3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.28. Спростіть вираз:

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a ^{2} + 2 ab} + \frac{b}{a + b}$

Розкладемо знаменник першого дробу на множники:

$2 a^{2} + 2 ab = 2 a (a + b)$

Зведемо дроби до спільного знаменника $2 a (a + b)$ , помноживши чисельник і знаменник другого дробу на додатковий множник $2 a$ :

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a ( a + b )} + \frac{b \cdot 2 a}{2 a ( a + b )} = \frac{a ^{2} + b ^{2} + 2 ab}{2 a ( a + b )}$

Згорнемо вираз у чисельнику за формулою квадрата суми та скоротимо дріб на $(a + b)$ :

$\frac{( a + b ) ^{2}}{2 a ( a + b )} = \frac{a + b}{2 a}$

Відповідь: $\frac{a + b}{2 a}$ .

$\frac{a ^{2} + 9}{a ^{2} - 9} - \frac{a}{a + 3}$

Розкладемо знаменник першого дробу за формулою різниці квадратів:

$a^{2} - 9 = (a - 3) (a + 3)$

Зведемо до спільного знаменника $(a - 3) (a + 3)$ , помноживши другий дріб на $(a - 3)$ :

$\frac{a ^{2} + 9}{( a - 3 ) ( a + 3 )} - \frac{a ( a - 3 )}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{a ^{2} + 9 - ( a ^{2} - 3 a )}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{a ^{2} + 9 - a ^{2} + 3 a}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{3 a + 9}{( a - 3 ) ( a + 3 )}$

Винесемо спільний множник 3 у чисельнику та скоротимо дріб на $(a + 3)$ :

$\frac{3 ( a + 3 )}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{3}{a - 3}$

Відповідь: $\frac{3}{a - 3}$ .

$\frac{c + 1}{3 c} : \frac{c ^{2} - 1}{6 c ^{2}}$

Замінимо ділення множенням на обернений дріб і розкладемо різницю квадратів у знаменнику:

$\frac{c + 1}{3 c} \cdot \frac{6 c ^{2}}{c ^{2} - 1} = \frac{( c + 1 ) \cdot 6 c ^{2}}{3 c \cdot ( c - 1 ) ( c + 1 )}$

Скоротимо дріб на $3 c (c + 1)$ :

$\frac{2 c}{c - 1}$

Відповідь: $\frac{2 c}{c - 1}$ .

$\frac{m ^{2} + 2 mn + n ^{2}}{m ^{2} - n ^{2}} : (m + n)$

Застосуємо формули скороченого множення (квадрат суми та різницю квадратів) і виконаємо ділення:

$\frac{( m + n ) ^{2}}{( m - n ) ( m + n )} \cdot \frac{1}{m + n} = \frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{1}{m + n} = \frac{1}{m - n}$

Відповідь: $\frac{1}{m - n}$ .

2.29. Моторний човен за один і той самий час може проплисти 48 км за течією річки або 36 км проти течії. Яка власна швидкість човна, якщо швидкість течії становить 2 км/год?

Нехай власна швидкість човна дорівнює $x$ км/год ( $x > 2$ ).

Швидкість човна за течією річки: $(x + 2)$ км/год.
Швидкість човна проти течії річки: $(x - 2)$ км/год.
Час руху за течією: $\frac{48}{x + 2}$ год.
Час руху проти течії: $\frac{36}{x - 2}$ год.

Оскільки на обидва шляхи витрачено однаковий час, складемо рівняння:

$\frac{48}{x + 2} = \frac{36}{x - 2}$

Поділимо обидві частини рівняння на 12 для спрощення коефіцієнтів:

$\frac{4}{x + 2} = \frac{3}{x - 2}$

За основною властивістю пропорції:

$4 (x - 2) = 3 (x + 2)$

$4 x - 8 = 3 x + 6$

$4 x - 3 x = 6 + 8$

$x = 14$

Корінь рівняння задовольняє умову задачі ( $14 > 2$ ).

Відповідь: 14 км/год.

1. Сформулюйте теорему про почленне додавання нерівностей.

Якщо $a > b$ і $c > d$ , то $a + c > b + d$ . При почленному додаванні правильних нерівностей однакового знака результатом є правильна нерівність того самого знака.

2. Поясніть, які нерівності називають нерівностями однакового знака, а які — нерівностями протилежних знаків.

Нерівності виду $a > b$ і $c > d$ (або $a < b$ і $c < d$ ) називають нерівностями однакового знака.
Нерівності виду $a > b$ і $c < d$ (або $a < b$ і $c > d$ ) називають нерівностями протилежних знаків.

3. Сформулюйте теорему про почленне множення нерівностей.

Якщо $a > b$ , $c > d$ і $a, b, c, d$ — додатні числа, то $a c > b d$ . При почленному множенні правильних нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини є додатними числами, результатом є правильна нерівність того самого знака.

4. Сформулюйте наслідок з теореми про почленне множення нерівностей.

Якщо $a > b$ і $a, b$ — додатні числа, то $a^{n} > b^{n}$ , де $n$ — натуральне число.

ВПРАВИ

3.1.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:
1) додамо почленно нерівності $10 > - 6$ і $8 > 5$ ;
2) перемножимо почленно нерівності $2 < 7$ і $3 < 4$ ;
3) перемножимо почленно нерівності $1, 2 > 0, 9$ і $5 > \frac{1}{3}$ .

За теоремою про почленне додавання нерівностей однакового знака:

$10 + 8 > - 6 + 5$

$18 > - 1$

Відповідь: $18 > - 1$ .

Оскільки обидві частини нерівностей є додатними числами, за теоремою про почленне множення нерівностей маємо:

$2 \cdot 3 < 7 \cdot 4$

$6 < 28$

Відповідь: $6 < 28$ .

Оскільки всі числа додатні, за теоремою про почленне множення нерівностей отримуємо:

$1, 2 \cdot 5 > 0, 9 \cdot \frac{1}{3}$

$6 > 0, 3$

Відповідь: $6 > 0, 3$ .

3.2.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:
1) додамо почленно нерівності $- 9 < - 4$ і $- 6 < 4$ ;
2) перемножимо почленно нерівності $\frac{1}{6} < \frac{1}{3}$ і $24 < 27$ .

За теоремою про почленне додавання нерівностей маємо:

$- 9 + (- 6) < - 4 + 4$

$- 15 < 0$

Відповідь: $- 15 < 0$ .

Оскільки обидві частини нерівностей є додатними числами, за теоремою про почленне множення отримуємо:

$\frac{1}{6} \cdot 24 < \frac{1}{3} \cdot 27$

$4 < 9$

Відповідь: $4 < 9$ .

