x - 1) \leq 2 + 5 x$

Розкриємо дужки:

$6 x - 3 x + 3 \leq 2 + 5 x$

$3 x + 3 \leq 2 + 5 x$

$3 x - 5 x \leq 2 - 3$

$- 2 x \leq - 1$

Поділимо обидві частини на $- 2$ :

$x \geq 0, 5$

Відповідь: $[0, 5; + \infty)$ .

3) $x - 2 (x - 1) \geq 10 + 3 (x + 4)$

Розкриємо дужки:

$x - 2 x + 2 \geq 10 + 3 x + 12$

$- x + 2 \geq 3 x + 22$

$- x - 3 x \geq 22 - 2$

$- 4 x \geq 20$

Поділимо обидві частини на $- 4$ :

$x \leq - 5$

Відповідь: $(- \infty; - 5]$ .

4) $2 (2 x - 3, 5) - 3 (2 - 3 x) < 6 (1 - x)$

Розкриємо дужки:

$4 x - 7 - 6 + 9 x < 6 - 6 x$

$13 x - 13 < 6 - 6 x$

$13 x + 6 x < 6 + 13$

$19 x < 19$

Поділимо обидві частини на $19$ :

$x < 1$

Відповідь: $(- \infty; 1)$ .

5) $(x + 1) (x - 2) \leq (x - 3) (x + 3)$

Розкриємо дужки та застосуємо формулу різниці квадратів:

$x^{2} - 2 x + x - 2 \leq x^{2} - 9$

$x^{2} - x - 2 \leq x^{2} - 9$

$x^{2} - x - x^{2} \leq - 9 + 2$

$- x \leq - 7$

Поділимо обидві частини на $- 1$ :

$x \geq 7$

Відповідь: $[7; + \infty)$ .

6) $\frac{3 x + 7}{4} - \frac{5 x - 2}{2} < x$

Помножимо обидві частини нерівності на спільний знаменник $4$ :

$4 \cdot \frac{3 x + 7}{4} - 4 \cdot \frac{5 x - 2}{2} < 4 \cdot x$

$(3 x + 7) - 2 (5 x - 2) < 4 x$

$3 x + 7 - 10 x + 4 < 4 x$

$- 7 x + 11 < 4 x$

$- 7 x - 4 x < - 11$

$- 11 x < - 11$

Поділимо обидві частини на $- 11$ :

$x > 1$

Відповідь: $(1; + \infty)$ .

7) $(x - 5) (x + 1) \leq 3 + (x - 2)^{2}$

Розкриємо дужки та застосуємо формулу квадрата різниці:

$x^{2} + x - 5 x - 5 \leq 3 + (x^{2} - 4 x + 4)$

$x^{2} - 4 x - 5 \leq x^{2} - 4 x + 7$

$x^{2} - 4 x - x^{2} + 4 x \leq 7 + 5$

$0 x \leq 12$

Нерівність $0 \leq 12$ є правильною числовою нерівністю при будь-якому значенні $x$ .

Відповідь: $x$ — будь-яке число (тобто $(- \infty; + \infty)$ ).

8) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6}$

Помножимо обидві частини нерівності на спільний знаменник $6$ :

$6 \cdot \frac{x + 1}{2} - 6 \cdot \frac{x - 3}{3} > 6 \cdot 2 + 6 \cdot \frac{x}{6}$

$3 (x + 1) - 2 (x - 3) > 12 + x$

$3 x + 3 - 2 x + 6 > 12 + x$

$x + 9 > 12 + x$

$x - x > 12 - 9$

$0 x > 3$

Нерівність $0 > 3$ є неправильною для будь-якого значення $x$ , тому нерівність не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає ( $\emptyset$ ).

5.27.• Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) $3 (4 x + 9) + 5 > 7 (8 - x)$

Розкриємо дужки:

$12 x + 27 + 5 > 56 - 7 x$

$12 x + 32 > 56 - 7 x$

$12 x + 7 x > 56 - 32$

$19 x > 24$

$x > \frac{24}{19}$

Відповідь: $(\frac{24}{19}; + \infty)$ .

2) $(y + 3) (y - 5) - (y - 1)^{2} > - 16$

Розкриємо дужки:

$(y^{2} - 5 y + 3 y - 15) - (y^{2} - 2 y + 1) > - 16$

$y^{2} - 2 y - 15 - y^{2} + 2 y - 1 > - 16$

$- 16 > - 16$

$0 y > 0$

Отримана числова нерівність $0 > 0$ є неправильною, тому дана нерівність не має розв’язків.

Відповідь: $\emptyset$ (розв’язків немає).

3) $\frac{3 x - 7}{5} - 1 \geq \frac{2 x - 6}{3}$

Помножимо обидві частини нерівності на $15$ :

$15 \cdot \frac{3 x - 7}{5} - 15 \cdot 1 \geq 15 \cdot \frac{2 x - 6}{3}$

$3 (3 x - 7) - 15 \geq 5 (2 x - 6)$

$9 x - 21 - 15 \geq 10 x - 30$

$9 x - 36 \geq 10 x - 30$

$9 x - 10 x \geq - 30 + 36$

$- x \geq 6$

$x \leq - 6$

Відповідь: $(- \infty; - 6]$ .

