2. Основні властивості числових нерівностей

Назад до змісту

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ

1.32. Усі натуральні числа від 1 до 1000 включно розбили на дві групи: парні числа та непарні числа. У якій із груп сума всіх цифр, використаних для запису чисел, є більшою та на скільки?

Розіб’ємо всі натуральні числа від 1 до 1000 на 100 десятків вигляду $10m+1,10m+2,\dots ,10m+10$, де $m\in \{0,1,2,\dots ,99\}$.

У кожному такому десятку:

1. Непарні числа: $10m+1,10m+3,10m+5,10m+7,10m+9$.
   Сума їхніх цифр дорівнює:

$5\cdot S(m)+(1+3+5+7+9)=5\cdot S(m)+25$
де $S(m)$ — сума цифр числа $m$ ($S(0)=0$).

2. Парні числа: $10m+2,10m+4,10m+6,10m+8,10(m+1)$.
   Сума їхніх цифр дорівнює:

$4\cdot S(m)+(2+4+6+8)+S(m+1)=4\cdot S(m)+20+S(m+1)$

Обчислимо суму цифр для всіх чисел від 1 до 1000 (підсумуємо за всіма $m$ від $0$ до $99$):

• Сума цифр непарних чисел:

$S_{\text{непарні}}={\sum }_{m=0}^{99}(5\cdot S(m)+25)=5{\sum }_{m=0}^{99}S(m)+25\cdot 100=5{\sum }_{m=0}^{99}S(m)+2500$

• Сума цифр парних чисел:

$S_{\text{парні}}={\sum }_{m=0}^{99}(4\cdot S(m)+20+S(m+1))=4{\sum }_{m=0}^{99}S(m)+2000+{\sum }_{m=0}^{99}S(m+1)$
Оскільки ${\sum }_{m=0}^{99}S(m+1)={\sum }_{m=1}^{100}S(m)={\sum }_{m=0}^{99}S(m)-S(0)+S(100)$, а $S(0)=0$ та $S(100)=1$, маємо:

$S_{\text{парні}}=5{\sum }_{m=0}^{99}S(m)+2000+1=5{\sum }_{m=0}^{99}S(m)+2001$

Знайдемо різницю сум цифр:

$S_{\text{непарні}}-S_{\text{парні}}=2500-2001=499$

Відповідь: у групі непарних чисел сума всіх цифр є більшою на 499.

1. Яке із чисел — $a$ або $c$ — більше, якщо відомо, що $a>b$ і $b>c$?

Більшим є число $a$, тобто $a>c$ за теоремою про транзитивність нерівностей.

2. Сформулюйте теорему про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

Якщо до обох частин правильної нерівності додати (або від обох частин правильної нерівності відняти) одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність: якщо $a>b$ і $c$ — будь-яке число, то $a+c>b+c$.

3. Сформулюйте наслідок із теореми про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, замінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

4. Сформулюйте теорему про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність ($ac>bc$ при $a>b$ і $c>0$). Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число та замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність ($ac<bc$ при $a>b$ і $c<0$).

5. Сформулюйте наслідок із теореми про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

Якщо обидві частини правильної нерівності, складеної з чисел однакового знака ($ab>0$), замінити на обернені до них числа, то знак нерівності зміниться на протилежний: якщо $ab>0$ і $a>b$, то $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

ВПРАВИ

2.1.° Відомо, що $a>6$. Як ви думаєте, чи є правильною нерівність: 1) $a>4$; 2) $a\ge 5,9$; 3) $a>7$? Обговоріть це питання у класі.

1. Нерівність $a>4$ є правильною, оскільки за властивістю транзитивності з $a>6$ і $6>4$ випливає, що $a>4$.

2. Нерівність $a\ge 5,9$ є правильною, оскільки $a>6>5,9$, звідки слідує строга нерівність $a>5,9$, яка задовольняє умову нестрогої нерівності $a\ge 5,9$.

3. Нерівність $a>7$ не обов’язково є правильною, оскільки для значень $a$, які задовольняють умову $6<a\le 7$ (наприклад, $a=6,5$), дана нерівність хибна.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні, не обов’язково.

2.2.° Відомо, що $a<b$ і $b<c$. Яке з тверджень є правильним: 1) $a>c$; 2) $a=c$; 3) $c>a$?

За теоремою про транзитивність числових нерівностей, якщо $a<b$ і $b<c$, то $a<c$, що рівносильно запису $c>a$.

Відповідь: правильним є твердження 3) $c>a$.

2.3.° Як ви вважаєте, яке із чисел — $a$ чи $0$ — більше, якщо: 1) $b\le -1$ і $a<b$; 2) $b\le a$ і $b>0,1$? Обговоріть свою думку з однокласниками й однокласницями.

1. Оскільки $a<b$, $b\le -1$, а $-1<0$, то за властивістю транзитивності маємо ланцюжок нерівностей $a<b\le -1<0$, звідки $a<0$. Отже, число $0$ більше за число $a$.