3.3.° Дано: $- 3 < a < 4$ . Оцініть значення виразу:
1) $2 a$ ;
2) $\frac{a}{3}$ ;
3) $a + 2$ ;
4) $a - 1$ ;
5) $3 a + 1$ ;
6) $- a$ ;
7) $- 4 a$ ;
8) $- 5 a + 3$ .

Помножимо кожну частину нерівності на додатне число $2$ :

$- 3 \cdot 2 < 2 a < 4 \cdot 2$

$- 6 < 2 a < 8$

Відповідь: $- 6 < 2 a < 8$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $\frac{1}{3}$ (або поділимо на $3$ ):

$\frac{- 3}{3} < \frac{a}{3} < \frac{4}{3}$

$- 1 < \frac{a}{3} < 1 \frac{1}{3}$

Відповідь: $- 1 < \frac{a}{3} < 1 \frac{1}{3}$ .

Додамо до кожної частини нерівності число $2$ :

$- 3 + 2 < a + 2 < 4 + 2$

$- 1 < a + 2 < 6$

Відповідь: $- 1 < a + 2 < 6$ .

Віднімемо від кожної частини нерівності число $1$ :

$- 3 - 1 < a - 1 < 4 - 1$

$- 4 < a - 1 < 3$

Відповідь: $- 4 < a - 1 < 3$ .

Помножимо нерівність на $3$ :

$- 9 < 3 a < 12$
Додамо до кожної частини число $1$ :

$- 9 + 1 < 3 a + 1 < 12 + 1$

$- 8 < 3 a + 1 < 13$

Відповідь: $- 8 < 3 a + 1 < 13$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $- 1$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$3 > - a > - 4$
тобто:

$- 4 < - a < 3$

Відповідь: $- 4 < - a < 3$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $- 4$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$- 3 \cdot (- 4) > - 4 a > 4 \cdot (- 4)$

$12 > - 4 a > - 16$
тобто:

$- 16 < - 4 a < 12$

Відповідь: $- 16 < - 4 a < 12$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $- 5$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$15 > - 5 a > - 20$
тобто:

$- 20 < - 5 a < 15$
Додамо до кожної частини число $3$ :

$- 20 + 3 < - 5 a + 3 < 15 + 3$

$- 17 < - 5 a + 3 < 18$

Відповідь: $- 17 < - 5 a + 3 < 18$ .

3.4.° Дано: $2 < b < 6$ . Оцініть значення виразу:
1) $\frac{1}{2} b$ ;
2) $b - 6$ ;
3) $2 b + 5$ ;
4) $4 - b$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $\frac{1}{2}$ :

$2 \cdot \frac{1}{2} < \frac{1}{2} b < 6 \cdot \frac{1}{2}$

$1 < \frac{1}{2} b < 3$

Відповідь: $1 < \frac{1}{2} b < 3$ .

Віднімемо від кожної частини нерівності число $6$ :

$2 - 6 < b - 6 < 6 - 6$

$- 4 < b - 6 < 0$

Відповідь: $- 4 < b - 6 < 0$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $2$ :

$4 < 2 b < 12$
Додамо до кожної частини число $5$ :

$4 + 5 < 2 b + 5 < 12 + 5$

$9 < 2 b + 5 < 17$

Відповідь: $9 < 2 b + 5 < 17$ .

Помножимо кожну частину нерівності на $- 1$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$- 2 > - b > - 6$
тобто:

$- 6 < - b < - 2$
Додамо до кожної частини число $4$ :

$4 - 6 < 4 - b < 4 - 2$

$- 2 < 4 - b < 2$

Відповідь: $- 2 < 4 - b < 2$ .

3.5.° Відомо, що $2, 6 < 7 < 2, 7$ . Оцініть значення виразу: 1) $37$ ; 2) $- 27$ ; 3) $7 + 1, 3$ .

Оцінимо значення виразу $37$ .
Помножимо кожну частину заданої нерівності на додатне число $3$ :

$2, 6 \cdot 3 < 37 < 2, 7 \cdot 3$

$7, 8 < 37 < 8, 1$

Оцінимо значення виразу $- 27$ .
Помножимо кожну частину нерівності на від’ємне число $- 2$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$2, 6 \cdot (- 2) > - 27 > 2, 7 \cdot (- 2)$

$- 5, 2 > - 27 > - 5, 4$
Запишемо подвійну нерівність у порядку зростання:

$- 5, 4 < - 27 < - 5, 2$

Оцінимо значення виразу $7 + 1, 3$ .
Додамо до кожної частини подвійної нерівності число $1, 3$ :

$2, 6 + 1, 3 < 7 + 1, 3 < 2, 7 + 1, 3$

$3, 9 < 7 + 1, 3 < 4$

Відповідь: 1) $7, 8 < 37 < 8, 1$ ; 2) $- 5, 4 < - 27 < - 5, 2$ ; 3) $3, 9 < 7 + 1, 3 < 4$ .

3.6.° Дано: $5 < a < 6$ і $4 < b < 7$ . Оцініть значення виразу: 1) $a + b$ ; 2) $ab$ .

Оцінимо суму $a + b$ .
Застосуємо теорему про почленне додавання нерівностей однакового знака:

$5 + 4 < a + b < 6 + 7$

$9 < a + b < 13$

Оцінимо добуток $ab$ .
Оскільки всі частини даних нерівностей є додатними числами ( $5 > 0$ і $4 > 0$ ), застосуємо теорему про почленне множення нерівностей:

$5 \cdot 4 < a \cdot b < 6 \cdot 7$

$20 < ab < 42$

Відповідь: 1) $9 < a + b < 13$ ; 2) $20 < ab < 42$ .

3.7.° Відомо, що $2, 2 < 5 < 2, 3$ і $1, 7 < 3 < 1, 8$ . Оцініть значення виразу: 1) $5 + 3$ ; 2) $15$ .

Оцінимо вираз $5 + 3$ .
Додамо почленно дані нерівності однакового знака:

$2, 2 + 1, 7 < 5 + 3 < 2, 3 + 1, 8$

$3, 9 < 5 + 3 < 4, 1$

Оцінимо вираз $15$ .
Оскільки всі частини заданих нерівностей є додатними, перемножимо їх почленно, враховуючи властивість $5 \cdot 3 = 15$ :

$2, 2 \cdot 1, 7 < 5 \cdot 3 < 2, 3 \cdot 1, 8$

$3, 74 < 15 < 4, 14$

Відповідь: 1) $3, 9 < 5 + 3 < 4, 1$ ; 2) $3, 74 < 15 < 4, 14$ .

3.8.° Дано: $2 < x < 4$ . Оцініть значення виразу $\frac{1}{x}$ .

Оскільки $x > 0$ , для оцінки оберненої величини $\frac{1}{x}$ візьмемо взаємно обернені значення для кожної частини нерівності, змінивши знаки нерівності на протилежні:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{4}$
Запишемо подвійну нерівність у стандартному вигляді:

$\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$
(у вигляді десяткових дробів: $0, 25 < \frac{1}{x} < 0, 5$ ).