4) $\frac{2 x}{3} - \frac{x - 1}{6} - \frac{x + 2}{2} < 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $6$ :

$6 \cdot \frac{2 x}{3} - 6 \cdot \frac{x - 1}{6} - 6 \cdot \frac{x + 2}{2} < 6 \cdot 0$

$2 \cdot 2 x - (x - 1) - 3 (x + 2) < 0$

$4 x - x + 1 - 3 x - 6 < 0$

$0 x - 5 < 0$

$0 x < 5$

Нерівність $0 < 5$ є правильною при будь-якому значенні $x$ .

Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

5.28.• Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) $7 (x + 2) - 3 (x - 8) < 10$

Розв’яжемо нерівність:

$7 x + 14 - 3 x + 24 < 10$

$4 x + 38 < 10$

$4 x < 10 - 38$

$4 x < - 28$

$x < - 7$

Розв’язками є числа з проміжку $(- \infty; - 7)$ . Найбільшим цілим числом, яке строго менше від $- 7$ , є число $- 8$ .

Відповідь: $- 8$ .

2) $(x - 4) (x + 4) - 5 x > (x - 1)^{2} - 17$

Розкриємо дужки:

$x^{2} - 16 - 5 x > (x^{2} - 2 x + 1) - 17$

$x^{2} - 5 x - 16 > x^{2} - 2 x - 16$

$x^{2} - 5 x - x^{2} + 2 x > - 16 + 16$

$- 3 x > 0$

Поділимо на $- 3$ , змінивши знак нерівності:

$x < 0$

Розв’язками є числа з проміжку $(- \infty; 0)$ . Найбільшим цілим числом, яке строго менше від $0$ , є число $- 1$ .

Відповідь: $- 1$ .

5.29.• Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1) $\frac{4 x + 13}{10} - \frac{5 + 2 x}{4} > \frac{6 - 7 x}{20} - 2$ ;

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $20 > 0$ :

$2 (4 x + 13) - 5 (5 + 2 x) > 6 - 7 x - 2 \cdot 20$

Розкриємо дужки:

$8 x + 26 - 25 - 10 x > 6 - 7 x - 40$

Зведемо подібні доданки в обох частинах:

$- 2 x + 1 > - 7 x - 34$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числові доданки — у праву:

$- 2 x + 7 x > - 34 - 1$

$5 x > - 35$

Поділимо обидві частини нерівності на $5 > 0$ :

$x > - 7$

Множиною розв’язків нерівності є числовий проміжок $(- 7; + \infty)$ .

Найменшим цілим числом, яке належить проміжку $(- 7; + \infty)$ , є число $- 6$ .

Відповідь: $- 6$ .

2) $(x - 1) (x + 1) - (x - 4) (x + 2) \geq 0$ .

Застосуємо формулу різниці квадратів $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ та перемножимо многочлени $(x - 4) (x + 2) = x^{2} + 2 x - 4 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$ :

$(x^{2} - 1) - (x^{2} - 2 x - 8) \geq 0$

Розкриємо дужки:

$x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 8 \geq 0$

Зведемо подібні доданки:

$2 x + 7 \geq 0$

$2 x \geq - 7$

Поділимо обидві частини нерівності на $2 > 0$ :

$x \geq - 3, 5$

Множиною розв’язків нерівності є числовий проміжок $[- 3, 5; + \infty)$ .

Найменшим цілим числом, яке більше або дорівнює $- 3, 5$ , є число $- 3$ .

Відповідь: $- 3$ .

5.30.• Скільки цілих від’ємних розв’язків має нерівність $x - \frac{x + 7}{4} - \frac{11 x + 30}{12} < \frac{x - 5}{3}$ ?

Помножимо обидві частини нерівності на спільний знаменник $12 > 0$ :

$12 x - 3 (x + 7) - (11 x + 30) < 4 (x - 5)$

Розкриємо дужки:

$12 x - 3 x - 21 - 11 x - 30 < 4 x - 20$

Зведемо подібні доданки:

$- 2 x - 51 < 4 x - 20$

Перенесемо доданки зі змінною в ліву частину, а числові — у праву:

$- 2 x - 4 x < - 20 + 51$

$- 6 x < 31$

Поділимо обидві частини на від’ємне число $- 6$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x > - \frac{31}{6}$

$x > - 5 \frac{1}{6}$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- 5 \frac{1}{6}; + \infty)$ .

Знайдемо цілі від’ємні числа, які задовольняють умову $- 5 \frac{1}{6} < x < 0$ :

$x \in {- 5; - 4; - 3; - 2; - 1}$

Цих чисел рівно 5.

Відповідь: 5 цілих від’ємних розв’язків.

5.31.• Скільки натуральних розв’язків має нерівність $\frac{2 - 3 x}{4} - \frac{1}{5} \geq \frac{5 x + 6}{8}$ ?

Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $40 > 0$ :

$10 (2 - 3 x) - 8 \cdot 1 \geq 5 (5 x + 6)$

Розкриємо дужки:

$20 - 30 x - 8 \geq 25 x + 30$

$12 - 30 x \geq 25 x + 30$

Перенесемо доданки:

$- 30 x - 25 x \geq 30 - 12$

$- 55 x \geq 18$

Поділимо обидві частини нерівності на $- 55$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$x \leq - \frac{18}{55}$

Множиною розв’язків є числовий проміжок $(- \infty; - \frac{18}{55}]$ .

Натуральні числа — це додатні цілі числа ( $1, 2, 3, \dots$ ). Оскільки всі числа з отриманого проміжку є від’ємними ( $x \leq - \frac{18}{55} < 0$ ), дана нерівність не має жодного натурального розв’язку.

Відповідь: 0 натуральних розв’язків (жодного).

5.32.• При яких значеннях $x$ є правильною рівність:

1) $∣ x - 5∣ = x - 5$ ;

За означенням модуля дійсного числа, рівність $∣ a ∣ = a$ виконується тоді й тільки тоді, коли число $a$ є невід’ємним ( $a \geq 0$ ).

Отже:

$x - 5 \geq 0$

$x \geq 5$

Відповідь: при $x \geq 5$ (або $x \in [5; + \infty)$ ).

2) $∣2 x + 14∣ = - 2 x - 14$ ?

Зауважимо, що вираз у правій частині дорівнює протилежному значенню підмодульного виразу: $- 2 x - 14 = - (2 x + 14)$ .
За означенням модуля, рівність $∣ a ∣ = - a$ виконується тоді й тільки тоді, коли підмодульний вираз є недодатним ( $a \leq 0$ ).

Отже:

$2 x + 14 \leq 0$

$2 x \leq - 14$

$x \leq - 7$

Відповідь: при $x \leq - 7$ (або $x \in (- \infty; - 7]$ ).

5.33.• При яких значеннях $y$ є правильною рівність:

1) $\frac{∣ y + 7∣}{y + 7} = 1$ ;

ОДЗ: Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:

$y + 7 \neq = 0 ⟹ y \neq = - 7$

Помножимо обидві частини рівності на $(y + 7)$ :

$∣ y + 7∣ = y + 7$

Рівність $∣ a ∣ = a$ є правильною при $a \geq 0$ , тобто $y + 7 \geq 0$ .
Враховуючи область допустимих значень ( $y + 7 \neq = 0$ ), отримуємо строгу нерівність:

$y + 7 > 0$

$y > - 7$

Відповідь: при $y > - 7$ (або $y \in (- 7; + \infty)$ ).

2) $\frac{∣6 - y ∣}{y - 6} = 1$ ?

ОДЗ: Знаменник дробу не може дорівнювати нулю:

$y - 6 \neq = 0 ⟹ y \neq = 6$

Помножимо обидві частини рівності на $(y - 6)$ :

$∣6 - y ∣ = y - 6$

Оскільки під знаком модуля вирази можна поміняти місцями зі зміною знака ( $∣6 - y ∣ = ∣ y - 6∣$ ), маємо:

$∣ y - 6∣ = y - 6$

Рівність $∣ a ∣ = a$ є правильною, коли $a \geq 0$ , тобто $y - 6 \geq 0$ .
Враховуючи область допустимих значень ( $y - 6 \neq = 0$ ), отримуємо:

$y - 6 > 0$

$y > 6$

Відповідь: при $y > 6$ (або $y \in (6; + \infty)$ ).

5.34.• При яких значеннях $a$ рівняння:
1) $x^{2} + 3 x - a = 0$ не має коренів;
2) $2 x^{2} - 8 x + 5 a = 0$ має хоча б один корінь?

Квадратне рівняння $x^{2} + 3 x - a = 0$ не має коренів тоді й лише тоді, коли його дискримінант строго менший від нуля ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант:

$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- a) = 9 + 4 a$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$9 + 4 a < 0$

$4 a < - 9$

$a < - \frac{9}{4}$

$a < - 2, 25$

Квадратне рівняння $2 x^{2} - 8 x + 5 a = 0$ має хоча б один корінь (один або два), якщо його дискримінант невід’ємний ( $D \geq 0$ ).

Знайдемо дискримінант:

$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 a = 64 - 40 a$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$64 - 40 a \geq 0$

$- 40 a \geq - 64$

$a \leq \frac{- 64}{- 40}$

$a \leq 1, 6$

Відповідь: 1) $a < - 2, 25$ (або $a \in (- \infty; - 2, 25)$ ); 2) $a \leq 1, 6$ (або $a \in (- \infty; 1, 6]$ ).

5.35.• При яких значеннях $b$ рівняння:
1) $3 x^{2} - 6 x + b = 0$ має два різних корені;
2) $x^{2} - x - 2 b = 0$ не має коренів?

Квадратне рівняння $3 x^{2} - 6 x + b = 0$ має два різних корені, якщо його дискримінант строго більший за нуль ( $D > 0$ ).