2. Оскільки $a\ge b$, $b>0,1$, а $0,1>0$, то маємо $a\ge b>0,1>0$, звідки $a>0$. Отже, число $a$ більше за число $0$.

Відповідь: 1) число $0$ більше ($0>a$); 2) число $a$ більше ($a>0$).

2.4.° Порівняйте числа $m$ і $0$, якщо: 1) $n<m$ і $n\ge 3$; 2) $n>m$ і $n<-4$.

1. З умови $n<m$ випливає, що $m>n$. Оскільки $n\ge 3$, а $3>0$, отримуємо: $m>n\ge 3>0$, отже, $m>0$.

2. З умови $n>m$ випливає, що $m<n$. Оскільки $n<-4$, а $-4<0$, отримуємо: $m<n<-4<0$, отже, $m<0$.

Відповідь: 1) $m>0$; 2) $m<0$.

2.5.° Порівняйте числа $m$ і $n$, якщо:
1) різниці $m-9$ і $9-n$ є додатними числами;
2) різниця $8-m$ є додатним числом, а різниця $10-n$ — від’ємним числом.

1. За умовою різниця $m-9>0$, отже, $m>9$.
   Різниця $9-n>0$, отже, $9>n$.
   За теоремою про транзитивність нерівностей: оскільки $m>9$ і $9>n$, то $m>n$.

2. За умовою різниця $8-m>0$, отже, $m<8$.
   Різниця $10-n<0$, отже, $n>10$, тобто $10<n$.
   Оскільки $m<8$, а $8<10$, то $m<10$. Враховуючи, що $10<n$, маємо $m<n$.

Відповідь:

1. $m>n$;
2. $m<n$.

2.6.° Порівняйте числа $a$ і $b$, якщо:
1) $a-c<0$ і $c-b<0$;
2) $a-5>0$ і $b-3<0$.

1. З нерівності $a-c<0$ випливає, що $a<c$.
   З нерівності $c-b<0$ випливає, що $c<b$.
   За властивістю транзитивності нерівностей: якщо $a<c$ і $c<b$, то $a<b$.

2. З нерівності $a-5>0$ випливає, що $a>5$.
   З нерівності $b-3<0$ випливає, що $b<3$, тобто $3>b$.
   Оскільки $a>5$, а $5>3$, то $a>3$. Враховуючи, що $3>b$, отримуємо $a>b$.

Відповідь:

1. $a<b$;
2. $a>b$.

2.7.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:
1) до обох частин нерівності $-3<4$ додамо число $5$; число $-2$;
2) від обох частин нерівності $-10<-6$ віднімемо число $3$; число $-4$;
3) обидві частини нерівності $7>-2$ помножимо на число $5$; на число $-1$;
4) обидві частини нерівності $12<18$ поділимо на число $6$; на число $-2$.

1. Додамо до обох частин нерівності $-3<4$ число $5$:
   $-3+5<4+5$, тобто $2<9$.
   Додамо до обох частин нерівності $-3<4$ число $-2$:
   $-3+(-2)<4+(-2)$, тобто $-5<2$.

2. Віднімемо від обох частин нерівності $-10<-6$ число $3$:
   $-10-3<-6-3$, тобто $-13<-9$.
   Віднімемо від обох частин нерівності $-10<-6$ число $-4$:
   $-10-(-4)<-6-(-4)$, тобто $-10+4<-6+4$, отже $-6<-2$.

3. Помножимо обидві частини нерівності $7>-2$ на додатне число $5$ (знак нерівності не змінюється):
   $7\cdot 5>-2\cdot 5$, тобто $35>-10$.
   Помножимо обидві частини нерівності $7>-2$ на від’ємне число $-1$ (знак нерівності змінюється на протилежний):
   $7\cdot (-1)<-2\cdot (-1)$, тобто $-7<2$.

4. Поділимо обидві частини нерівності $12<18$ на додатне число $6$ (знак нерівності не змінюється):
   $12:6<18:6$, тобто $2<3$.
   Поділимо обидві частини нерівності $12<18$ на від’ємне число $-2$ (знак нерівності змінюється на протилежний):
   $12:(-2)>18:(-2)$, тобто $-6>-9$.

Відповідь:

1. $2<9$; $-5<2$;
2. $-13<-9$; $-6<-2$;
3. $35>-10$; $-7<2$;
4. $2<3$; $-6>-9$.

2.8.° Відомо, що $a>b$. Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:
1) до обох частин даної нерівності додамо число $8$;
2) від обох частин даної нерівності віднімемо число $-6$;
3) обидві частини даної нерівності помножимо на число $12$;
4) обидві частини даної нерівності помножимо на число $-\frac{1}{3}$;
5) обидві частини даної нерівності поділимо на число $\frac{2}{7}$;
6) обидві частини даної нерівності поділимо на число $-4$.

1. Якщо до обох частин нерівності додати будь-яке число, знак нерівності не зміниться:
   $a+8>b+8$.