Відповідь: $\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$ .

3.9.° Відомо, що $0, 2 < a < 3$ . Оцініть значення виразу $\frac{1}{a}$ .

Оскільки $a > 0$ , перейдемо до обернених величин, змінивши знаки нерівності на протилежні:

$\frac{1}{0 , 2} > \frac{1}{a} > \frac{1}{3}$
Обчислимо ліву межу: $\frac{1}{0 , 2} = \frac{1}{\frac{2}{10}} = \frac{10}{2} = 5$ .
Отримуємо:

$5 > \frac{1}{a} > \frac{1}{3}$
Запишемо подвійну нерівність у порядку зростання:

$\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < 5$

Відповідь: $\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < 5$ .

3.10.• Оцініть значення виразу $a - b$ , якщо:
1) $4 < a < 5$ і $3 < b < 6$ ;
2) $- 1 < a < 2$ і $- 5 < b < - 4$ .

Подамо різницю у вигляді суми: $a - b = a + (- b)$ .

Помножимо всі частини нерівності $3 < b < 6$ на $- 1$ , змінивши знаки нерівності на протилежні:

$- 6 < - b < - 3$
Застосуємо теорему про почленне додавання нерівностей однакового знака:

+ 4 < a < 5 - 6 < - b < - 3 - 2 < a - b < 2

Відповідь: $- 2 < a - b < 2$ .

Помножимо всі частини нерівності $- 5 < b < - 4$ на $- 1$ :

$4 < - b < 5$
Додамо почленно нерівності:

+ - 1 < a < 2 4 < - b < 5 3 < a - b < 7

Відповідь: $3 < a - b < 7$ .

3.11.• Оцініть значення виразу $m - n$ , якщо:
1) $6 < m < 10$ і $7 < n < 12$ ;
2) $- 8 < m < - 6$ і $- 3 < n < 0$ .

Подамо різницю у вигляді суми: $m - n = m + (- n)$ .

Помножимо нерівність $7 < n < 12$ на $- 1$ :

$- 12 < - n < - 7$
Додамо почленно нерівності $6 < m < 10$ та $- 12 < - n < - 7$ :

+ 6 < m < 10 - 12 < - n < - 7 - 6 < m - n < 3

Відповідь: $- 6 < m - n < 3$ .

Помножимо нерівність $- 3 < n < 0$ на $- 1$ :

$0 < - n < 3$
Додамо почленно нерівності $- 8 < m < - 6$ та $0 < - n < 3$ :

+ - 8 < m < - 6 0 < - n < 3 - 8 < m - n < - 3

Відповідь: $- 8 < m - n < - 3$ .

3.12.• Оцініть середнє арифметичне значень $a$ і $b$ , якщо відомо, що $2, 5 < a < 2, 6$ і $3, 1 < b < 3, 2$ .

Середнє арифметичне двох чисел обчислюється за формулою $\frac{a + b}{2}$ .

Додамо почленно нерівності $2, 5 < a < 2, 6$ та $3, 1 < b < 3, 2$ :

+ 2, 5 < a < 2, 6 3, 1 < b < 3, 2 5, 6 < a + b < 5, 8

Поділимо всі частини отриманої подвійної нерівності на додатне число $2$ :

$\frac{5 , 6}{2} < \frac{a + b}{2} < \frac{5 , 8}{2}$

$2, 8 < \frac{a + b}{2} < 2, 9$

Відповідь: $2, 8 < \frac{a + b}{2} < 2, 9$ .

3.13.• Оцініть периметр рівнобедреного трикутника з основою $a см$ і бічною стороною $b см$ , якщо $10 < a < 14$ і $12 < b < 18$ .

Периметр рівнобедреного трикутника з основою $a$ та бічною стороною $b$ дорівнює $P = a + 2 b$ .

Помножимо всі частини нерівності $12 < b < 18$ на додатне число $2$ :

$24 < 2 b < 36$

Додамо почленно нерівності $10 < a < 14$ та $24 < 2 b < 36$ :

+ 10 < a < 14 24 < 2 b < 36 34 < a + 2 b < 50

Отже, $34 < P < 50$ .

Відповідь: $34 см < P < 50 см$ .

3.14.• Оцініть периметр паралелограма зі сторонами $a см$ і $b см$ , якщо $15 \leq a \leq 19$ і $6 \leq b \leq 11$ .

Периметр паралелограма обчислюється за формулою $P = 2 (a + b)$ .

Додамо почленно нерівності $15 \leq a \leq 19$ та $6 \leq b \leq 11$ :

+ 15 \leq a \leq 19 6 \leq b \leq 11 21 \leq a + b \leq 30

Помножимо всі частини нерівності на додатне число $2$ :

$2 \cdot 21 \leq 2 (a + b) \leq 2 \cdot 30$

$42 \leq P \leq 60$

Відповідь: $42 см \leq P \leq 60 см$ .

3.15.• Як ви думаєте, чи є правильним твердження: 1) якщо $a > 2$ і $b > 7$ , то $a + b > 9$ ; 2) якщо $a > 2$ і $b > 7$ , то $a + b > 8$ ; 3) якщо $a > 2$ і $b > 7$ , то $a + b > 9, 2$ ; 4) якщо $a > 2$ і $b > 7$ , то $a - b > - 5$ ; 5) якщо $a > 2$ і $b > 7$ , то $b - a > 5$ ; 6) якщо $a > 2$ і $b > 7$ , то $ab > 13$ ; 7) якщо $a > 2$ і $b < - 7$ , то $a - b > 9$ ; 8) якщо $a < 2$ і $b < 7$ , то $ab < 14$ ; 9) якщо $a > 2$ , то $a^{2} > 4$ ; 10) якщо $a < 2$ , то $a^{2} < 4$ ; 11) якщо $a > 2$ , то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ ; 12) якщо $a < 2$ , то $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$ ? Обговоріть це питання у класі.