Знайдемо дискримінант:

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot b = 36 - 12 b$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$36 - 12 b > 0$

$- 12 b > - 36$

$b < \frac{- 36}{- 12}$

$b < 3$

Квадратне рівняння $x^{2} - x - 2 b = 0$ не має коренів, якщо його дискримінант строго менший від нуля ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 b) = 1 + 8 b$

Складемо та розв’яжемо нерівність:

$1 + 8 b < 0$

$8 b < - 1$

$b < - \frac{1}{8}$

$b < - 0, 125$

Відповідь: 1) $b < 3$ (або $b \in (- \infty; 3)$ ); 2) $b < - \frac{1}{8}$ (або $b \in (- \infty; - \frac{1}{8})$ ).

5.36.• У коробці лежать сині та жовті кулі. Кількість синіх куль відноситься до кількості жовтих як $3 : 4$ . Яка найбільша кількість синіх куль може бути в коробці, якщо всього куль не більше за 44?

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $k$ , де $k \in N$ .
Тоді в коробці лежить $3 k$ синіх куль і $4 k$ жовтих куль.

Загальна кількість куль у коробці становить:

$3 k + 4 k = 7 k$

За умовою задачі всього куль не більше за 44:

$7 k \leq 44$

$k \leq \frac{44}{7}$

$k \leq 6 \frac{2}{7}$

Оскільки $k$ є натуральним числом ( $k \in N$ ), найбільшим цілим значенням $k$ є число 6.

Знайдемо найбільшу кількість синіх куль:

$3 \cdot 6 = 18$

Відповідь: 18 куль.

5.37.• У саду ростуть яблуні, вишні та сливи, кількості яких відносяться як $5 : 4 : 2$ відповідно. Якою може бути найменша кількість вишень, якщо всього дерев у саду не менше від 120?

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $k$ , де $k \in N$ .
Тоді в саду росте $5 k$ яблунь, $4 k$ вишень та $2 k$ слив.

Загальна кількість дерев у саду дорівнює:

$5 k + 4 k + 2 k = 11 k$

За умовою задачі загальна кількість дерев не менша від 120:

$11 k \geq 120$

$k \geq \frac{120}{11}$

$k \geq 10 \frac{10}{11}$

Оскільки $k$ — натуральне число ( $k \in N$ ), найменшим можливим цілим значенням $k$ є число 11.

Знайдемо найменшу кількість вишень:

$4 \cdot 11 = 44$

Відповідь: 44 вишні.

5.38.•• Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 14 см і $a$ см, де $a$ — натуральне число. Якого найбільшого значення може набувати $a$ ?

За теоремою про нерівність трикутника, кожна сторона трикутника має бути строго меншою від суми двох інших сторін і строго більшою за модуль їх різниці:

$14 - 8 < a < 14 + 8$

$6 < a < 22$

Отже, сторона $a$ належить інтервалу $(6; 22)$ .

Оскільки $a$ є натуральним числом ( $a \in N$ ), найбільшим цілим числом із проміжку $6 < a < 22$ є число 21.

Відповідь: 21.

5.39. При яких значеннях $x$ визначена функція:

1) $f (x) = x + 4 + \frac{1}{x - 2}$ ;

2) $f (x) = 24 - 8 x + \frac{6}{x ^{2} - 16}$ ;

3) $f (x) = \frac{1}{3 x + 9} - \frac{8}{∣ x ∣ - 2}$ ;

4) $f (x) = x + 1 + \frac{4}{x ^{2} - 1}$ ?

Функція визначена, якщо підкореневий вираз невід’ємний, а знаменник дробу не дорівнює нулю. Складемо та розв’яжемо систему:

${x + 4 \geq 0 x - 2 \neq = 0 ⟺ {x \geq - 4 x \neq = 2$
Отже, $x \in [- 4; 2) \cup (2; + \infty)$ .

Відповідь: $x \in [- 4; 2) \cup (2; + \infty)$ .

Складемо систему умов:

${24 - 8 x \geq 0 x^{2} - 16 \neq = 0 ⟺ {- 8 x \geq - 24 x^{2} \neq = 16 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x \leq 3 x \neq = 4 x \neq = - 4$
Оскільки число $4$ не належить проміжку $(- \infty; 3]$ , виключаємо лише число $- 4$ . Маємо: $x \in (- \infty; - 4) \cup (- 4; 3]$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; - 4) \cup (- 4; 3]$ .

Оскільки корінь стоїть у знаменнику, підкореневий вираз має бути строго додатним:

${3 x + 9 > 0 ∣ x ∣ - 2 \neq = 0 ⟺ {3 x > - 9 ∣ x ∣ \neq = 2 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > - 3 x \neq = - 2 x \neq = 2$
Обидві точки $- 2$ та $2$ більші за $- 3$ , тому обидві виключаються з проміжку.

Відповідь: $x \in (- 3; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ .

Складемо систему умов:

${x + 1 \geq 0 x^{2} - 1 \neq = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x \geq - 1 x \neq = - 1 x \neq = 1 ⟺ {x > - 1 x \neq = 1$
Точка $- 1$ стає строго виколотою через рівність знаменника нулю.

Відповідь: $x \in (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ .

5.40. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

1) $9 - x + \frac{10}{x + 3}$ ;

2) $\frac{6}{3 x - 21} + \frac{9}{x ^{2} - 64}$ ?

Вираз має зміст, якщо підкореневий вираз невід’ємний, а знаменник не дорівнює нулю:

${9 - x \geq 0 x + 3 \neq = 0 ⟺ {x \leq 9 x \neq = - 3$
Отже, $x \in (- \infty; - 3) \cup (- 3; 9]$ .

Відповідь: $x \in (- \infty; - 3) \cup (- 3; 9]$ .

Вираз має зміст за умов:

${3 x - 21 > 0 x^{2} - 64 \neq = 0 ⟺ {3 x > 21 x \neq = \pm 8 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 7 x \neq = 8 x \neq = - 8$
Оскільки число $- 8$ менше за $7$ , виключаємо тільки точку $8$ . Отримуємо $x \in (7; 8) \cup (8; + \infty)$ .

Відповідь: $x \in (7; 8) \cup (8; + \infty)$ .

5.41. Розв’яжіть рівняння:

1) $∣ x - 3∣ + x = 15$ ;

2) $∣ x + 1∣ - 4 x = 14$ .

Розкриємо модуль за означенням:

Якщо $x - 3 \geq 0$ , тобто $x \geq 3$ :
$x - 3 + x = 15$
$2 x = 18$
$x = 9$
Число $9$ задовольняє умову $x \geq 3$ .
Якщо $x - 3 < 0$ , тобто $x < 3$ :
$- (x - 3) + x = 15$
$- x + 3 + x = 15$
$3 = 15 (неправильна числова рівність, розв ’ язків немає)$

Відповідь: $9$ .

Розкриємо модуль за означенням:

Якщо $x + 1 \geq 0$ , тобто $x \geq - 1$ :
$x + 1 - 4 x = 14$
$- 3 x = 13$
$x = - \frac{13}{3} = - 4 \frac{1}{3}$
Число $- 4 \frac{1}{3}$ не задовольняє умову $x \geq - 1$ , тому не є коренем.
Якщо $x + 1 < 0$ , тобто $x < - 1$ :
$- (x + 1) - 4 x = 14$
$- x - 1 - 4 x = 14$
$- 5 x = 15$
$x = - 3$
Число $- 3$ задовольняє умову $x < - 1$ .

Відповідь: $- 3$ .

5.42. Розв’яжіть рівняння:

1) $∣ x + 5∣ + 2 x = 7$ ;

2) $∣3 - 2 x ∣ - x = 9$ .

Розглянемо два випадки розкриття модуля:

Якщо $x + 5 \geq 0$ , тобто $x \geq - 5$ :
$x + 5 + 2 x = 7$
$3 x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Значення $\frac{2}{3}$ задовольняє умову $x \geq - 5$ .
Якщо $x + 5 < 0$ , тобто $x < - 5$ :
$- (x + 5) + 2 x = 7$
$- x - 5 + 2 x = 7$
$x = 12$
Значення $12$ не задовольняє умову $x < - 5$ , тому є стороннім коренем.

Відповідь: $\frac{2}{3}$ .

Знайдемо нуль підмодульного виразу: $3 - 2 x = 0 ⟹ x = 1, 5$ .

Якщо $x \leq 1, 5$ , то $3 - 2 x \geq 0$ :
$3 - 2 x - x = 9$
$- 3 x = 6$
$x = - 2$
Значення $- 2$ задовольняє умову $x \leq 1, 5$ .
Якщо $x > 1, 5$ , то $3 - 2 x < 0$ :
$- (3 - 2 x) - x = 9$
$- 3 + 2 x - x = 9$
$x = 12$
Значення $12$ задовольняє умову $x > 1, 5$ .

Відповідь: $- 2; 12$ .

5.43. Побудуйте графік функції:

1) $y = ∣ x - 2∣$ ;

2) $y = ∣ x + 3∣ - 1$ .

За означенням модуля маємо:

y = {x - 2, - (x - 2) = - x + 2, якщо x \geq 2 якщо x < 2

Графік складається з двох променів із вершиною в точці $(2; 0)$ .

Таблиця значень для побудови:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

За означенням модуля:

y = {(x + 3) - 1 = x + 2, - (x + 3) - 1 = - x - 4, якщо x \geq - 3 якщо x < - 3

Графік отримується зсувом графіка $y = ∣ x ∣$ на $3$ одиниці ліворуч і на $1$ одиницю вниз. Вершина розташована в точці $(- 3; - 1)$ .

Таблиця значень для побудови:

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$y$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

5.44.•• Побудуйте графік функції:
1) $y = ∣ x + 4∣$ ;
2) $y = ∣ x - 5∣ + 2$ .

1) Розглянемо функцію $y = ∣ x + 4∣$ .
Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; + \infty)$ .

За означенням модуля:

y = {x + 4, - (x + 4) = - x - 4, якщо x + 4 \geq 0 (x \geq - 4), якщо x + 4 < 0 (x < - 4) .

Графіком цієї функції є куточок із вершиною в точці $(- 4; 0)$ , складений із двох променів.