2. Якщо від обох частин нерівності відняти число $-6$, знак нерівності не зміниться:
   $a-(-6)>b-(-6)$, тобто $a+6>b+6$.

3. Оскільки $12>0$, при множенні на додатне число знак нерівності не змінюється:
   $12a>12b$.

4. Оскільки $-\frac{1}{3}<0$, при множенні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний:
   $-\frac{1}{3}a<-\frac{1}{3}b$.

5. Оскільки $\frac{2}{7}>0$, при діленні на додатне число знак нерівності не змінюється:
   $\frac{a}{\frac{2}{7}}>\frac{b}{\frac{2}{7}}$, тобто $\frac{7a}{2}>\frac{7b}{2}$ (або $a:\frac{2}{7}>b:\frac{2}{7}$).

6. Оскільки $-4<0$, при діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний:
   $-\frac{a}{4}<-\frac{b}{4}$ (або $\frac{a}{-4}<\frac{b}{-4}$).

Відповідь:

1. $a+8>b+8$;
2. $a+6>b+6$;
3. $12a>12b$;
4. $-\frac{1}{3}a<-\frac{1}{3}b$;
5. $\frac{7}{2}a>\frac{7}{2}b$;
6. $-\frac{a}{4}<-\frac{b}{4}$.

2.9.• Відомо, що $b>a$, $c<a$ і $d>b$. Порівняйте числа:
1) $a$ і $d$;
2) $b$ і $c$.

1. За умовою $b>a$ (тобто $a<b$) і $d>b$ (тобто $b<d$).
   За теоремою про транзитивність нерівностей: якщо $a<b$ і $b<d$, то $a<d$ (або $d>a$).

2. За умовою $c<a$ (тобто $a>c$) і $b>a$.
   За теоремою про транзитивність нерівностей: якщо $b>a$ і $a>c$, то $b>c$ (або $c<b$).

Відповідь:

1. $a<d$;
2. $b>c$.

2.10.• Розташуйте в порядку зростання числа $a$, $b$, $c$ і $0$, якщо $a>b$, $0<b$ і $0>c$.

Проаналізуємо розташування чисел за даними нерівностями:

• З умови $0>c$ випливає, що $c<0$ ($c$ — від’ємне число).
• З умови $0<b$ випливає, що $b>0$ ($b$ — додатне число). Отже, $c<0<b$.
• З умови $a>b$ (або $b<a$) та властивості транзитивності числових нерівностей отримуємо: $c<0<b<a$.

Розташуємо числа в порядку зростання: $c$, $0$, $b$, $a$.

Відповідь: $c,0,b,a$.

2.11.• Відомо, що $a>4$. Порівняйте з нулем значення виразу:
1) $a-3$;
2) $2-a$;
3) $(a-3)(a-2)$;
4) $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a}$;
5) $(1-a{)}^2(4-a)$.

За умовою $a>4$. Використаємо властивості числових нерівностей для оцінки кожного виразу:

1. Оскільки $a>4$, віднімемо від обох частин число $3$:

$a-3>4-3⟹a-3>1>0$
Отже, $a-3>0$.

2. Оскільки $a>4$, помножимо обидві частини на $-1$ і змінимо знак нерівності: $-a<-4$. Додамо до обох частин число $2$:

$2-a<2-4⟹2-a<-2<0$
Отже, $2-a<0$.

3. Оцінимо кожен множник виразу $(a-3)(a-2)$:

• Оскільки $a>4$, то $a-3>4-3=1>0$ (додатне число);
• Оскільки $a>4$, то $a-2>4-2=2>0$ (додатне число).
  Добуток двох додатних чисел є додатним:

$(a-3)(a-2)>0$

4. Оцінимо знаки чисельника та знаменника дробу $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a}$:

• Оскільки $a>4$, то $a-4>0$;
• Оскільки $a>4$, то $a-2>0$;
• Добуток у чисельнику: $(a-4)(a-2)>0$;
• У знаменнику: оскільки $a>4$, то $-a<-4$, тому $3-a<3-4=-1<0$.
  Частка від ділення додатного числа на від’ємне є від’ємною:

$\frac{(a-4)(a-2)}{3-a}<0$

5. Оцінимо множники виразу $(1-a{)}^2(4-a)$:

• Оскільки $a>4$, то $1-a<-3\ne 0$, отже, квадрат будь-якого відмінного від нуля числа є строго додатним: $(1-a{)}^2>0$;
• Оскільки $a>4$, то $-a<-4$, звідси $4-a<4-4=0$, тобто $4-a<0$.
  Добуток додатного та від’ємного чисел є від’ємним:

$(1-a{)}^2(4-a)<0$

Відповідь:

1. $a-3>0$;
2. $2-a<0$;
3. $(a-3)(a-2)>0$;
4. $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a}<0$;
5. $(1-a{)}^2(4-a)<0$.