Правильне. За теоремою про почленне додавання нерівностей однакового знака: $a + b > 2 + 7$ , тобто $a + b > 9$ .
Правильне. Оскільки $a + b > 9$ , а $9 > 8$ , то за властивістю транзитивності $a + b > 8$ .
Неправильне. Наприклад, при $a = 2, 1$ та $b = 7, 05$ маємо $a + b = 9, 15$ , що не перевищує $9, 2$ .
Неправильне. Наприклад, при $a = 2, 1$ та $b = 10$ різниця $a - b = 2, 1 - 10 = - 7, 9$ , що менше від $- 5$ .
Неправильне. Наприклад, при $a = 5$ та $b = 7, 1$ різниця $b - a = 7, 1 - 5 = 2, 1$ , що менше від $5$ .
Правильне. Оскільки числа $a$ і $b$ додатні ( $a > 2 > 0$ і $b > 7 > 0$ ), за теоремою про почленне множення нерівностей $ab > 2 \cdot 7 = 14$ . Оскільки $14 > 13$ , то $ab > 13$ .
Правильне. Якщо $b < - 7$ , то $- b > 7$ . Додамо почленно нерівності $a > 2$ та $- b > 7$ : отримаємо $a + (- b) > 2 + 7$ , тобто $a - b > 9$ .
Неправильне. Наприклад, при $a = - 10 < 2$ та $b = - 10 < 7$ добуток $ab = (- 10) \cdot (- 10) = 100$ , що більше за $14$ .
Правильне. Оскільки $a > 2 > 0$ , за наслідком про піднесення до степеня $a^{2} > 2^{2}$ , тобто $a^{2} > 4$ .
Неправильне. Наприклад, при $a = - 3 < 2$ маємо $a^{2} = (- 3)^{2} = 9$ , що більше за $4$ .
Правильне. Оскільки $a > 2 > 0$ , за властивістю обернених величин $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ .
Неправильне. Наприклад, при $a = - 1 < 2$ дріб $\frac{1}{a} = - 1 < \frac{1}{2}$ ; крім того, при $a = 0$ вираз $\frac{1}{a}$ узагалі не має змісту.

3.16.• Дано: $5 < a < 8$ і $3 < b < 6$ . Оцініть значення виразу: 1) $4 a + 3 b$ ; 2) $3 a - 6 b$ ; 3) $\frac{a}{b}$ ; 4) $\frac{2 b}{3 a}$ .

Помножимо нерівність $5 < a < 8$ на $4$ , а нерівність $3 < b < 6$ на $3$ :

$20 < 4 a < 32$

$9 < 3 b < 18$
Додамо отримані нерівності почленно:

$29 < 4 a + 3 b < 50$

Відповідь: $29 < 4 a + 3 b < 50$ .

Помножимо нерівність $5 < a < 8$ на $3$ :

$15 < 3 a < 24$
Помножимо нерівність $3 < b < 6$ на $- 6$ та змінимо знаки на протилежні:

$- 18 > - 6 b > - 36 ⟹ - 36 < - 6 b < - 18$
Додамо отримані нерівності почленно:

$15 + (- 36) < 3 a - 6 b < 24 + (- 18)$

$- 21 < 3 a - 6 b < 6$

Відповідь: $- 21 < 3 a - 6 b < 6$ .

Оскільки всі числа додатні, з нерівності $3 < b < 6$ маємо:

$\frac{1}{6} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$
Перемножимо почленно нерівності $5 < a < 8$ та $\frac{1}{6} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$ :

$5 \cdot \frac{1}{6} < a \cdot \frac{1}{b} < 8 \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{5}{6} < \frac{a}{b} < \frac{8}{3}$

Відповідь: $\frac{5}{6} < \frac{a}{b} < \frac{8}{3}$ .

Оцінимо чисельник $2 b$ та знаменник $3 a$ :

$3 < b < 6 ⟹ 6 < 2 b < 12$

$5 < a < 8 ⟹ 15 < 3 a < 24 ⟹ \frac{1}{24} < \frac{1}{3 a} < \frac{1}{15}$
Перемножимо почленно:

$6 \cdot \frac{1}{24} < 2 b \cdot \frac{1}{3 a} < 12 \cdot \frac{1}{15}$

$\frac{1}{4} < \frac{2 b}{3 a} < \frac{4}{5}$

Відповідь: $\frac{1}{4} < \frac{2 b}{3 a} < \frac{4}{5}$ .

3.17.• Дано: $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ і $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$ . Оцініть значення виразу: 1) $6 x + 14 y$ ; 2) $28 y - 12 x$ ; 3) $\frac{y}{x}$ .

Помножимо нерівність для $x$ на $6$ , а нерівність для $y$ на $14$ :

$6 \cdot \frac{1}{3} < 6 x < 6 \cdot \frac{1}{2} ⟹ 2 < 6 x < 3$

$14 \cdot \frac{1}{7} < 14 y < 14 \cdot \frac{1}{4} ⟹ 2 < 14 y < \frac{7}{2}$
Додамо почленно:

$4 < 6 x + 14 y < \frac{13}{2}$

Відповідь: $4 < 6 x + 14 y < \frac{13}{2}$ (або $4 < 6 x + 14 y < 6, 5$ ).

Оцінимо доданки:

$28 \cdot \frac{1}{7} < 28 y < 28 \cdot \frac{1}{4} ⟹ 4 < 28 y < 7$

$12 \cdot \frac{1}{3} < 12 x < 12 \cdot \frac{1}{2} ⟹ 4 < 12 x < 6 ⟹ - 6 < - 12 x < - 4$
Додамо почленно:

$4 + (- 6) < 28 y - 12 x < 7 + (- 4)$

$- 2 < 28 y - 12 x < 3$

Відповідь: $- 2 < 28 y - 12 x < 3$ .

З нерівності $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ знайдемо оцінку для оберненої величини:

$2 < \frac{1}{x} < 3$
Перемножимо почленно нерівності $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$ та $2 < \frac{1}{x} < 3$ :

$\frac{1}{7} \cdot 2 < y \cdot \frac{1}{x} < \frac{1}{4} \cdot 3$

$\frac{2}{7} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}$

Відповідь: $\frac{2}{7} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}$ .

3.18.• Порівняйте значення виразів: 1) $2^{24}$ і $9^{8}$ ; 2) $0, 3^{20}$ і $0, 1^{10}$ ; 3) $0, 001 5^{10}$ і $0, 2^{40}$ .

Зведемо вирази до однакового показника степеня:

$2^{24} = (2^{3})^{8} = 8^{8}$
Оскільки $8 < 9$ , то $8^{8} < 9^{8}$ , отже:

$2^{24} < 9^{8}$

Відповідь: $2^{24} < 9^{8}$ .

Зведемо вирази до однакового показника степеня:

$0, 3^{20} = (0, 3^{2})^{10} = 0, 0 9^{10}$
Оскільки $0, 09 < 0, 1$ , то $0, 0 9^{10} < 0, 1^{10}$ , отже:

$0, 3^{20} < 0, 1^{10}$

Відповідь: $0, 3^{20} < 0, 1^{10}$ .

Зведемо вирази до однакового показника степеня:

$0, 2^{40} = (0, 2^{4})^{10} = 0, 001 6^{10}$
Оскільки $0, 0015 < 0, 0016$ , то $0, 001 5^{10} < 0, 001 6^{10}$ , отже:

$0, 001 5^{10} < 0, 2^{40}$

Відповідь: $0, 001 5^{10} < 0, 2^{40}$ .