Складемо таблицю значень:

$x$	$- 8$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$0$
$y$	$4$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$4$

2) Розглянемо функцію $y = ∣ x - 5∣ + 2$ .
Область визначення функції: $D (y) = (- \infty; + \infty)$ .

За означенням модуля:

y = {(x - 5) + 2 = x - 3, - (x - 5) + 2 = - x + 7, якщо x \geq 5, якщо x < 5.

Графік отримується паралельним перенесенням графіка $y = ∣ x ∣$ на $5$ одиниць праворуч уздовж осі $O x$ та на $2$ одиниці вгору уздовж осі $O y$ . Вершина розташована в точці $(5; 2)$ .

Складемо таблицю значень:

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$y$	$5$	$4$	$3$	$2$	$3$	$4$	$5$

5.45.•• При яких значеннях $a$ рівняння:
1) $4 x + a = 2$ має додатний корінь;
2) $(a + 6) x = 3$ має від’ємний корінь?

1) Виразимо змінну $x$ через параметр $a$ :

$4 x = 2 - a ⟹ x = \frac{2 - a}{4}$

За умовою задачі корінь має бути додатним ( $x > 0$ ):

$\frac{2 - a}{4} > 0$

Помножимо обидві частини нерівності на $4$ :

$2 - a > 0 ⟹ - a > - 2 ⟹ a < 2$

Відповідь: $a < 2$ (або $a \in (- \infty; 2)$ ).

2) Розглянемо рівняння $(a + 6) x = 3$ :

Якщо $a + 6 = 0$ (тобто $a = - 6$ ), рівняння набуває вигляду $0 \cdot x = 3$ , яке не має коренів.
Якщо $a + 6 \neq = 0$ (тобто $a \neq = - 6$ ), то:

$x = \frac{3}{a + 6}$

За умовою корінь має бути від’ємним ( $x < 0$ ):

$\frac{3}{a + 6} < 0$

Оскільки чисельник дробу $3 > 0$ , дріб буде від’ємним тоді й тільки тоді, коли його знаменник від’ємний:

$a + 6 < 0 ⟹ a < - 6$

Відповідь: $a < - 6$ (або $a \in (- \infty; - 6)$ ).

5.46.•• При яких значеннях $m$ рівняння $2 + 4 x = m - 6$ має невід’ємний корінь?

Виразимо змінну $x$ через параметр $m$ :

$4 x = m - 6 - 2$

$4 x = m - 8$

$x = \frac{m - 8}{4}$

Корінь рівняння є невід’ємним, якщо $x \geq 0$ :

$\frac{m - 8}{4} \geq 0$

Помножимо обидві частини на $4$ :

$m - 8 \geq 0 ⟹ m \geq 8$

Відповідь: $m \geq 8$ (або $m \in [8; + \infty)$ ).

5.47. Знайдіть усі значення $a$ , при яких має два різних корені рівняння:*
1) $a x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ;
2) $(a + 1) x^{2} - (2 a - 3) x + a = 0$ .

1) Рівняння $a x^{2} + 2 x - 1 = 0$ має два різних корені тоді й лише тоді, коли воно є квадратним ( $a \neq = 0$ ) і його дискримінант строго більший за нуль ( $D > 0$ ).

Знайдемо дискримінант рівняння:

$D = 2^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 1) = 4 + 4 a$

Складемо систему умов:

${a \neq = 0 4 + 4 a > 0 ⟹ {a \neq = 0 4 a > - 4 ⟹ {a \neq = 0 a > - 1$

Отже, $a \in (- 1; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Відповідь: $a \in (- 1; 0) \cup (0; + \infty)$ .

2) Рівняння $(a + 1) x^{2} - (2 a - 3) x + a = 0$ має два різних корені, якщо воно є квадратним ( $a + 1 \neq = 0$ ) і $D > 0$ .

Умова квадратності:

$a + 1 \neq = 0 ⟹ a \neq = - 1$

Знайдемо дискримінант:

$D = (- (2 a - 3))^{2} - 4 \cdot (a + 1) \cdot a$

$D = 4 a^{2} - 12 a + 9 - 4 a^{2} - 4 a = - 16 a + 9$

Вимагаємо $D > 0$ :

$- 16 a + 9 > 0 ⟹ - 16 a > - 9 ⟹ a < \frac{9}{16}$

Об’єднуючи умови $a < \frac{9}{16}$ та $a \neq = - 1$ , маємо:

$a \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; \frac{9}{16})$

Відповідь: $a \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; \frac{9}{16})$ .

5.48. Знайдіть усі значення $a$ , при яких не має коренів рівняння $(a - 2) x^{2} + (2 a + 1) x + a = 0$ .*

Розглянемо два випадки залежно від старшого коефіцієнта рівняння:

Якщо $a - 2 = 0$ , тобто $a = 2$ :
Рівняння стає лінійним:

$(2 - 2) x^{2} + (2 \cdot 2 + 1) x + 2 = 0$

$0 \cdot x^{2} + 5 x + 2 = 0 ⟹ 5 x = - 2 ⟹ x = - 0, 4$
У цьому випадку рівняння має один корінь $x = - 0, 4$ , отже, значення $a = 2$ не задовольняє умову задачі.