2.12.• Відомо, що $-2<b<1$. Порівняйте з нулем значення виразу:
1) $b+2$;
2) $b-2$;
3) $1-b$;
4) $(b-1)(b-3)$;
5) $(b+2)(b-4{)}^2$;
6) $(b-3)(b+3)(b-2{)}^2$.

За умовою дано подвійну нерівність $-2<b<1$, що рівносильно системі $\{\begin{array}{l}b>-2\\ b<1\end{array}$.

1. До лівої частини $b>-2$ додамо $2$:

$b+2>-2+2⟹b+2>0$

2. Від правої частини $b<1$ віднімемо $2$:

$b-2<1-2⟹b-2<-1<0$
Отже, $b-2<0$.

3. З нерівності $b<1$ віднімемо $b$ від обох частин:

$1-b>0$

4. Оцінимо множники $(b-1)$ та $(b-3)$:

• Оскільки $b<1$, то $b-1<0$;
• Оскільки $b<1<3$, то $b-3<1-3=-2<0$.
  Добуток двох від’ємних чисел є додатним:

$(b-1)(b-3)>0$

5. Оцінимо множники $(b+2)$ та $(b-4{)}^2$:

• Оскільки $b>-2$, то $b+2>0$;
• Оскільки $b<1$, то $b\ne 4$, звідси $b-4\ne 0$, тому $(b-4{)}^2>0$.
  Добуток двох додатних чисел є додатним:

$(b+2)(b-4{)}^2>0$

6. Оцінимо множники $(b-3)$, $(b+3)$ та $(b-2{)}^2$:

• Оскільки $b<1$, то $b-3<1-3=-2<0$ (від’ємне);
• Оскільки $b>-2$, додамо $3$: $b+3>-2+3=1>0$ (додатне);
• Оскільки $b<1$, то $b\ne 2$, тому $(b-2{)}^2>0$ (додатне).
  Добуток від’ємного та двох додатних чисел є від’ємним:

$(b-3)(b+3)(b-2{)}^2<0$

Відповідь:

1. $b+2>0$;
2. $b-2<0$;
3. $1-b>0$;
4. $(b-1)(b-3)>0$;
5. $(b+2)(b-4{)}^2>0$;
6. $(b-3)(b+3)(b-2{)}^2<0$.

2.13.• Дано: $a>b$. Порівняйте:
1) $a+9$ і $b+9$;
2) $b-6$ і $a-6$;
3) $1,8a$ і $1,8b$;
4) $-a$ і $-b$;
5) $-40b$ і $-40a$;
6) $\frac{a}{20}$ і $\frac{b}{20}$;
7) $2a-3$ і $2b-3$;
8) $5-8a$ і $5-8b$.

Застосуємо теореми про властивості числових нерівностей:

1. Додамо до обох частин нерівності $a>b$ число $9$:

$a+9>b+9$

2. Віднімемо від обох частин нерівності $a>b$ число $6$:

$a-6>b-6⟹b-6<a-6$

3. Помножимо обидві частини нерівності $a>b$ на додатне число $1,8>0$:

$1,8a>1,8b$

4. Помножимо обидві частини нерівності $a>b$ на від’ємне число $-1<0$, змінивши знак нерівності на протилежний:

$-a<-b$

5. Помножимо обидві частини нерівності $a>b$ на від’ємне число $-40<0$:

$-40a<-40b⟹-40b>-40a$

6. Поділимо обидві частини нерівності $a>b$ на додатне число $20>0$:

$\frac{a}{20}>\frac{b}{20}$

7. Помножимо обидві частини нерівності $a>b$ на $2>0$: $2a>2b$. Віднімемо від обох частин число $3$:

$2a-3>2b-3$

8. Помножимо обидві частини нерівності $a>b$ на $-8<0$: $-8a<-8b$. Додамо до обох частин число $5$:

$5-8a<5-8b$

Відповідь:

1. $a+9>b+9$;
2. $b-6<a-6$;
3. $1,8a>1,8b$;
4. $-a<-b$;
5. $-40b>-40a$;
6. $\frac{a}{20}>\frac{b}{20}$;
7. $2a-3>2b-3$;
8. $5-8a<5-8b$.

2.14.• Дано: $-3a>-3b$. Порівняйте:
1) $a$ і $b$;
2) $\frac{2}{7}a$ і $\frac{2}{7}b$;
3) $b-4$ і $a-4$;
4) $-\frac{5}{9}b$ і $-\frac{5}{9}a$;
5) $3a+2$ і $3b+2$;
6) $-5a+10$ і $-5b+10$.