3.19.• Порівняйте значення виразів: 1) $5^{17}$ і $7^{14}$ ; 2) $0, 4^{12}$ і $0, 3^{8}$ .

Перетворимо вирази:

$5^{17} = 5^{2} \cdot (5^{5})^{3} = 25 \cdot 312 5^{3}$

$7^{14} = 7^{2} \cdot (7^{4})^{3} = 49 \cdot 240 1^{3}$
Оцінимо відношення цих виразів:

$\frac{5 ^{17}}{7 ^{14}} = \frac{25}{49} \cdot (\frac{3125}{2401})^{3}$
Оскільки $\frac{3125}{2401} > 1, 3$ (бо $3125 > 1, 3 \cdot 2401 = 3121, 3$ ), маємо:

$(\frac{3125}{2401})^{3} > 1, 3^{3} = 2, 197$
Оскільки $\frac{49}{25} = 1, 96$ , а $2, 197 > 1, 96$ , отримуємо:

$\frac{5 ^{17}}{7 ^{14}} > \frac{25}{49} \cdot 1, 96 = 1 ⟹ 5^{17} > 7^{14}$

Відповідь: $5^{17} > 7^{14}$ .

Зведемо вирази до однакового показника степеня:

$0, 4^{12} = (0, 4^{3})^{4} = 0, 06 4^{4}$

$0, 3^{8} = (0, 3^{2})^{4} = 0, 0 9^{4}$
Оскільки $0, 064 < 0, 09$ , то $0, 06 4^{4} < 0, 0 9^{4}$ , отже:

$0, 4^{12} < 0, 3^{8}$

Відповідь: $0, 4^{12} < 0, 3^{8}$ .

3.20.•• Доведіть, що периметр чотирикутника більший за суму його діагоналей.

Нехай $A B C D$ — довільний чотирикутник, у якому $A C$ і $B D$ — його діагоналі, а $P = A B + B C + C D + A D$ — периметр.

Застосуємо нерівність трикутника (довжина будь-якої сторони трикутника менша від суми довжин двох інших його сторін) до чотирьох утворених трикутників:

Для $△ A B C$ : $A C < A B + B C$ ;
Для $△ A D C$ : $A C < A D + C D$ ;
Для $△ A B D$ : $B D < A B + A D$ ;
Для $△ B C D$ : $B D < B C + C D$ .

Додамо почленно ці чотири правильні нерівності однакового знака:

$A C + A C + B D + B D < (A B + B C) + (A D + C D) + (A B + A D) + (B C + C D)$

$2 A C + 2 B D < 2 A B + 2 B C + 2 C D + 2 A D$

$2 (A C + B D) < 2 (A B + B C + C D + A D)$

Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$A C + B D < A B + B C + C D + A D$

$A C + B D < P$

Отже, периметр чотирикутника більший за суму його діагоналей, тобто $P > A C + B D$ . Твердження доведено.

3.21.•• Доведіть, що кожна діагональ опуклого чотирикутника менша від його півпериметра.

Нехай $A B C D$ — опуклий чотирикутник з діагоналями $A C$ та $B D$ , а $p = \frac{A B + B C + C D + A D}{2}$ — його півпериметр.

Розглянемо діагональ $A C$ .
За нерівністю трикутника:

для $△ A B C$ : $A C < A B + B C$ ;
для $△ A D C$ : $A C < A D + C D$ .

Додамо почленно ці дві нерівності:

$A C + A C < A B + B C + A D + C D$

$2 A C < A B + B C + C D + A D$
Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$A C < \frac{A B + B C + C D + A D}{2}$

$A C < p$

Розглянемо діагональ $B D$ .
За нерівністю трикутника:

для $△ A B D$ : $B D < A B + A D$ ;
для $△ B C D$ : $B D < B C + C D$ .

Додамо почленно ці дві нерівності:

$B D + B D < A B + A D + B C + C D$

$2 B D < A B + B C + C D + A D$
Поділимо обидві частини нерівності на $2$ :

$B D < \frac{A B + B C + C D + A D}{2}$

$B D < p$

Отже, кожна діагональ опуклого чотирикутника менша від його півпериметра. Твердження доведено.

3.22.•• Доведіть, що сума двох протилежних сторін опуклого чотирикутника менша від суми його діагоналей.

Нехай $A B C D$ — опуклий чотирикутник, діагоналі якого $A C$ і $B D$ перетинаються в точці $O$ .

Розглянемо трикутники $A O B$ і $C O D$ . За нерівністю трикутника маємо:

для $△ A O B$ : $A B < A O + B O$ ;
для $△ C O D$ : $C D < C O + D O$ .

Додамо почленно ці дві нерівності:

$A B + C D < (A O + C O) + (B O + D O)$

Оскільки точка $O$ належить діагоналям $A C$ і $B D$ , то:

$A O + C O = A C і B O + D O = B D$

Підставивши ці вирази в нерівність, отримаємо:

$A B + C D < A C + B D$

Аналогічно для іншої пари протилежних сторін $B C$ і $A D$ , розглядаючи трикутники $B O C$ і $A O D$ :

для $△ B O C$ : $B C < B O + C O$ ;
для $△ A O D$ : $A D < A O + D O$ .

Додавши їх почленно:

$B C + A D < (A O + C O) + (B O + D O) = A C + B D$

Отже, сума будь-яких двох протилежних сторін опуклого чотирикутника менша від суми його діагоналей. Твердження доведено.

3.23.•• Доведіть твердження: 1) якщо $a < b < 0$ , то $a^{2} > b^{2}$ ; 2) якщо $a > 0$ , $b > 0$ і $a^{2} > b^{2}$ , то $a > b$ .

Доведемо, що якщо $a < b < 0$ , то $a^{2} > b^{2}$ .

Розглянемо різницю квадратів:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
Оскільки за умовою $a < b$ , то $a - b < 0$ .
Оскільки $a < 0$ і $b < 0$ , то їхня сума також від’ємна: $a + b < 0$ .
Добуток двох від’ємних виразів $(a - b)$ та $(a + b)$ є додатним числом:

$(a - b) (a + b) > 0 ⟹ a^{2} - b^{2} > 0 ⟹ a^{2} > b^{2}$
Твердження доведено.

Доведемо, що якщо $a > 0$ , $b > 0$ і $a^{2} > b^{2}$ , то $a > b$ .

Розглянемо різницю квадратів:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
За умовою $a^{2} > b^{2}$ , тому $a^{2} - b^{2} > 0$ , тобто:

$(a - b) (a + b) > 0$
Оскільки $a > 0$ і $b > 0$ , то сума $a + b > 0$ .
Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $(a + b)$ , при цьому знак нерівності зберігається:

$a - b > 0 ⟹ a > b$
Твердження доведено.

3.24.•• Доведіть, що коли $a < b < 0$ , то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .

Розглянемо різницю виразів $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ :

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$

З’ясуємо знаки чисельника та знаменника дробу:

Оскільки $a < b$ , то $b - a > 0$ , отже, чисельник є додатним.
Оскільки числа $a$ і $b$ від’ємні ( $a < 0$ , $b < 0$ ), то їхній добуток є додатним: $ab > 0$ , отже, знаменник є додатним.

Частка двох додатних чисел є додатним числом:

$\frac{b - a}{ab} > 0$
Звідси отримуємо:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0 ⟹ \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
Твердження доведено.

3.25.•• Відомо, що $b > 0$ і $a > b$ . Як ви думаєте, чи є правильною при всіх указаних значеннях $a$ і $b$ нерівність:
1) $a^{2} + a > b^{2} + b$ ;
2) $a^{2} - a > b^{2} - b$ ;
3) $2 - a^{2} < 2 - b^{2}$ ;
4) $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ ?
Обговоріть це питання у класі.

Оскільки $b > 0$ і $a > b$ , то числа $a$ та $b$ є додатними ( $a > b > 0$ ).

Правильна.
Оскільки $a > b > 0$ , то за наслідком з теореми про почленне множення нерівностей маємо $a^{2} > b^{2}$ .
Додамо почленно правильні нерівності однакового знака $a^{2} > b^{2}$ та $a > b$ :

$a^{2} + a > b^{2} + b$

Неправильна.
Розглянемо різницю лівої та правої частин:

$(a^{2} - a) - (b^{2} - b) = (a^{2} - b^{2}) - (a - b) = (a - b) (a + b) - (a - b) = (a - b) (a + b - 1)$
Оскільки $a > b$ , то $a - b > 0$ . Проте знак виразу $(a + b - 1)$ залежить від значень $a$ і $b$ .
Наприклад, якщо $a = 0, 3$ та $b = 0, 2$ ( $a > b > 0$ ), то $a + b - 1 = 0, 3 + 0, 2 - 1 = - 0, 5 < 0$ .
Тоді $(a - b) (a + b - 1) < 0$ , тобто $a^{2} - a < b^{2} - b$ (перевірка: $0, 3^{2} - 0, 3 = - 0, 21$ ; $0, 2^{2} - 0, 2 = - 0, 16$ ; $- 0, 21 < - 0, 16$ ). Отже, нерівність виконується не для всіх указаних значень.

Правильна.
Оскільки $a > b > 0$ , то $a^{2} > b^{2}$ .
Помножимо обидві частини нерівності на $- 1$ , змінивши знак нерівності на протилежний:

$- a^{2} < - b^{2}$
Додамо до обох частин число $2$ :

$2 - a^{2} < 2 - b^{2}$

Неправильна.
Розглянемо різницю:

$(a + \frac{1}{a}) - (b + \frac{1}{b}) = (a - b) + (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) = (a - b) - \frac{a - b}{ab} = (a - b) (1 - \frac{1}{ab}) = \frac{( a - b ) ( ab - 1 )}{ab}$
Оскільки $a > b > 0$ , то $a - b > 0$ та $ab > 0$ . Але множник $(ab - 1)$ може бути як додатним, так і від’ємним.
Наприклад, при $a = 0, 5$ і $b = 0, 2$ маємо $ab = 0, 1$ , тоді $ab - 1 = - 0, 9 < 0$ .
Обчислимо значення виразів:

$a + \frac{1}{a} = 0, 5 + \frac{1}{0 , 5} = 0, 5 + 2 = 2, 5$

$b + \frac{1}{b} = 0, 2 + \frac{1}{0 , 2} = 0, 2 + 5 = 5, 2$
Оскільки $2, 5 < 5, 2$ , нерівність $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ є неправильною для цих значень.

3.26.•• Доведіть, що:
1) $27 + 65 > 13$ ;
2) $65 - 35 > 2$ .

Оцінимо кожен із доданків:
Оскільки $27 > 25$ , то $27 > 25 = 5$ .
Оскільки $65 > 64$ , то $65 > 64 = 8$ .
Застосуємо теорему про почленне додавання нерівностей:

$27 + 65 > 5 + 8$

$27 + 65 > 13$
Нерівність доведено.

Оцінимо значення коренів:
Оскільки $65 > 64$ , то $65 > 64 = 8$ .
Оскільки $35 < 36$ , то $35 < 36 = 6$ .
Помножимо нерівність $35 < 6$ на $- 1$ , змінивши її знак: $- 35 > - 6$ .
Додамо почленно отримані нерівності:

$65 + (- 35) > 8 + (- 6)$

$65 - 35 > 2$
Нерівність доведено.

3.27.•• Доведіть, що:
1) $55 + 35 > 120$ ;
2) $119 - 67 < 3$ .

Оцінимо значення доданків лівої частини:
$55 > 49 = 7$
$35 > 25 = 5$
Додамо ці нерівності почленно:

$55 + 35 > 7 + 5 = 12$
Оскільки $12 = 144$ , а $144 > 120$ , отримуємо:

$55 + 35 > 12 > 120 ⟹ 55 + 35 > 120$
Нерівність доведено.

Оцінимо значення кожного квадратного кореня:
Оскільки $119 < 121$ , то $119 < 121 = 11$ .
Оскільки $67 > 64$ , то $67 > 64 = 8$ .
Помножимо нерівність $67 > 8$ на $- 1$ : $- 67 < - 8$ .
Додамо почленно дві нерівності однакового знака:

$119 + (- 67) < 11 + (- 8)$

$119 - 67 < 3$
Нерівність доведено.

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕМАТИКУ

3.28. Андрій їде з передмістя до центру міста: спочатку автобусом, а потім пересідає на метро. Тривалість поїздки на автобусі від 16 хв до 18 хв, на метро — від 10 хв до 12 хв. Оцініть:
1) скільки часу може тривати вся поїздка;
2) наскільки поїздка на метро може бути коротшою за поїздку автобусом;
3) скільки часу витратять троє друзів Андрія, якщо кожен із них їде тим самим маршрутом.

Нехай $t_{1}$ — час поїздки на автобусі, $t_{2}$ — час поїздки на метро.
За умовою:

$16 \leq t_{1} \leq 18$

$10 \leq t_{2} \leq 12$

Вся поїздка триває $t = t_{1} + t_{2}$ . Застосуємо теорему про почленне додавання нерівностей:

$16 + 10 \leq t_{1} + t_{2} \leq 18 + 12$

$26 \leq t_{1} + t_{2} \leq 30$
Вся поїздка може тривати від 26 хв до 30 хв.