Якщо $a - 2 \neq = 0$ , тобто $a \neq = 2$ :
Рівняння є квадратним. Квадратне рівняння не має дійсних коренів тоді й лише тоді, коли його дискримінант строго менший від нуля ( $D < 0$ ).

Знайдемо дискримінант:

$D = (2 a + 1)^{2} - 4 \cdot (a - 2) \cdot a$

$D = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} + 8 a = 12 a + 1$

Розв’яжемо нерівність $D < 0$ :

$12 a + 1 < 0 ⟹ 12 a < - 1 ⟹ a < - \frac{1}{12}$

Оскільки $- \frac{1}{12} < 2$ , умова $a \neq = 2$ виконується автоматично для всіх значень $a < - \frac{1}{12}$ .

Відповідь: $a < - \frac{1}{12}$ (або $a \in (- \infty; - \frac{1}{12})$ ).

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕМАТИКУ

5.49. Човен проплив деяку відстань за течією річки, а потім повернувся назад, витративши на всю подорож не більше п’яти годин. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 5 км/год, а швидкість течії — 1 км/год. Яку найбільшу відстань міг пропливти човен за течією річки?

Нехай шукана відстань в один бік дорівнює $s$ км, де $s > 0$ .

Знайдемо швидкість човна за течією та проти течії річки:
- швидкість за течією: $v_{1} = 5 + 1 = 6 км / год$ ;
- швидкість проти течії: $v_{2} = 5 - 1 = 4 км / год$ .
Знайдемо час, витрачений на рух:
- час руху за течією: $t_{1} = \frac{s}{6} год$ ;
- час руху проти течії: $t_{2} = \frac{s}{4} год$ .
Оскільки загальний час подорожі становить не більше 5 годин, складемо нерівність:

$\frac{s}{6} + \frac{s}{4} \leq 5$

Розв’яжемо отриману лінійну нерівність:
- помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $12$ :
  $12 \cdot \frac{s}{6} + 12 \cdot \frac{s}{4} \leq 12 \cdot 5$
  $2 s + 3 s \leq 60$
  $5 s \leq 60$
  $s \leq 12$

Оскільки $s > 0$ , маємо проміжок $s \in (0; 12]$ .

Найбільше значення $s$ , що задовольняє нерівність, дорівнює $12 км$ .

Відповідь: 12 км.

5.50. Софія каталася на електросамокаті. Спочатку вона їхала за вітром, а потім повернулася назад, рухаючись проти вітру. Уся поїздка тривала не більше ніж 1 год 48 хв. Швидкість руху самоката по рівній дорозі становить 18 км/год. Вітер збільшує чи зменшує його швидкість залежно від напрямку руху на 2 км/год. Яку найбільшу відстань могла проїхати Софія в один бік?

Нехай шукана відстань в один бік становить $s$ км, де $s > 0$ .

Переведемо час у години:

$1 год 48 хв = 1 + \frac{48}{60} = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} год$

Визначимо швидкість руху електросамоката:
- за вітром: $v_{1} = 18 + 2 = 20 км / год$ ;
- проти вітру: $v_{2} = 18 - 2 = 16 км / год$ .
Час руху в обидва боки становить $\frac{s}{20}$ год та $\frac{s}{16}$ год відповідно. Складемо нерівність:

$\frac{s}{20} + \frac{s}{16} \leq \frac{9}{5}$

Розв’яжемо нерівність:
- помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник $80$ :
  $80 \cdot \frac{s}{20} + 80 \cdot \frac{s}{16} \leq 80 \cdot \frac{9}{5}$
  $4 s + 5 s \leq 16 \cdot 9$
  $9 s \leq 144$
  $s \leq 16$

З урахуванням $s > 0$ маємо $s \in (0; 16]$ .

Найбільше можливе значення відстані дорівнює $16 км$ .

Відповідь: 16 км.

5.51. Андрій має денний ліміт мобільного інтернету 800 мегабайтів. Він хоче подивитися кілька відео в інтернеті, а також переглянути соціальні мережі. Андрій знає, що на одну хвилину перегляду відео витрачається 10 мегабайтів, під час перевірки соціальних мереж витрачається близько 50 мегабайтів трафіку. Який найдовший час (у хвилинах) Андрій може дивитися відео, щоб не перевищити денний ліміт трафіку?

Нехай час перегляду відео становить $t$ хвилин, де $t \geq 0$ .

Загальний обсяг витраченого інтернет-трафіку складається з витрат на відео ( $10 t$ МБ) та соціальні мережі ( $50$ МБ):

$10 t + 50$

Оскільки денний ліміт не повинен перевищувати $800 МБ$ , складемо нерівність:

$10 t + 50 \leq 800$

Розв’яжемо нерівність:

$10 t \leq 800 - 50$

$10 t \leq 750$

$t \leq 75$

Отже, $t \in [0; 75]$ .

Найдовший час, протягом якого Андрій може дивитися відео, становить $75 хв$ .