Поділимо обидві частини початкової нерівності $-3a>-3b$ на від’ємне число $-3<0$, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний:

$a<b$

Використовуючи нерівність $a<b$, виконаємо порівняння:

1. З базового перетворення:

$a<b$

2. Помножимо обидві частини нерівності $a<b$ на додатне число $\frac{2}{7}>0$:

$\frac{2}{7}a<\frac{2}{7}b$

3. Віднімемо від обох частин нерівності $a<b$ число $4$:

$a-4<b-4⟹b-4>a-4$

4. Помножимо обидві частини нерівності $a<b$ на від’ємне число $-\frac{5}{9}<0$:

$-\frac{5}{9}a>-\frac{5}{9}b⟹-\frac{5}{9}b<-\frac{5}{9}a$

5. Помножимо обидві частини нерівності $a<b$ на $3>0$: $3a<3b$. Додамо до обох частин число $2$:

$3a+2<3b+2$

6. Помножимо обидві частини нерівності $a<b$ на від’ємне число $-5<0$: $-5a>-5b$. Додамо до обох частин число $10$:

$-5a+10>-5b+10$

Відповідь:

1. $a<b$;
2. $\frac{2}{7}a<\frac{2}{7}b$;
3. $b-4>a-4$;
4. $-\frac{5}{9}b<-\frac{5}{9}a$;
5. $3a+2<3b+2$;
6. $-5a+10>-5b+10$.

2.15. Відомо, що $1\le m<2$. Які з нерівностей є правильними: 1) $-1\le -m<-2$; 2) $-2<-m\le -1$; 3) $-1\ge -m>-2$; 4) $-2>-m\ge -1$?

Помножимо всі частини подвійної нерівності $1\le m<2$ на від’ємне число $-1$. За властивістю числових нерівностей при множенні на від’ємне число знаки нерівності змінюються на протилежні:

$1\cdot (-1)\ge m\cdot (-1)>2\cdot (-1)$

$-1\ge -m>-2$

Запишемо отриману нерівність зліва направо у звичному порядку (від меншого до більшого):

$-2<-m\le -1$

Проаналізуємо запропоновані варіанти:

1. $-1\le -m<-2$ — неправильна (знаки нерівності не було змінено на протилежні, до того ж $-1<-2$ є хибним твердженням).
2. $-2<-m\le -1$ — правильна.
3. $-1\ge -m>-2$ — правильна.
4. $-2>-m\ge -1$ — неправильна (твердження $-2>-1$ є хибним).

Відповідь: правильними є нерівності 2) та 3).

2.16. Відомо, що $-3<n\le 4$. Які з нерівностей є правильними: 1) $-4\le -n<3$; 2) $3<-n\le -4$; 3) $3>n\ge -4$; 4) $3\ge n>-4$?

Помножимо всі частини подвійної нерівності $-3<n\le 4$ на $-1$, змінивши знаки нерівності на протилежні:

$-3\cdot (-1)>n\cdot (-1)\ge 4\cdot (-1)$

$3>-n\ge -4$

Запишемо нерівність у порядку зростання чисел:

$-4\le -n<3$

Проаналізуємо запропоновані варіанти:

1. $-4\le -n<3$ — правильна.
2. $3<-n\le -4$ — неправильна (число $3$ не є меншим за $-4$).
3. $3>n\ge -4$ — неправильна (за умовою $n$ може дорівнювати $4$, а нерівність $3>4$ є хибною).
4. $3\ge n>-4$ — неправильна (аналогічно, $n$ може дорівнювати $4$, що суперечить умові $3\ge n$).

Відповідь: правильною є нерівність 1).

2.17. Відомо, що $a>b$. Розташуйте в порядку спадання числа $a+7$, $b-3$, $a+4$, $b-2$, $b$.

1. Порівняємо вирази зі змінною $a$:
   Оскільки $7>4$, то за теоремою про додавання числа до обох частин нерівності маємо:

$a+7>a+4$

2. Порівняємо вирази зі змінною $b$:
   Оскільки $0>-2>-3$, то додавши число $b$ до кожної частини, отримаємо:

$b>b-2>b-3$

3. Зв’яжемо вирази з $a$ та вирази з $b$:
   За умовою $a>b$. Додамо до обох частин число $4$:

$a+4>b+4$
Оскільки $b+4>b$, то за властивістю транзитивності:

$a+4>b$

Об’єднаємо всі отримані співвідношення в один ланцюжок:

$a+7>a+4>b>b-2>b-3$

Відповідь: $a+7,a+4,b,b-2,b-3$.

2.18. Дано: $a<b$. Порівняйте: 1) $a-5$ і $b$; 2) $a$ і $b+6$; 3) $a+3$ і $b-2$.

1. Віднімемо від лівої частини нерівності $a<b$ додатне число $5$. Оскільки $a-5<a$, а за умовою $a<b$, то за теоремою про транзитивність числових нерівностей:

$a-5<b$

2. Додамо до правої частини нерівності $a<b$ додатне число $6$. Оскільки $b<b+6$, а за умовою $a<b$, то за теоремою про транзитивність:

$a<b+6$

3. Порівняємо значення виразів $a+3$ та $b-2$. Їхнє співвідношення залежить від конкретних значень $a$ та $b$:

• Якщо $a=1$, $b=2$ ($1<2$), то $a+3=4$, $b-2=0$, отже, $a+3>b-2$.
• Якщо $a=1$, $b=10$ ($1<10$), то $a+3=4$, $b-2=8$, отже, $a+3<b-2$.
• Якщо $a=1$, $b=6$ ($1<6$), то $a+3=4$, $b-2=4$, отже, $a+3=b-2$.