Різниця в часі становить $t_{1} - t_{2}$ .
Оцінимо вираз $- t_{2}$ , помноживши нерівність $10 \leq t_{2} \leq 12$ на $- 1$ :

$- 12 \leq - t_{2} \leq - 10$
Додамо нерівності:

$16 + (- 12) \leq t_{1} - t_{2} \leq 18 + (- 10)$

$4 \leq t_{1} - t_{2} \leq 8$
Поїздка на метро може бути коротшою за поїздку автобусом на час від 4 хв до 8 хв.

Якщо кожен із трьох друзів їде окремо цим самим маршрутом, то поїздка кожного з них триватиме від 26 хв до 30 хв. Сумарний час, витрачений трьома друзями, оцінюється як $3 (t_{1} + t_{2})$ :

$3 \cdot 26 \leq 3 (t_{1} + t_{2}) \leq 3 \cdot 30$

$78 \leq 3 (t_{1} + t_{2}) \leq 90$
Сумарно троє друзів витратять від 78 хв (1 год 18 хв) до 90 хв (1 год 30 хв).

Відповідь:

від 26 хв до 30 хв;
від 4 хв до 8 хв;
кожен витратить від 26 хв до 30 хв (сумарно від 78 хв до 90 хв).

3.29. Олеся працює в майстерні з виготовлення сувенірів. Для пакування одного сувеніра потрібно від 12 см до 15 см декоративної стрічки та від 8 г до 10 г кольорового паперу. За годину Олеся планує упакувати від 7 до 9 сувенірів. Оцініть:
1) скільки стрічки може знадобитися для пакування всіх сувенірів;
2) скільки паперу може піти на весь обсяг роботи;
3) скільки грошей може отримати майстерня за годину на упаковці сувенірів, якщо упаковка одного сувеніра коштує від 15 грн до 20 грн?

Нехай:
$l$ — довжина стрічки на 1 сувенір: $12 \leq l \leq 15$ (см);
$m$ — маса паперу на 1 сувенір: $8 \leq m \leq 10$ (г);
$n$ — кількість сувенірів за годину: $7 \leq n \leq 9$ (шт.);
$c$ — вартість пакування 1 сувеніра: $15 \leq c \leq 20$ (грн).

Усі величини набувають лише додатних значень, тому застосовуємо теорему про почленне множення нерівностей.

Загальна довжина стрічки $L = n \cdot l$ :

$7 \cdot 12 \leq n \cdot l \leq 9 \cdot 15$

$84 \leq L \leq 135 см$

Загальна маса паперу $M = n \cdot m$ :

$7 \cdot 8 \leq n \cdot m \leq 9 \cdot 10$

$56 \leq M \leq 90 г$

Загальна сума грошей за годину $S = n \cdot c$ :

$7 \cdot 15 \leq n \cdot c \leq 9 \cdot 20$

$105 \leq S \leq 180 грн$

Відповідь:

від 84 см до 135 см;
від 56 г до 90 г;
від 105 грн до 180 грн.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.30. Спростіть вираз:
1) $\frac{x - 3}{x + 3} \cdot (x + \frac{x ^{2}}{3 - x})$ ;
2) $(\frac{a + b}{a - b} - \frac{a - b}{a + b}) : \frac{ab}{a ^{2} - b ^{2}}$ .

Виконаємо дії у дужках, а потім множення:
$ОДЗ : x \neq = - 3, x \neq = 3$ .

$x + \frac{x ^{2}}{3 - x} = \frac{x ( 3 - x ) + x ^{2}}{3 - x} = \frac{3 x - x ^{2} + x ^{2}}{3 - x} = \frac{3 x}{3 - x} = - \frac{3 x}{x - 3} .$

Помножимо дроби:

$\frac{x - 3}{x + 3} \cdot (- \frac{3 x}{x - 3}) = - \frac{( x - 3 ) \cdot 3 x}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = - \frac{3 x}{x + 3} .$

Відповідь: $- \frac{3 x}{x + 3}$ .

Виконаємо віднімання у дужках, а потім ділення:
$ОДЗ : a \neq = b, a \neq = - b, a \neq = 0, b \neq = 0$ .

$\frac{a + b}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a - b ) ^{2}}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{( a ^{2} + 2 ab + b ^{2} ) - ( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} )}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{4 ab}{a ^{2} - b ^{2}} .$

Виконаємо ділення на дріб:

$\frac{4 ab}{a ^{2} - b ^{2}} : \frac{ab}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{4 ab}{a ^{2} - b ^{2}} \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} = 4.$

Відповідь: $4$ .

3.31. При яких значеннях змінної має зміст вираз:
1) $\frac{x ^{2}}{x + 4}$ ;
2) $\frac{x - 4}{x ^{2} - 4}$ ;
3) $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4}$ ;
4) $\frac{4}{x - 4} + \frac{1}{x}$ ?

Дріб має зміст, якщо його знаменник не дорівнює нулю:
$x + 4 \neq = 0 ⟹ x \neq = - 4$ .
Відповідь: при $x \neq = - 4$ ( $x \in (- \infty; - 4) \cup (- 4; + \infty)$ ).
Знаменник не повинен дорівнювати нулю:
$x^{2} - 4 \neq = 0 ⟹ (x - 2) (x + 2) \neq = 0 ⟹ x \neq = 2$ і $x \neq = - 2$ .
Відповідь: при $x \neq = - 2$ і $x \neq = 2$ ( $x \in (- \infty; - 2) \cup (- 2; 2) \cup (2; + \infty)$ ).
Знаменник $x^{2} + 4 \geq 4 > 0$ для будь-якого дійсного числа $x$ , тобто він ніколи не перетворюється на нуль.
Відповідь: при будь-якому значенні $x$ ( $x \in R$ ).
Обидва знаменники не повинні дорівнювати нулю:
$x - 4 \neq = 0$ і $x \neq = 0 ⟹ x \neq = 4$ і $x \neq = 0$ .
Відповідь: при $x \neq = 0$ і $x \neq = 4$ ( $x \in (- \infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; + \infty)$ ).

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

3.32. Чи є рівносильними рівняння:
1) $4 x + 6 = 2 x - 3$ і $4 x + 3 = 2 x - 6$ ;
2) $8 x - 4 = 0$ і $2 x - 1 = 0$ ;
3) $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ і $x^{2} + x = 3 - x$ ;
4) $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = 0$ і $x^{2} - 1 = 0$ ;
5) $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = 0$ і $x - 1 = 0$ ;
6) $x^{2} + 1 = 0$ і $0 x = 5$ ?

Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину коренів або обидва не мають коренів.