Відповідь: 75 хв.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

5.52. Порівняйте значення виразів:

$398$ і $472$ ;
$\frac{1}{2} 68$ і $\frac{4}{3} 45$ ;
$\frac{1}{6} 108$ і $6 \frac{1}{12}$ .

Внесемо множники під знак кореня для кожного випадку:

Внесемо додатні множники $3$ та $4$ під знаки коренів:

$398 = 3^{2} \cdot 98 = 9 \cdot 98 = 882$

$472 = 4^{2} \cdot 72 = 16 \cdot 72 = 1152$
Оскільки $882 < 1152$ , то $882 < 1152$ , звідки $398 < 472$ .

Внесемо додатні множники $\frac{1}{2}$ та $\frac{4}{3}$ під знаки коренів:

$\frac{1}{2} 68 = (\frac{1}{2})^{2} \cdot 68 = \frac{1}{4} \cdot 68 = 17$

$\frac{4}{3} 45 = (\frac{4}{3})^{2} \cdot 45 = \frac{16}{9} \cdot 45 = 16 \cdot 5 = 80$
Оскільки $17 < 80$ , то $17 < 80$ , звідки $\frac{1}{2} 68 < \frac{4}{3} 45$ .

Внесемо додатні множники $\frac{1}{6}$ та $6$ під знаки коренів:

$\frac{1}{6} 108 = (\frac{1}{6})^{2} \cdot 108 = \frac{1}{36} \cdot 108 = 3$

$6 \frac{1}{12} = 6^{2} \cdot \frac{1}{12} = 36 \cdot \frac{1}{12} = 3$
Оскільки $3 = 3$ , то $\frac{1}{6} 108 = 6 \frac{1}{12}$ .

Відповідь:

$398 < 472$ ;
$\frac{1}{2} 68 < \frac{4}{3} 45$ ;
$\frac{1}{6} 108 = 6 \frac{1}{12}$ .

5.53. Щоб наповнити басейн водою через одну трубу, потрібно в 1,5 раза більше часу, ніж для того, щоб наповнити його через другу трубу. Якщо ж відкрити одночасно обидві труби, то басейн наповниться за 6 год. За скільки годин можна наповнити басейн через кожну трубу окремо?

Приймемо весь об’єм басейну за $1$ .

Нехай час, за який наповнює басейн друга труба, дорівнює $x$ год ( $x > 0$ ), тоді перша труба наповнює басейн за $1, 5 x$ год.
Продуктивність праці:
- другої труби: $\frac{1}{x}$ частини басейну за годину;
- першої труби: $\frac{1}{1 , 5 x} = \frac{2}{3 x}$ частини басейну за годину.
Спільна продуктивність двох труб:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{3 x} = \frac{3}{3 x} + \frac{2}{3 x} = \frac{5}{3 x}$
4. Оскільки разом вони наповнюють басейн за $6$ год, спільна продуктивність дорівнює $\frac{1}{6}$ . Складемо рівняння:

$\frac{5}{3 x} = \frac{1}{6}$
5. Розв’яжемо рівняння за пропорцією:

$3 x = 5 \cdot 6$

$3 x = 30$

$x = 10$
6. Час наповнення басейну:

через другу трубу: $x = 10 год$ ;
через першу трубу: $1, 5 \cdot 10 = 15 год$ .

Відповідь: через першу трубу — за 15 год, через другу трубу — за 10 год.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

5.54. Трицифрове число $n$ є таким, що числа $n - 6$ , $n - 7$ і $n - 8$ кратні числам $7$ , $8$ і $9$ відповідно. Знайдіть число $n$ .

Проаналізуємо умову подільності:

Якщо число $n - 6$ ділиться націло на $7$ , то додавши до нього $7$ , отримаємо число, яке також кратне $7$ :

$(n - 6) + 7 = n + 1 ділиться на 7.$
2. Якщо число $n - 7$ ділиться націло на $8$ , то додавши до нього $8$ , отримаємо число, яке також кратне $8$ :

$(n - 7) + 8 = n + 1 ділиться на 8.$
3. Якщо число $n - 8$ ділиться націло на $9$ , то додавши до нього $9$ , отримаємо число, яке також кратне $9$ :

$(n - 8) + 9 = n + 1 ділиться на 9.$

Отже, число $n + 1$ ділиться націло на $7$ , $8$ та $9$ одночасно. Оскільки числа $7$ , $8$ і $9$ є взаємно простими, число $n + 1$ має бути кратним їхньому найменшому спільному кратному:

$НСК (7; 8; 9) = 7 \cdot 8 \cdot 9 = 504.$

Звідси маємо:

$n + 1 = 504 \cdot k, де k \in N,$

$n = 504 \cdot k - 1.$

Оскільки за умовою $n$ — трицифрове число ( $100 \leq n \leq 999$ ):

При $k = 1$ : $n = 504 \cdot 1 - 1 = 503$ .
При $k = 2$ : $n = 504 \cdot 2 - 1 = 1007$ (чотирицифрове число, не задовольняє умову).

Відповідь: $503$ .

5. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки

Теги статті:

До уроку