Таким чином, однозначно порівняти вирази неможливо.

Відповідь:

1. $a-5<b$;
2. $a<b+6$;
3. порівняти неможливо.

2.19. Порівняйте числа $a$ і $b$, коли відомо, що: 1) $a>c$ і $c>b+3$; 2) $a>c$ і $c-1>b+d^2$, де $c$ і $d$ — деякі числа.

1. За умовою $a>c$ та $c>b+3$.
   За теоремою про транзитивність числових нерівностей:

$a>b+3$
Оскільки для будь-якого числа $b$ виконується нерівність $b+3>b$, то знову застосуємо транзитивність:

$a>b$

2. За умовою $c-1>b+d^2$. Додамо число $1$ до обох частин нерівності:

$c>b+d^2+1$
Оскільки $a>c$, то за властивістю транзитивності:

$a>b+d^2+1$
Для будь-якого дійсного числа $d$ значення $d^2\ge 0$, тому $d^2+1\ge 1>0$.
Отже, $b+d^2+1>b$.
Оскільки $a>b+d^2+1$ і $b+d^2+1>b$, то за теоремою про транзитивність:

$a>b$

Відповідь:

1. $a>b$;
2. $a>b$.

2.20.• Порівняйте числа $a$ і $0$, якщо:
1) $7a<8a$;
2) $\frac{a}{2}<\frac{a}{3}$;
3) $-6a>-8a$;
4) $-0,02a>-0,2a$.

1. Перенесемо доданок $7a$ у праву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний:

$8a-7a>0$

$a>0$
Відповідь: $a>0$.

2. Перенесемо вираз $\frac{a}{3}$ у ліву частину нерівності та зведемо дроби до спільного знаменника $6$:

$\frac{a}{2}-\frac{a}{3}<0$

$\frac{3a-2a}{6}<0$

$\frac{a}{6}<0$
Помножимо обидві частини на додатне число $6$:

$a<0$
Відповідь: $a<0$.

3. Перенесемо доданок $-8a$ у ліву частину:

$-6a+8a>0$

$2a>0$
Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $2$:

$a>0$
Відповідь: $a>0$.

4. Перенесемо доданок $-0,2a$ у ліву частину:

$-0,02a+0,2a>0$

$0,18a>0$
Поділимо обидві частини на додатне число $0,18$:

$a>0$
Відповідь: $a>0$.

2.21.• Дано: $a>-2$. Доведіть, що:
1) $7a+10>-4$;
2) $-6a-3<10$.

1. За умовою $a>-2$.
   Помножимо обидві частини даної правильної нерівності на додатне число $7$:

$7a>7\cdot (-2)$

$7a>-14$
Додамо до обох частин нерівності число $10$:

$7a+10>-14+10$

$7a+10>-4$
Нерівність доведено.

2. За умовою $a>-2$.
   Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $-6$, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний:

$-6a<-6\cdot (-2)$

$-6a<12$
Віднімемо від обох частин число $3$:

$-6a-3<12-3$

$-6a-3<9$
Оскільки $-6a-3<9$, а $9<10$, то за теоремою про транзитивність числових нерівностей маємо:

$-6a-3<10$
Нерівність доведено.

2.22.• Дано: $b\le 10$. Доведіть, що:
1) $5b-9\le 41$;
2) $1-2b>-21$.

1. За умовою $b\le 10$.
   Помножимо обидві частини нерівності на додатне число $5$:

$5b\le 50$
Віднімемо від обох частин число $9$:

$5b-9\le 50-9$

$5b-9\le 41$
Нерівність доведено.

2. За умовою $b\le 10$.
   Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне число $-2$, змінивши знак нерівності на протилежний:

$-2b\ge -20$
Додамо до обох частин число $1$:

$1-2b\ge 1-20$

$1-2b\ge -19$
Оскільки $1-2b\ge -19$, а $-19>-21$, то виконується строга нерівність:

$1-2b>-21$
Нерівність доведено.

2.23.•• Як ви думаєте, чи є правильним твердження:
1) якщо $a>b$, то $a>-b$;
2) якщо $a>b$, то $2a>b$;
3) якщо $a>b$, то $2a+1>2b$;
4) якщо $a>b+2$ і $b-3>4$, то $a>9$;
5) якщо $a>b$, то $ab>b^2$;
6) оскільки $5>3$, то $5a^2>3a^2$;
7) оскільки $5>3$, то $5(a^2+1)>3(a^2+1)$?
Обговоріть це питання з однокласниками й однокласницями.