Розв’яжемо перше рівняння:
$4 x - 2 x = - 3 - 6 ⟹ 2 x = - 9 ⟹ x = - 4, 5$ .
Розв’яжемо друге рівняння:
$4 x - 2 x = - 6 - 3 ⟹ 2 x = - 9 ⟹ x = - 4, 5$ .
Корені збігаються, отже, рівняння є рівносильними.
Відповідь: так, є рівносильними.
Розв’яжемо перше рівняння:
$8 x = 4 ⟹ x = 0, 5$ .
Розв’яжемо друге рівняння:
$2 x = 1 ⟹ x = 0, 5$ .
Корені збігаються, отже, рівняння є рівносильними.
Відповідь: так, є рівносильними.
Перше рівняння: $x^{2} + 2 x - 3 = 0 ⟹ (x + 3) (x - 1) = 0 ⟹ x = 1$ або $x = - 3$ .
Друге рівняння: $x^{2} + x = 3 - x ⟹ x^{2} + 2 x - 3 = 0 ⟹ x = 1$ або $x = - 3$ .
Множини коренів ${- 3; 1}$ однакові, отже, рівняння є рівносильними.
Відповідь: так, є рівносильними.
Розв’яжемо перше рівняння:
${x^{2} - 1 = 0 x + 1 \neq = 0 ⟹ {x = 1 або x = - 1 x \neq = - 1 ⟹ x = 1$ .
Друге рівняння: $x^{2} - 1 = 0 ⟹ x = 1$ або $x = - 1$ .
Множина коренів першого рівняння ${1}$ , другого — ${- 1; 1}$ , отже, рівняння не є рівносильними.
Відповідь: ні, не є рівносильними.
Перше рівняння має єдиний корінь $x = 1$ .
Друге рівняння: $x - 1 = 0 ⟹ x = 1$ .
Корені збігаються, отже, рівняння є рівносильними.
Відповідь: так, є рівносильними.
Перше рівняння: $x^{2} = - 1$ (дійсних коренів немає, множина розв’язків $\emptyset$ ).
Друге рівняння: $0 x = 5 ⟹ 0 = 5$ (коренів немає, множина розв’язків $\emptyset$ ).
Обидва рівняння не мають коренів, отже, вони є рівносильними.
Відповідь: так, є рівносильними.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

3.33. Доведіть, що для непарних чисел $a, b, c, d, e$ і $f$ не може виконуватися рівність $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1$ .

Зведемо дріб у лівій частині до спільного знаменника:

$\frac{b c d e f + a c d e f + ab d e f + ab ce f + ab c df + ab c d e}{ab c d e f} = 1.$

Помножимо обидві частини на знаменник $ab c d e f \neq = 0$ :

$b c d e f + a c d e f + ab d e f + ab ce f + ab c df + ab c d e = ab c d e f .$

Проаналізуємо парність обох частин рівності:

За умовою числа $a, b, c, d, e, f$ є непарними. Добуток будь-якої кількості непарних чисел є непарним числом, тому права частина $ab c d e f$ — непарне число.
Кожен із шести доданків у лівій частині є добутком п’яти непарних чисел, отже, є непарним числом.
Сума шести непарних чисел є парним числом (парна кількість непарних доданків завжди дає парну суму).

Отримали, що парне число в лівій частині дорівнює непарному числу в правій частині, що неможливо. Отже, дана рівність для непарних чисел виконуватися не може.

ВПРАВИ

1. Доведіть нерівність:
1) $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ , якщо $a > 0$ і $b > 0$ ;
2) $(a + b) (b + c) (a + c) \geq 8 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0$ і $c \geq 0$ ;
3) $(a^{3} + b) (a + b^{3}) \geq 4 a^{2} b^{2}$ , якщо $a \geq 0$ і $b \geq 0$ ;
4) $(ab + 1) (a + b) \geq 4 ab$ , якщо $a \geq 0$ і $b \geq 0$ ;
5) $(a + 2) (b + 5) (c + 10) \geq 80 ab c$ , якщо $a \geq 0, b \geq 0$ і $c \geq 0$ ;
6) $a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ , якщо $a > 0$ і $b > 0$ ;
7) $(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n}) \geq 2^{n}$ , якщо $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ — додатні числа, добуток яких дорівнює 1.

Застосуємо нерівність Коші для двох додатних чисел:

$a + b \geq 2 ab, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = \frac{2}{ab} .$
Помножимо почленно ці правильні нерівності з додатними частинами:

$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 2 ab \cdot \frac{2}{ab} = 4.$
Нерівність доведено.

Застосуємо нерівність Коші для кожної пари невід’ємних чисел:

$a + b \geq 2 ab, b + c \geq 2 b c, a + c \geq 2 a c .$
Перемножимо ці три нерівності:

$(a + b) (b + c) (a + c) \geq 2 ab \cdot 2 b c \cdot 2 a c = 8 a^{2} b^{2} c^{2} = 8 ab c .$
Нерівність доведено.

Застосуємо нерівність Коші для невід’ємних чисел у кожній дужці:

$a^{3} + b \geq 2 a^{3} b, a + b^{3} \geq 2 a b^{3} .$
Перемножимо отримані нерівності:

$(a^{3} + b) (a + b^{3}) \geq 2 a^{3} b \cdot 2 a b^{3} = 4 a^{4} b^{4} = 4 a^{2} b^{2} .$
Нерівність доведено.

Застосуємо нерівність Коші:

$ab + 1 \geq 2 ab \cdot 1 = 2 ab, a + b \geq 2 ab .$
Перемножимо отримані нерівності:

$(ab + 1) (a + b) \geq 2 ab \cdot 2 ab = 4 ab .$
Нерівність доведено.

Застосуємо нерівність Коші до кожного співмножника:

$a + 2 \geq 2 2 a, b + 5 \geq 2 5 b, c + 10 \geq 2 10 c .$
Перемножимо почленно:

$(a + 2) (b + 5) (c + 10) \geq 2 2 a \cdot 2 5 b \cdot 2 10 c = 8 100 ab c = 8 \cdot 10 ab c = 80 ab c .$
Нерівність доведено.

Згрупуємо взаємно обернені доданки:

$a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) .$
Оскільки для додатного числа $x > 0$ завжди виконується $x + \frac{1}{x} \geq 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2$ , маємо:

$a + \frac{1}{a} \geq 2 та b + \frac{1}{b} \geq 2.$
Додамо ці нерівності почленно:

$(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) \geq 2 + 2 = 4 ⟹ a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4.$
Нерівність доведено.

Застосуємо нерівність Коші для кожного з $n$ множників:

$1 + a_{1} \geq 2 a_{1}, 1 + a_{2} \geq 2 a_{2}, \dots, 1 + a_{n} \geq 2 a_{n} .$
Перемножимо всі $n$ правильних нерівностей:

$(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n}) \geq 2^{n} a_{1} a_{2} \dots a_{n} .$
Оскільки за умовою добуток $a_{1} a_{2} \dots a_{n} = 1$ , то $a_{1} a_{2} \dots a_{n} = 1 = 1$ .
Отримуємо:

$(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n}) \geq 2^{n} .$
Нерівність доведено.

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу

Теги статті:

До уроку