1. Неправильне. Контрприклад: нехай $a=-2$, $b=-5$. Нерівність $-2>-5$ є правильною, проте нерівність $-2>-(-5)$ (тобто $-2>5$) є хибною.
2. Неправильне. Контрприклад: нехай $a=-2$, $b=-3$. Нерівність $-2>-3$ є правильною, але $2\cdot (-2)>-3$ (тобто $-4>-3$) є хибною.
3. Правильне. Помноживши нерівність $a>b$ на додатне число $2$, маємо $2a>2b$. Додавши до лівої частини додатне число $1$, отримаємо $2a+1>2a>2b$, звідки $2a+1>2b$.
4. Правильне. З нерівності $b-3>4$ випливає, що $b>7$. Додавши $2$ до обох частин, маємо $b+2>9$. За умовою $a>b+2$, отже, за властивістю транзитивності $a>9$.
5. Неправильне. Твердження правильне тільки за умови $b>0$. Контрприклад: нехай $a=1$, $b=-2$. Нерівність $1>-2$ є правильною, проте $1\cdot (-2)>(-2{)}^2$ (тобто $-2>4$) є хибною.
6. Неправильне. Якщо $a=0$, то $5\cdot 0^2>3\cdot 0^2⟹0>0$, що є хибним (нерівність правильна лише для всіх $a\ne 0$).
7. Правильне. Оскільки для будь-якого значення $a$ вираз $a^2\ge 0$, то $a^2+1>0$ при всіх дійсних значеннях $a$. Помноживши правильну нерівність $5>3$ на додатний вираз $a^2+1$, отримуємо правильну нерівність $5(a^2+1)>3(a^2+1)$.

2.24.•• Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:
1) обидві частини правильної нерівності $a>2$ помножимо на $a$;
2) обидві частини правильної нерівності $b<-1$ помножимо на $b$;
3) обидві частини правильної нерівності $m<-3$ помножимо на $-m$;
4) обидві частини правильної нерівності $c>-4$ помножимо на $c$.

1. Оскільки $a>2$, то число $a$ є додатним ($a>0$). Множимо обидві частини нерівності на додатне число $a$, зберігаючи знак нерівності:

$a\cdot a>2\cdot a$

$a^2>2a$
Відповідь: $a^2>2a$.

2. Оскільки $b<-1$, то число $b$ є від’ємним ($b<0$). Множимо обидві частини нерівності на від’ємне число $b$, змінюючи знак нерівності на протилежний:

$b\cdot b>-1\cdot b$

$b^2>-b$
Відповідь: $b^2>-b$.

3. Оскільки $m<-3$, то число $m$ є від’ємним, отже, вираз $-m$ є додатним числом ($-m>0$). Множимо обидві частини нерівності на додатне число $-m$, зберігаючи знак нерівності:

$m\cdot (-m)<-3\cdot (-m)$

$-m^2<3m$
Відповідь: $-m^2<3m$.

4. З умови $c>-4$ знак числа $c$ однозначно не визначений (воно може бути додатним, від’ємним або нулем). Тому розглянемо всі можливі випадки:

• Якщо $c>0$, то при множенні на додатне число $c$ знак зберігається: $c^2>-4c$;
• Якщо $c=0$, то отримуємо рівність: $0=0$;
• Якщо $-4<c<0$, то при множенні на від’ємне число $c$ знак змінюється на протилежний: $c^2<-4c$.

Відповідь: якщо $c>0$, то $c^2>-4c$; якщо $-4<c<0$, то $c^2<-4c$; якщо $c=0$, то $c^2=-4c=0$.

2.25.•• Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:
1) обидві частини правильної нерівності $a<-a^2$ поділимо на $a$;
2) обидві частини правильної нерівності $a>2a^2$ поділимо на $a$;
3) обидві частини правильної нерівності $a^3>a^2$ поділимо на $-a$.

1. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним, то $-a^2\le 0$. З умови $a<-a^2\le 0$ випливає, що $a<0$. При діленні обох частин нерівності на від’ємне число $a$ знак нерівності змінюється на протилежний:

$\frac{a}{a}>\frac{-a^2}{a}⟹1>-a$

2. Оскільки $2a^2\ge 0$, а за умовою $a>2a^2$, то $a>0$. При діленні обох частин нерівності на додатне число $a$ знак нерівності зберігається:

$\frac{a}{a}>\frac{2a^2}{a}⟹1>2a$

3. Оскільки $a^2\ge 0$, а за умовою $a^3>a^2$, то $a^3>0$, звідки $a>0$. Отже, число $-a$ є від’ємним ($-a<0$). При діленні обох частин нерівності на від’ємне число $-a$ знак нерівності змінюється на протилежний:

$\frac{a^3}{-a}<\frac{a^2}{-a}⟹-a^2<-a$

Відповідь: 1) $1>-a$; 2) $1>2a$; 3) $-a^2<-a$.

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕМАТИКУ

2.26. Щоденник дорожчий за ручку на 20 грн. Відомо, що ручка коштує не більше ніж 40 грн. Ціна щоденника та ручки дорівнює цілому числу гривень.
1) Яку найбільшу ціну може мати щоденник?
2) Якщо ціну на кожний із цих товарів підвищили на 10 грн, то як змінилася різниця в цінах?
3) Якщо обидва товари продають зі знижкою 50 %, то яка буде різниця між їхніми цінами?

Нехай ціна ручки становить $x$ грн, тоді ціна щоденника дорівнює $(x+20)$ грн. За умовою $x\le 40$, де $x$ — натуральне число.

1. Оцінимо ціну щоденника:

$x\le 40⟹x+20\le 40+20⟹x+20\le 60$
Отже, найбільша можлива ціна щоденника становить $60$ грн.

2. Після підвищення цін нова ціна щоденника становить $(x+20+10)=(x+30)$ грн, а ручки — $(x+10)$ грн.
   Знайдемо різницю в цінах:

$(x+30)-(x+10)=x+30-x-10=20\text{ грн}$
Різниця в цінах не змінилася.

3. При знижці 50 % вартість щоденника становить $0,5(x+20)=(0,5x+10)$ грн, а ручки — $0,5x$ грн.
   Знайдемо різницю між ними:

$(0,5x+10)-0,5x=10\text{ грн}$

Відповідь: 1) $60$ грн; 2) різниця не змінилася (залишилася 20 грн); 3) $10$ грн.

2.27. У Дмитра у 2 рази більше марок, ніж у Надії, у Надії — у 2 рази більше марок, ніж у Михайла. Якому з наведених чисел може дорівнювати кількість марок, що має Дмитро?
1) 18;
2) 22;
3) 24;
4) 30.

Нехай у Михайла є $k$ марок ($k\in \mathbb{N}$).
Тоді у Надії $2k$ марок, а у Дмитра — $2\cdot 2k=4k$ марок.
Кількість марок у Дмитра є натуральним числом, кратним 4.
Перевіримо наведені варіанти:

1. $18$ не ділиться націло на $4$;
2. $22$ не ділиться націло на $4$;
3. $24:4=6$ (ділиться націло на $4$);
4. $30$ не ділиться націло на $4$.

Відповідь: 3) 24.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.28. Спростіть вираз:
1) $\frac{a^2+b^2}{2a^2+2ab}+\frac{b}{a+b}$;
2) $\frac{a^2+9}{a^2-9}-\frac{a}{a+3}$;
3) $\frac{c+1}{3c}:\frac{c^2-1}{6c^2}$;
4) $\frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}:(m+n)$.

1. Розкладемо знаменник першого дробу на множники та зведемо дроби до спільного знаменника:

$\frac{a^2+b^2}{2a(a+b)}+\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+b^2+2ab}{2a(a+b)}=\frac{(a+b{)}^2}{2a(a+b)}=\frac{a+b}{2a}$

2. Розкладемо знаменник першого дробу за формулою різниці квадратів та зведемо до спільного знаменника:

$\frac{a^2+9}{(a-3)(a+3)}-\frac{a}{a+3}=\frac{a^2+9-a(a-3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{a^2+9-a^2+3a}{(a-3)(a+3)}=\frac{3a+9}{(a-3)(a+3)}=\frac{3(a+3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{3}{a-3}$

3. Замінимо ділення множенням на обернений дріб і розкладемо різницю квадратів:

$\frac{c+1}{3c}:\frac{c^2-1}{6c^2}=\frac{c+1}{3c}\cdot \frac{6c^2}{(c-1)(c+1)}=\frac{(c+1)\cdot 6c^2}{3c(c-1)(c+1)}=\frac{2c}{c-1}$

4. Згорнемо чисельник першого дробу як квадрат суми, а знаменник розкладемо як різницю квадратів:

$\frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}:(m+n)=\frac{(m+n{)}^2}{(m-n)(m+n)}\cdot \frac{1}{m+n}=\frac{m+n}{m-n}\cdot \frac{1}{m+n}=\frac{1}{m-n}$

Відповідь: 1) $\frac{a+b}{2a}$; 2) $\frac{3}{a-3}$; 3) $\frac{2c}{c-1}$; 4) $\frac{1}{m-n}$.

2.29. Моторний човен за один і той самий час може проплисти 48 км за течією річки або 36 км проти течії. Яка власна швидкість човна, якщо швидкість течії становить 2 км/год?

Нехай власна швидкість човна дорівнює $x$ км/год ($x>2$).
Тоді:

• швидкість човна за течією річки становить $(x+2)$ км/год;
• швидкість човна проти течії річки становить $(x-2)$ км/год.

Час руху за течією дорівнює $\frac{48}{x+2}$ год, а проти течії — $\frac{36}{x-2}$ год.
Оскільки цей час однаковий, складемо рівняння:

$\frac{48}{x+2}=\frac{36}{x-2}$

Поділимо обидві частини рівняння на $12$:

$\frac{4}{x+2}=\frac{3}{x-2}$

За основною властивістю пропорції:

$4(x-2)=3(x+2)$

$4x-8=3x+6$

$4x-3x=6+8$

$x=14$

Корінь задовольняє умову $x>2$. Отже, власна швидкість човна дорівнює $14$ км/год.

Відповідь: $14$ км/год.